江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文

江苏省邗江中学2017—2018学年度第二学期

高二数学期中试卷（文科）

命题人： 王荣鑫

说明：本试卷分为填空题和解答题两部分，全卷满分160分，考试时间120分钟 一、填空题(本题包括14小题，每小题5分，共70分.) 1. 函数【答案】（0，1]

【解析】分析：根据函数的解析式有意义，即可求解函数的定义域． 详解：由函数即函数

满足的定义域为

．

，解得

，

的定义域是_____．

点睛：本题注意考查了函数的定义域的求解，函数的定义域表示函数解析式有意义的的取值范围，着重考查了学生的推理与运算能力．

2. 用反证法证明命题“若a+b=0，则a，b全为0”，其反设为____． 【答案】“a，b不全为0”

【解析】分析：根据反证法的概念，即可作出反设． 详解：由反证法的概念可知命题“若其反设为：

不全为．

，则

全为”，

2

2

点睛：本题主要考查了反证法的概念，熟记反证法的定义是解答的关键．

3. 质点的运动方程是S=(S的单位为m，t的单位为s），则质点在t=3s时的瞬时速度为___m/s． 【答案】

秒的导数，即可得到所求的瞬

【解析】分析：先求出质点的运动方程的导数，再求出时速度．

详解：因为质点的运动方程为所以该质点在即质点在

秒的瞬时速度为

． ，所以

， ，

时的瞬时速度为

点睛：本题考查了函数的导数与瞬时速度的关系、导数在物理的应用，正确解答的关键是理解导数的物理意义，对此类解题规律要好好把握．

4. 如果p：x＞2，q：x2＞4，那么p是q的____．（在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要”中选择一个填空） 【答案】充分不必要条件 【解析】试题分析：件.

考点：充分条件、必要条件.

5. 若复数z满足|z|=1（i为虚数单位），则|z﹣2i|的最小值是_____． 【答案】1

【解析】分析：复数满足即可求出． 详解：由复数满足则所以

的最小值为．

，设

，当且仅当

，

时等号成立，

，设

，利用复数的模的计算公式与三角函数求值，

是

的充分不必要条

点睛：本题考查了复数的运算法则、模的计算公式及其三角函数的求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

6. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的 x∈R都有f(x+4)= f(x)+ f(2)，f(1)= 4，则f(3)+ f(10)的值为______． 【答案】4 【解析】分析：令

，即可求解详解：由题意可知令又函数所以所以

，可求得

，

，即， ．

是解答的关键，

，

，可求得

的值．

，

，从而可得

是以为周期的周期函数，结合

是定义在上的偶函数，所以是以为周期的周期函数，又

点睛：本题考查了抽象函数及其基本性质应用，重点考查赋值法，求得着重考查了分析问题和解答问题的能力．

7. 已知函数【答案】

，若f（x0）=﹣2，则x0=_____．

【解析】分析：根据分段函数的分段条件，分别列出方程，求解即可． 详解：当当

，则

． ，则，解得

，解得

或

（舍去）；

（舍去），

综上可知

点睛：本题主要了分段函数的计算问题，属于基础题，着重考查了推理与运算能力． 8. 若函数f（x）=f′（1）x3﹣2x2+3，则f′（1）的值为_____． 【答案】2

【解析】分析：根据导数的运算公式，求的详解：由令

时，

，则，解得

．

，令，

，即可求解

．

点睛：本题主要考查了导数的运算，熟记基本初等函数的导数公式是解答的关键． 9. 若函数【答案】

为定义在上的奇函数，当

，求出函数

的解析式，对

时的解析式求的图象，根据图象

时，

，则不等式

的解集为____．

【解析】分析：由奇函数的性质出

，并判断函数的单调性和极值，再由奇函数的图象特征画出函数

和特殊的函数值求出不等式的解集．........................ 详解：因为函数所以当设

时，

是定义在上的奇函数， ，不满足不等式，因为

时，

， ，所以

，

时，

，

，

，则

因为函数所以令当所以函数所以当

是奇函数，所以

，当

，解得时，在

， ；当上递减，在

时，

， 上递增，

时取得极小值，，

再由函数因为当

是奇函数，画出函数时，当

的图象如图所示，

，

上有解，

时取得极小值，的解集在

， 的解集为

． 无解，在

所以不等式因为所以不等式

点睛：本题考查函数的基本性质的综合应用，其中解答中涉及到函数的奇偶性，函数的单调性的综合应用，着重考查了数形结合思想方法，分析问题和解答问题的能力，试题有一定的难度，属于难题．

10. 如图，一个类似杨辉三角的数阵，请写出第n（n≥2）行的第2个数为_____．

【答案】n+2

【解析】分析：由三角形数阵看出，从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，然后利用累加的办法求得第行的第二个数． 详解：由图可以看出由此看出

以上所以

个式子相加得

．

，

，

2

点睛：本题主要考查了归纳推理的应用，解答此题的关键是根据数表数阵，得到数字的排布规律，即从第二行开始起，每一行的第二个数与它的前一行的第二个数的差构成以为公差的等差数列，此题是中档试题．

