数学建模 - 人口模型与预测

侯雪松 司柱强 郑理心：人口模型与预测

人口模型与预测

摘要

人口的增长是当前世界上引起普遍关注的问题，作为世界上人口最多的国家，我国的人口问题是十分突出的，由于人口基数大，尽管我国已经实行了20多年的计划生育政策，人口的增长依然很快，巨大的人口压力给我国的社会、政治、经济、医疗、就业等带来了一系列的问题。因此，研究和解决人口问题在我国显得尤为重要。 我们经常在报刊上看见关于人口增长的预报,说到本世纪末，或到下世纪中叶，全世界(或某地区)的人口将达到多少亿。你可能注意到不同报刊对同一时间人口的预报在数字上长有较大的区别，这显然是由于用了不同的人口模型计算的结果。

人类社会进入20世纪以来,在科学技术和生产力飞速发展的同时,世界人口也以空前的规模增长。人口每增加十亿的时间,由一百年缩短为十二三年.我们赖以生存的地球,已经携带着它的60亿子民踏入21世纪.

长期以来,人类的繁殖一直在自发地进行着,只是由于人口数量的迅速膨胀和环境质量的急剧恶化,人们才猛然醒悟,开始研究人类和自然的关系、人口数量的变化规律，以及如何进行人口控制等问题

本文建立两个模型

（1）中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。 （2）中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

而且利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线和两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 关键词

指数增长模型 Logistic模型 MATLAB软件 人口增长预测

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1 问题的提出

下表列出了中国1982-1998年的人口统计数据，取1982年为起始年（t?0），

N0?101654万人，Nm?200000万人。

年 1982 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 人口 101654 103008 104357 105851 107507 109300 111026 112704 114333 （万） 年 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 人口 115823 117171 118517 119850 121121 122389 123626 124810 （万） 要求：（1）建立中国人口的指数增长模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（2）建立中国人口的Logistic模型，并用该模型进行预测，与实际人口数据进行比较。

（3）利用MATLAB图形，标出中国人口的实际统计数据，并画出两种模型的预测曲线。 （4）利用MATLAB图形，画出两种预测模型的误差比较图，并分别标出其误差。 【注】常微分方程一阶初值问题的MATLAB库函数为：ode45。

语法为：[t,Y] =ode45(odefun,tspan,y0)

2 问题的分析

人口的变化受到众多方面因素的影响，因此对人口的预测与控制也就十分复杂，很难在一个模型中综合考虑到各个因素的影响。要预报未来若干年的人口，最重要的影响因素自然是今年的人口和今后这些年的增长率（即人口出生率减去死亡率），根据这两个数据进行人口预报是十分容易的。例如据人国国家统计局1990年10月30日归表的公报。1990年7月1日我国人口总数为11.6亿，过去8年的平均年增长率为14.8‰ 。如果今后的年增长率保持这个数字,那么容易算出，1年后我国人口为11.6×（1+0.0148）=11.77（亿），10年后即2000年将为11.6×（1+0.0148）10?13.44（亿）。这种算法用式子表示也十分简单。记人口为x0,k年后人口为xk,年增长率r，则预报公式为 xk?x0?1?r? （1）

显然，这个公式的基本前提是年增长率r保持不变。这个条件在什么情况下才能成立，如果不成立又该怎公办。历史上，人口模型的发展过程回答了这个问题。

早在18世纪人们就开始进行人口预报工作了，一二百年来发展了许多模型，指数增长模型和Logistic模型事其中最简单的两种模型。

k3 模型一

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3．1 模型假设:

（1）假设不存在某抽样年龄段出现0死亡概率

（2）假设人口平稳增长，无大型自然灾害，战争等因素的影响 （3）假设境内外迁移率对我国未来人口影响不计 （4）人口的净增长率（即出生率减去死亡率）为常数

（5）时刻t的人口函数是连续可微的；

3. 2 名词解释与符号说明

t 表示年份（选定初始年份的t=0） r 表示人口增长率

x 表示人口数量

3. 3 模型的建立及求解

记时刻t的人口为x(t)，当考察一个国家或一个很大地区的人口时，x(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将x(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为x0，人口增长率为r，r是单位时间内x(t)的增量与x(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，t到t+?t时间内人口的增量为

x?t??t??x?t??rx?t??t

于是x(t)满足如下的微分方程：

dx???rx （2）

?dt??x(0)?x0由这个线性常系数微分方程容易解出

x(t)?x0ert （3） 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。

将t以年为单位离散化，（3）式表明，人口以er为公比的等比数列增长。因为这时r表示年增长率，通常r<<1，所以可用近似关系er?1?r可得出

x(t)?x0(1?r)t （4）

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（1）式与（4）式比较可知，前面给出的预报公式（1）不过是指数增长模型离散形式的近似表示。

由（3）或（2）式给出的模型，与19世纪以前欧洲一些地区的人口统计数据可以很好地吻合.一些人口增长率长期稳定不变的国家和地区用这个模型进行预报,结果也令人满意.

