河南省商丘市七年级第二学期数学易错易混解答题精粹含解析

河南省商丘市七年级第二学期数学易错易混解答题精粹

解答题有答案含解析

1．某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A、B、C三类，A类年票每张120元，持票者进人园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．

（1）如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出可使进入该园林的次数最多的购票方式．最多几次？

（2）求一年中进入该园林超过多少次时，购买A类年票比较合算．

2．如图，已知，.求证：∠B=∠3.

3．如图，在平面直角坐标系中，半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动一周，圆上一点由原点O到达点O′，圆心也从点A到达点A′．

（1）点O′的坐标为

，点A′的坐标为；

（2）若点P是圆在滚动过程中圆心经过的某一位置，求以点P，点O，点O′为顶点的三角形的面积．4．解下列方程组或不等式组.

（1）

423

25560

a b c

a b c

a b c

-+=

?

?

++=

?

?++=

?

（2）

3(2)4

12

1

3

x x

x

x

--≥-

?

?

+

?

>-

??

5．某织布厂有150名工人，为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售，每米布可获利2元，将布制成衣后出售，每件可获利25元，若每名工人每天只能做一项工作，且不计其他因素，设安排x名工人制衣.

(1)一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);

(2)一天中剩余布所获利润Q是多少(用含x的式子表示);.

(3)一天当中安排多少名工人制衣时，所获利润为11806元?

6．（1

）解不等式：2192

1 36

x x

-+

-≤

（2）解不等式组

3123

21

1

3

x x

x

+<+

?

?

?-

>-

??

①

②

并把它的解集在数轴上表示出来.

7．解不等式组

()

326

41

1

3

x x

x

x

①

②

?--≥

?

?-

+>

??

并将解集在数轴上表示出来．

8．阅读理解：请你参与下面探究过程，完成所提出的问题.

（I）问题引入：

如图①，在中，点是和平分线的交点，若，则度；若，则（用含的代数式表示）；

（II）类比探究：

如图②，在中，，，.试探究：与的数量关系（用含的代数式表示），并说明理由.

（III）知识拓展：

如图③，、分别是的外角，的等分线，它们的交于点，，，，求的度数（用含、的代数式表示）.

9．学校准备购进一批甲、乙两种办公桌若干张，并且每买1张办公桌必须买两把椅子，椅子每把100元.若学校购买20张甲种办公桌和15张乙种办公桌共花费24000元，购买10张甲种办公桌比购买5张乙种办公桌多花费2000元。

（1）求甲、乙两种办公桌每张各多少元？

（2）若学校准备用不超过26400元购买甲、乙两种办公桌共40张，且甲种办公桌数量不多于乙种办公桌数量的3倍，请求出有哪几种购买方案？

10．某公司为了解员工对“六五”普法知识的知晓情况，从本公司随机选取40名员工进行普法知识考查，

对考查成绩进行统计(成绩均为整数，满分100分)，并依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计表.解答下列问题：

组别分数段/分频数/人数频率

～ 2 a

1 50.560.5

～ 6 0.15

2 60.570.5

～ b c

3 70.580.5

～12 0.30

4 80.590.5

～ 6 0.15

5 90.5100.5

合计40 1.00

()1表中a=______，b=______，c=______；

()2请补全频数分布直方图；

()3该公司共有员工3000人，若考查成绩80分以上(不含80分)为优秀，试估计该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数．

11．(1)如图1，将两张正方形纸片A与三张正方形纸片B放在一起(不重叠无缝隙)，拼成一个宽为10的长方形，求正方形纸片A、B的边长.

(2)如图2，将一张正方形纸片D放在一正方形纸片C的内部，阴影部分的面积为4；如图3，将正方形纸片C、D各一张并列放置后构造一个新的正方形，阴影部分的面积为48，求正方形C、D的面积之和.

12．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+

﹣1，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，连接AC ，BD ，CD ．

（1）求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ．

（2）在y 轴上是否存在一点P ，连接PA ，PB ，使S △PAB =S 四边形ABDC ？若存在这样一点，求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由．

（3）点P 是线段BD 上的一个动点，连接PC ，PO ，当点P 在BD 上移动时（不与B ，D 重合）

的值是否发生变化，并说明理由．

13．某工厂准备用图甲所示的A 型正方形板材和B 型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子.