11. 函数f（x）=x|x|，若存在x∈[0，+∞）使得不等式f（x﹣2k）＜k成立，则实数k的取值范围为_____． 【答案】

时，

的的取值范围即可． 时，

时，存在，所以，整理得

，所以

，即，使得

，

， ，

，

；

，讨论

和

时，存在

【解析】分析：根据题意

，使

详解：根据题意，当即只需所以因为当存在因为所以又因为综上，

时，解得

，使得，所以

，整理得，所以

；

时，即

，所以不等式对一切实数都成立，所以，

，即，

，解得

， 即可，

，所以实数的取值范围是．

点睛：本题考查了含有字母系数的不等式的解法与应用问题，着重考查了分类讨论思想与转化思想的应用问题，试题有一定难度，属于难题．

n

12. 若不等式（﹣1）?a＜3

对任意的正整数n恒成立，则实数a的取值范围是_____．

【答案】

【解析】分析：将不等式进行参数分离，求函数的最值即可得到结论． 详解：当为奇数时，不等式可化为要使得不等式对任意自然数恒成立，则

，即，

，

当为偶数时，不等式可化为，

，即

，

要使得不等式对任意自然数恒成立，则综上，

．

点睛：本题主要考查了不等式恒成立问题，将不等式的恒成立转化为求式子的最值问题解决恒成立问题是解答恒成立问题的基本方法，着重考查分析问题和解答问题的能力． 13. 若曲线值为____． 【答案】

，把使存在某点处的切线斜率不大于

，

上存在某点处的切线斜率不大于

，则正实数a的最小

【解析】分析：求得函数的导数转化为不等式详解：由函数则

，

，即

有解，再利用基本不等式，即可求解．

，

要使存在某点处的切线斜率不大于即不等式又当且仅当所以

，即

，即

有解，

，

，

等号成立，

，解得

，解得

．

点睛：本题主要考查了导数的几何意义，不等式的有解问题，其中解答中把使存在某点处的切线斜率不大于，转化为不等式和解答问题的能力． 14. 已知函数，

，

，若关于x的方程f(x)+g(x)=0有四个不同的实数

有解是解答的关键，着重考查了分析问题

解，则实数m的取值范围是____． 【答案】

有四个不同的实数解，转化为方程

【解析】分析：根据函数的奇偶性，把方程

在上有两个解，进而转化为与在在上有两个解，利用函

数的性质即可求解． 详解：由所以函数所以要使得方程实数解，即方程即

在

是偶函数，

有四个不同的实数解，则在

上有两个解，

与

在在

上有两个解， ，只需

有两个不同的

，则

，

上有两个解，转化为

又由，当时，，函数为单调递增函数，

当时，，函数为单调递减函数，

所以当时，函数有最大值，

要使得与在在上有两个解，则，即．

点睛：本题考查了由方程解得个数求解参数问题，解答中涉及到函数的奇偶性、函数的单调性，以及函数的图象的综合应用，其中根据函数的奇偶性，把方程实数解，转化为方程

在

有四个不同的

上有两个解是解答的关键，着重考查了转化的思想方

法的应用，试题属于中档试题．

二、解答题（15、16题均为14分，17、18题均为15分，19、20题均为16分，请在答题纸的指定区域内答题，并写出必要的计算、证明、推理过程.）

15. 已知集合A={x|x﹣2x﹣3≤0，x∈R}，B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R} （1）若A∩B=[1，3]，求实数m的值； （2）若A??RB，求实数m的取值范围． 【答案】(1)m=1;(2)m＞4或m＜﹣2． 【解析】分析：（1）由题意，求得集合，根据（2）由（1）中，求得

，列出方程即可求解实数的值；

2

，列出方程，即可求解实数的取值范围．

详解：（1）∵集合A={x|x﹣2x﹣3≤0，x∈R}={x|﹣1≤x≤3}， B={x|m﹣1≤x≤m+1，x∈R，m∈R}，A∩B=[1，3]， ∴m﹣1=1，解得m=2，此时B={x|1≤x≤3}，成立， 故m=1．

（2）∵?RB={x|x＜m﹣1或x＞m+1}，A??RB， ∴m﹣1＞3或m+1＜﹣1，

解得m＞4或m＜﹣2．

点睛：求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性. 16. 已知复数z=1+mi（i是虚数单位，m∈R），且（1）设复数（2）设复数【答案】(1)

;(2)

，求|z1|；

，且复数z2所对应的点在第一象限，求实数a的取值范围． .

．

；

为纯虚数（是z的共轭复数）．

2

【解析】分析：根据复数的概念及其分类，求解（1）求得

，再根据复数的模的计算公式，即可求解

（2）由（1）可求得可求解实数的取值范围． 详解：∵z=1+mi，∴∴又∵∴

为纯虚数， ，解得m=﹣3．

．

，根据复数对应的点位于第一象限，列出方程组，即

．

∴z=1﹣3i． （Ⅰ）

，

∴

（Ⅱ）∵z=1﹣3i，

；

∴

又∵复数z2所对应的点在第1象限， ∴，．∴．

．

点睛：复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数为

、对应点为

、共轭为

2

的实部为、虚部为、模

．

17. 设a∈R，命题q：?x∈R，x+ax+1＞0，命题p：?x∈[1，2]，满足（a﹣1）x﹣1＞0． （1）若命题p∧q是真命题，求a的范围；

（2）（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真，求a的取值范围． 【答案】(1)

;(2)a≤﹣2或

.

；真：

，即可求解

；

【解析】分析：（1）根据题意，求解真：（2）根据取值范围． 详解：（1）p真，则

q真，则a﹣4＜0，得﹣2＜a＜2， ∴p∧q真，

．

2

为假，为真，得到同时为假或同时为真，分类讨论即可求解实数的

或得；

（2）由（￢p）∧q为假，（￢p）∨q为真?p、q同时为假或同时为真， 若p假q假，则

，?a≤﹣2，

若p真q真，则，?

综上a≤﹣2或．

点睛：本题主要考查了逻辑联结词的应用，解答简易逻辑联结词相关问题，关键是要首先明确各命题的真假，利用或、且、非真值表，进一步作出判断，着重考查了学生分析问题和解

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