3．4 模型检验

98年由指数增长模型预测出的人口数于实际人口数相差最小，而其他年份的真实值

与预测值之间有差别

实际人口 指数增长模型 年 (万人) 误差 (万人) 1991 114333 1992 115823 115616 207 1993 117171 116914 257 1994 118517 118226 291 1995 119850 119553 297 1996 121121 120894 227 1997 122389 122251 138 1998 123626 123623 3

其中人口的自然增长率为这几年的平均增长率r=0.01116，指数增长模型预测的结果很好的反映了实际情况。按此模型预测现在中国人口已超过13亿，到2016年中国人口将超过15亿。我们看到，尽管中国人口调控政策比较得力，但中国近几年处于高生育期，按指数增长模型预测的结果均比实际人口要少。同时由于中国人口调控政策比较得力，中国人口的自然增长率在逐年下降，已经从1991年的千分之十五降到1998年的千分之十左右。而按照近几年的平均增长率r=0.01116预测，肯定和实际之间有一定的误差。

随着人口的增加,自然资源、环境条件等因素对人口继续增长的阻滞作用越来越明显。如果当人口较少时人口增长率还可以看作常数的话，那么当人口增加到一定数量后，增长率就会随着人口的继续增加而逐渐减少.许多国家人口增长的实际情况完全证明了这点. 为了生存及人类文明程度的不断提高，顺其自然地会采取有效措施来控制人口的增长，使增长率成为一个递减数，而可供人类生存的自然资源、环境等条件也为人口数量的最大值

给予了强硬的限制。这就导至了比较适合于人口发展规律的新数学模型的产生。

3. 5 模型的应用与推广

用指数增长模型确实可以预测人口的增长，但是它只适合于短期的人口预测，为了使

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人口预报特别是长期预报更好地符合实际情况,必须修改指数增长模型关于人口增长率是常数这个基本假设了。

为了生存及人类文明程度的不断提高，顺其自然地会采取有效措施来控制人口的增长，使增长率成为一个递减数，而可供人类生存的自然资源、环境等条件也为人口数量的最大值给予了强硬的限制。这就导至了比较适合于人口发展规律的新数学模型的产生。

4 模型二

4. 1 假设

*（1） 地球上的资源有限，不妨设为1；而一个人的正常生存需要占用资源1/P（这

里事实上也内在的假定了地球的极限承载人口数为P）；

（2） 在时刻t，人口增长的速率与当时人口数成正比，为简单起见也假设与当时剩

??余资源s?1?P/P成正比；比例系数r表示人口的固有增长率；

（3） 设人口数P(t)足够大，可以视做连续变量处理，且P(t)关于t连续可微。

4. 2 符号说明

t 年份（初始年份t=0）

r 人口增长率 p 人口数

4. 5 模型建立及求解

由模型假设，可将人口数的净增长率r视为人口数P(t)的函数，由于资源对人口增长

?的限制，r(P)应是P(t) 的减函数，特别是当P(t) 达到极限承载人口数P时，应有净增长率r(P)?0，当人口数P(t)超过P时，应当发生负增长。基于如上想法，可令

r(P)?r*?s?r*?(1?P/P?)。

??用r(P)代替指数增长模型中的r导出如下微分方程模型：

?dP?r??P?(1?P/P?)??dt??P(t0)?P0 （2） 这是一个Bernoulli方程的初值问题，其解为

P*P(t)?P*1?(?1)?e?r*?(t?t0)P0。

在这个模型中，我们考虑了资源量对人口增长率的阻滞作用，因而称为阻滞增长模型（或Logistic模型）。其图形如图3-3所示。

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160014001200100080060040020020406080100120 图3-3

4. 6 模型检验

从图3-3可以看出，人口总数具有如下规律：

??P?PP?P00当人口数的初始值时，人口曲线（虚线）单调递减，而当人口数的初始值时，人口曲线（实线）单调递增；无论人口初值如何，当t??，它们皆趋于极限值P。

4. 7 模型讨论

阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测，而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用。

不论是指数增长模型曲线，还是阻滞增长模型曲线，它们有一个共同的特点，即均为单调曲线。但我们可以从一些有关我国人口预测的资料发现这样的预测结果：在直到2030年这一段时期内，我国的人口一直将保持增加的势头，到2030年前后我国人口将达到最大峰值16亿，之后，将进入缓慢减少的过程——这是一条非单调的曲线，即说明其预测方法不是本节提到的两种方法的任何一种。还有比指数增长模型、阻滞增长模型更好的人口预测方法吗？

事实上，人口的预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长的因素除了人口基数与可利用资源量外，还和医药卫生条件的改善、人们生育观念的变化等因素有关，特别在做中短期预测时，我们希望得到满足一定预测精度的结果，比如在刚刚经历过战争或是由于在特定的历史条件下采纳了特殊的人口政策等，这些因素本身以及由此而引起的人口年龄结构的变动就会变的相当重要，进而需要必须予以考虑。

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5 模型作图

圈： 人口的实际统计数据

绿线：人口的指数增长曲线xk?x0?1?r?（x0=101654（1982人口），r=0.01116）

k

红线：人口的Logistic增长曲线p0=x0）

P(t)?1?(P*P*?1)?e?r*?(t?t0)P0（p*=1600000000，

左图为指数增长曲线与真实数据的误差图，右图为Logistic增长曲线与真实数据的误差图

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6 参考文献

[1] 姜启源,谢金星,叶俊.数学模型[M].北京:.2003年8月第三版；

[2] 胡守信,李柏年.基于MATLAB的数学实验[M].北京:科学出版社.2004年6月； [3] 扬启帆,康旭升,等.数学建模[M].北京: 高等教育出版社.2006年5月；

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dn3g.html