（1）若该工厂准备用不超过2400元的资金去购买A ，B 两种型号板材，制作竖式、横式箱子共10个，已知A 型板材每张20元，B 型板材每张60元，问最多可以制作竖式箱子多少只？

（2）若该工程新购得65张规格为33m m C ?型正方形板材，将其全部切割测好难过A 型或B 型板材（不计损耗），用切割的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子不少于10只，且材料恰好用完，则能制作竖式箱子______只.

14．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．

（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由． （2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？

15．解不等式组

3

(21)4

2

13

(21)

2

x x

x

x

?

--

??

?

+

?>-

??

①

②

，并写出x的所有整数解.

16．探索：在图1至图2中，已知ABC

?的面积为a

(1)如图1，延长ABC

?的边BC到点D，使CD=BC，连接DA;延长边CA到点E，使CA=AE，连接DE;若DCE

?

的面积为1S，则1S= (用含a的代数式表示)；

(2)在图1的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到DEF

?(如图2).若阴影部分的面积为2

S，则

2

S= (用a含的代数式表示)；

(3)发现:像上面那样，将ABC

?各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF

?(如图2)，此时，我们称ABC

?向外扩展了一次.可以发现，扩展n次后得到的三角形的面积是ABC

?面积的倍(用含n的代数式表示);

(4)应用:某市准备在市民广场一块足够大的空地上栽种牡丹花卉，工程人员进行了如下的图案设计:首先在ABC

?的空地上种紫色牡丹，然后将ABC

?向外扩展二次(如图3).在第一次扩展区域内种黄色牡丹，第二次扩展区域内种紫色牡丹，紫色牡丹花的种植成本为100元/平方米，黄色牡丹花的种植成本为95元/平方米.要使得种植费用不超过48700元，工程人员在设计时，三角形ABC的面积至多为多少平方米? 17．如图，一个由4条射线构成的图案，其中∠1=125°，∠2=55°，∠3=55°．

（1）写出图中相互平行的射线，并证明；

（2）直接写出∠A的度数（不需要证明）

18．端午节三天假期的某一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到某著名旅游景点游玩．该小汽车离家的距离S（千米）与时间t（小时）的关系如图所示．

（1）在这个过程中，自变量是，因变量是．

（2）景点离小明家多远？

（3）小明一家在景点游玩的时间是多少小时？

（4）小明到家的时间是几点？

19．（6分）如图是4×4正方形网格，其中已有3个小方格涂成了黑色．现在要从其余13个白色小方格中选出一个涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形．在下面每个网格中画出一种符合要求的图形(画出三种即可)．

20．（6分）长方形OABC，O为平面直角坐标系的原点，OA＝5，OC＝3，点B在第三象限．

（1）求点B的坐标；

（2）如图，若过点B的直线BP与长方形OABC的边交于点P，且将长方形OABC的面积分为1：4两部分，求点P的坐标．

的顶点均在格21．（6分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，ABC

点上.（画图要求：先用2B铅笔画图，然后用黑色水笔描画）

（1）①画出ABC ?绕点A 按逆时针方向旋转90?后的11AB C ?；

②连结1CC ，请判断1ACC ?是怎样的三角形，并简要说明理由.

（2）画出222A B C ?，使222A B C ?和11AB C ?关于点O 成中心对称；

（3）请指出如何平移11AB C ?，使得222A B C ?和11AB C ?能拼成一个长方形.

22．（8分）求不等式（2x ﹣1）（x+1）＞0的解集．

解：根据“同号两数相乘，积为正”可得：①21030x x ->??+>?或 ②21030x x -

． 解①得x ＞12；解②得

x ＜﹣1． ∴不等式的解集为x ＞12或x ＜﹣1． 请你仿照上述方法解决下列问题：

（1）求不等式（2x ﹣1）（x+1）＜0的解集．

（2）求不等式1132

x x -+≥0的解集．

23．（8分）如图，将长方形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点E 处，EC 交AD 于点F .

（1）试说明：AEF CDF △≌△；

（2）若4AB =，8BC =，3EF =，求图中阴影部分的面积.

24．（10分）在下列网格中建立平面直角坐标系如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，已知(1,1)A 、(3,4)B 和(4,2)C .

（1）在图中标出点A 、B 、C .

（2）将点C 向下平移3个单位到D 点，将点A 先向左平移3个单位，再向下平移1个单位到E 点，在图中标出D 点和E 点.

（3）求EBD ?的面积EBD S ?.

25．（10分）乐乐觉得轴对称图形很有意思，如图是4个完全相同的小正方形组成的L 形图，请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形，使添画后的图形成为轴对称图形．

26．（12分）△ABC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线DE 交AB 、AC 于点E 、D ，若△ABC 和△BCD 的周长分别为21cm 和13cm ，求△ABC 的各边长．

27．（12分）如图，∠A=65°，∠ABD=30°，∠ACB=72°，且CE 平分∠ACB ，求∠BEC 的度数．

28．观察下列等式：

①21321?-=-

②22431?-=-

③23541?-=-

（1）按以上等式的规律，写出第4个等式；

（2）根据以上等式的规律，写出第n 个等式；

（3）说明（2）中你所写的等式是否一定成立．

29．先化简再求值:224(1)7(1)(1)3(1)x x x x +--++-，其中1

2

x =-. 30．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，点E 在AB 边上，点G 在AC 边上EF ⊥BC 于点F ，若∠BEF ＝∠ADG ． 求证：AB ∥DG

参考答案 解答题有答案含解析 1．（1）13次；（2）至少超过1次，购买A 类年票比较合算．

【解析】

【分析】

（1）根据题意，需分类讨论：

若只选择购买B 类年票，则能够进入该园林

8060102（次）； 若只选择购买C 类年票，则能够进入该园林

8040133（次）； 若不购买年票，则能够进入该园林80

810（次）；

通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C 类年票；

（2）设一年中进入该园林至少超过x 次时，购买A 类年票比较合算，根据题意， 得60212040312010120x x x +>??+>??>?

求得解集即可得解．

【详解】

（1）因为80＜120，所以不可能选择A 类年票；

若只选择购买B 类年票，则能够进入该园林

8060102（次）； 若只选择购买C 类年票，则能够进入该园林8040

133（次）；

若不购买年票，则能够进入该园林80

810（次）；

所以，计划在一年中用80元花在该园林的门票上，

通过计算发现：可使进入该园林的次数最多的购票方式是选择购买C 类年票，最多为13次． （2）设一年中进入该园林x 次时，购买A 类年票比较合算，根据题意，得

60212040312010120x x x +>??+>??>?

解得原不等式组的解集为x ＞1．

答：一年中进入该园林至少超过1次时，购买A 类年票比较合算．

【点睛】

本题考查了一元一次不等式组的应用，要注意（1）用分类讨论的方法；（2）注意不等式组确定解集的规律：同大取大．

2．证明见解析

【解析】

【分析】

根据平行线的性质，邻补角的定义，即可解答

【详解】

解：∵∠1+∠DFE=180°，∠1+∠2=180°

∴∠DFE=∠2

∴AB//EF

∴∠3=∠ADE

∵∠ACB=∠AED

∴DE//BC

∴∠B=∠ADE

∴∠B=∠3

【点睛】

此题考查平行线的性质，邻补角的定义，解题关键在于掌握其性质定义.

3．（1）（2π，0）、（2π，1）；（2）S △POO ′＝π．

【解析】

【分析】

（1）由半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动一周，

得到OO′＝AA′＝2π，则可求出点O′和点A′；

（2）由（1）可得O'O的长度，且P到O'O的距离始终是1，根据三角形的面积公式即可得到答案. 【详解】

（1）∵半径为1的圆从原点出发沿x轴正方向滚动一周，

∴⊙O滚动的距离OO′＝AA′＝2π，

则点O′的坐标为（2π，0），点A′的坐标为（2π，1），

故答案为（2π，0）、（2π，1）；

（2）S△POO′＝1

2

×2π×1＝π．

【点睛】

本题考查了规律型：点的坐标，圆的面积，得出该圆每向X轴正方向滚动1圈后，圆心的横坐标向右平移1个圆的周长，纵坐标不变的规律是解题的关键.

4．（1）

3

2

5

x

b

c

=

?

?

=-

?

?=-

?

；（2）1

x

【解析】

【分析】

（1）根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．

（2）首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律：小小取小确定不等式组的解集即可．

【详解】

（1）

423 25560 a b c

a b c

a b c

-+=

?

?

++=

?

?++=

?

①

②

③

②?①，得

3a+3b=3，④

③?②，得

21a+3b=57，⑤

⑤?④，得

18a=54

解得，a=3，

将a=3代入④，得b=?2，

将a=3，b=?2代入①，得

c=?5，

故原方程组的解是325x b c =??=-??=-?

（2）3(2)41213x x x x --≥-???+>-??

①②

由①得：x ?1，

由②得：x<4，

不等式组的解集为x ?1

【点睛】

此题考查解一元一次不等式组，解三元一次方程组，掌握运算法则是解题关键

5． (1) 100x ；(2) 729000x -+；(3)应安排100名工人制衣.

【解析】

【分析】

（1）根据一天的利润=每件利润×件数×人数，列出代数式；

（2）安排x 名工人制衣，则织布的人数为（150-x ），根据利润=（人数×米数-制衣用去的布）×每米利润，列代数式即可；

（3）根据总利润=11806，列方程求解即可．

【详解】

(1)由题意得，P=25×4×x=100x.

故答案是：100x ；

(2)由题意得,Q=[(150?x)×30?6x]×2=9000?72x.

故答案是：(9000?72x)；

(3)根据题意得10072900011800x x -+=

解得100x =

答:应安排100名工人制衣.

【点睛】

此题考查一元一次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系.

6．（1）2x -；（2）12x -<；

【解析】

【分析】

（1）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，把不等式的解集在数轴上表示出来即可；

（2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．

【详解】

（1

）21

92136

x x -+-≤ 去分母得：2(21)(92)6x x --+ ，

去括号得：42926x x ---≤ ，

移项合并得：510x - ，

解得：2x - .

（2）31232113x x x +<+???->-??

①② 解不等式①，得2x < ，

解不等式②，得：1x ≥- ，

将不等式的解集表示在数轴上如下：

所以，这个不等式组的解集是：12x -< .

【点睛】

考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

7．2≤x <1

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集即可．

【详解】

详解：解不等式3x ﹣（x ﹣2）≥6，得：x ≥2，解不等式x +1＞

413

x -，得：x ＜1，把不等式解集表示在数轴上如下：

故不等式组的解集为：2≤x ＜1．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大

小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

8．（1）；；（2），理由见解析；（3）

【解析】

【分析】

（1）根据三角形的内角和可得到，根据角平分线的性质得到=（），再根据∠A=70°即可求解；同理可得到时的度数；

（2）利用，同理根据三角形的内角和进行计

算求解；

（3）根据题意发现规律，同理即可得到结论.

【详解】

解：（I）

=

.

故时，；

若，则；

（II）.

理由如下：

.

（III ）

.

【点睛】

此题主要考查角度的计算，解题的关键是熟知三角形的内角和，根据题意找到规律进行换算求解. 9．（1）甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元；（2）3种

【解析】

【分析】

（1）设甲种办公桌每张x 元，乙种办公桌每张y 元，根据“甲种桌子总钱数+乙种桌子总钱数+所有椅子的钱数=24000、10把甲种桌子钱数-5把乙种桌子钱数+多出5张桌子对应椅子的钱数=2000”列方程组求解即可；

（2）设甲种办公桌购买a 张，根据题意列出一元一次不等式组即可解答.

【详解】

解:（1）设甲种办公桌x 元/张，乙种办公桌y 元/张

可列方程组：

()201535210024000101021005521002000x y x y ++??=??+??-+??=?

解得：400600x y =??=?

答：甲种办公桌每张400元，乙种办公桌每张600元.

（2）设购买甲种办公桌a 张，则：

()()3404006004040210026400a a a a ?≤-??+-+??≤??

2830a ≤≤ a 为正整数

28

a

∴=、29、30

∴共有3种方案，购进甲28张，乙12张；

购进甲29张，乙11张；

购进甲30张，乙10张.

【点睛】

此题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键在于理解题意列出方程. 10．()10.05，14，0.35；()2补图见解析；()3该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数1350人．

【解析】

【分析】

（1）由频率的计算公式：频率=即可求得a；再由总数40减去其它各组的频数求得b；再由频率=

可求得c

（2）由(1)求得的b，即可作出直方图；

（3）利用总数3000乘以最后两组的频率的和即可求解．

【详解】

（1）a=2

40

=0.05，

第三组的频数b=40﹣2﹣6﹣12﹣6=14，

频率c=14

40

=0.35；

（2）补全频数分布直方图如下：

；

（3）3000×（0.30+0.15）=1350（人）．

答：该公司员工“六五”普法知识知晓程度达到优秀的人数1350人．

考点：1、频数（率）分布表；2、频数（率）分布直方图；3、用样本估计总体11．(1)A、B的边长分别为4和6；(2)1.

【解析】

【分析】

（1）设正方形A、B的边长分别为a、b，由题意得：正方形a的边长+正方形B的边长=10，2个正方形A 的边长=3个正方形B的边长，根据等量关系列出方程组，再解即可；

（2）设正方形C、D的边长为c、d，由图2得：（c-d）2=4，由图3得：（c+d）2-c2-d2=48，然后两个方程组合可得c2+d2的值．

【详解】

（1）设正方形A、B的边长分别为a、b，由题意得：

23

10

a b

a b

=

?

?

+=

?

，

解得：

6

4

a

b

=

?

?

=

?

，

答：正方形A、B的边长分别为6，4；

（2）设正方形C、D的边长为c、d，则：

由图2得：（c-d）2=4，即：c2-2cd+d2=4，

由图3得：（c+d）2-c2-d2=48，即2dc=48，

∴c2+d2-48=4，

∴c2+d2=1，

即正方形C、D的面积和为1．

【点睛】

考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，能从图中获取正确信息，找出题目中的等量关系，列出方程组．

12．（1）8；（2）点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；（3）比值不变．

【解析】

试题分析：（1）根据被开方数大于等于0列式求出b，再求出a，从而得到A、B的坐标，再根据向上平移纵坐标加，向右平移横坐标加求出点C、D的坐标即可，然后利用平行四边形的面积公式列式计算即可得解；

（2）根据三角形的面积公式列出方程求出OP，再分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；（3）根据平移的性质可得AB∥CD，再过点P作PE∥AB，根据平行公理可得PE∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，然后求出∠CPO=∠DCP+∠BOP，从而判断出比值不变．解：（1）由题意得，3﹣b≥0且b﹣3≥0，

解得b≤3且b≥3，

∴b=3，

a=﹣1，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

∵点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，

∴点C（0，2），D（4，2）；

∵AB=3﹣（﹣1）=3+1=4，

∴S四边形ABDC=4×2=8；

（2）∵S△PAB=S四边形ABDC，

∴×4?OP=8，

解得OP=4，

∴点P的坐标为（0，4）或（0，﹣4）；

（3）=1，比值不变．

理由如下：由平移的性质可得AB∥CD，

如图，过点P作PE∥AB，则PE∥CD，

∴∠DCP=∠CPE，∠BOP=∠OPE，

∴∠CPO=∠CPE+∠OPE=∠DCP+∠BOP，

∴=1，比值不变．

13．（1）最多制作竖式箱子5个；（2）45、34、23、12.

【解析】

【分析】

（1）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得最多可以制作竖式箱子多少个；（2）根据题意可以列出相应的二元一次方程，再根据a为整数和a≥10，即可解答本题．【详解】

解：（1）由题意可得，

1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，

设竖式箱子x个，则横式箱子（10-x）个，

（20+4×60）x+（2×20+3×60）（10-x）≤2400，

解得，x≤5，

∴x的最大值是5，

答：最多可以制作竖式箱子5个；

（2）如图

C型可以看成三列，每一列可以做成3个A型或1个B型，65个C型就有65×3=195列，

∵材料恰好用完，

∴最后A型的数量一定是3的倍数，

设竖式a个，横式b个，

∵1个竖式箱子需要1个A型和4个B型，1个横式箱子需要2个A型和3个B型，1个B型相当于3个A型，

∴（1+4×3）a+（2+3×3）b=195×3，

∴13a+11b=585，

∵a和b都是整数，且10

a≥，

解得：

45

a

b

=

?

?

=

?

、

34

13

a

b

=

?

?

=

?

、

23

26

a

b

=

?

?

=

?

、

12

39

a

b

=

?

?

=

?

，

经验证，四种情况下A型板数量均为3的倍数，

故答案为：45、34、23、12.

【点睛】

本题考查一元一次不等式的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答．

14．（1）见解析；（2）DB DF

=

【解析】

【分析】

（1）①直接利用三角形的外角性质，即可得到；

②过D作DG BC交AB于点G，由等腰三角形的性质，平行线的性质和等边对等角，得到BG DC

=，DGB FCD

∠=∠，然后证明三角形全等，即可得到结论成立；

（2）连接BF，根据题意，可证得BCF BDF A

∠=∠=∠，则B、C、D、F四点共圆，即可证明结论成立. 【详解】

解：（1）①∵BDC A ABD

∠=∠+∠，

即BDF FDC A ABD

∠+∠=∠+∠，

∵BDF A

∠=∠，

∴FDC ADB

∠=∠；

②过D 作DG BC 交AB 于点G ，

∴ADG ACB ∠=∠，AGD ABC ∠=∠， 又AB AC =，

∴A ABC CB =∠∠，

∴AGD ADG ∠=∠，

∴AD AG =，

∴AB AG AC AD -=-，

∴BG DC =，

又ECF ACB AGD ∠=∠=∠， ∴DGB FCD ∠=∠，

在GDB △与CFD △中，

,,DGB FCD GB CD

GBD FDC ∠=∠??=??∠=∠?

∴()GDB CFD ASA △≌△

∴DB DF =；

（2）证明：如图：连接BF ，

由（1）可知，A ABC CB =∠∠， ∵ECF ACB ∠=∠，

∴ABC ECF ∠=∠，

∵BC A C A BCF E F =∠+∠∠+∠， ∴A BCF ∠=∠，

∴BDF A BCF ∠=∠=∠，

∴B 、C 、D 、F 四点共圆，

∴180DCB DFB ∠+∠=?，DBF ECF ∠=∠，

∴ACB DFB ∠=∠，

∵BC EC AC A F B =∠=∠∠，

∴DBF DFB ∠=∠，

∴DB DF =.

【点睛】

本题考查了四点共圆的知识，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，以及三角形外角性质，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确作出辅助线，从而得到角的关系，再进行证明. 15．-1，0，1，1

【解析】

【分析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【详解】 解：解不等式①，得：54

x -， 解不等式②，得：3x <，

则不等式组的解集为534

x -<， ∴不等式组的整数解为：1-、0、1、1．

【点睛】

本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

16．（1）2a ；（2）6a ；（3）7n ；（4）ABC △的面积至多为10平方米.

【解析】

【分析】

(1)连接AD ，根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE 的面积即可；

(2)根据等底等高的三角形的面积相等求出△ADE 、△AEF 、△AFD 的面积，相加即可；

(3)由(2)得到△ABC 向外扩展了一次得到的△DEF 的面积S △DEF =7a ，△ABC 向外扩展了二次得到的△MGH 的面积S △MGH =72a ，找出规律即可；

(4)由(2)(3)的结论确定出种黄色牡丹，种紫色牡丹的面积，用总费用建立不等式，即可．

【详解】

(1)如图1，连接AD ，

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