有限元讲义 5-有限条法

《有限元》讲义

第5章 有限条法

5.4 用有限条法分析简支弯曲薄板

一、基本函数

d4y???由前已知，将符拉索夫振动梁函数微分方程：dy??l?y?0的通解5-2-1

??式，代入其边界条件：Y(0)=Y\后, 得简支条的基本函数为:

4m?Ym?siny?siny ?mll

二、条元刚度矩阵与条元刚度方程

1．条元刚度矩阵

上节已导得条刚的一般形式为：

?m??,2?m?

?S11?S??????Sr1llS12Sr2...S1r??...?

...Srr??l上节提到，计算条刚元素时，将涉及以下五个积分：

?YYdy ?Y??Y??dy ?Y?Y?dy ?YY??dy ?Y??Ydy

0mn0mnll0mn0mn0mnY?sin可以证明，在简支条元中，由于基本函数mm?y的正交性,当m≠n时,上述五个积l分均为0。

因此，在简支条元中，非对角元子块均为零，即[S]mn =[0](m≠n)。此时，简支板的条刚可简化为：

?S 11??S???????0式中:

0??S 22?? 5?4?1 ...?...S rr??...1

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?S?mm?A?BC???DE???EF?对称??? 5?4?2 A??BC?其中:

6l13lb26l12lA?3Dx?kDy?kD1?kDxy

b705b5b3l11lb223llB?2Dx?kDy?kD1?kDxy

b420552llb322lb4lbC?Dx?kDy?kD1?kDxy

b2101515D??6l9lb26l12lD?kD?kD?kDxy xy13b1405b5b3l13lb22llE??2Dx?kDy?kD1?kDxy

b840105llb32lblbF?Dx?kDy?kD1?kDxy

b2803015m?2)式中，k?( l 由于条刚不耦联，便可一个谐波一个谐波的单独计算，然后再叠加，因此，简支板是最

能体现有限条法优越性的一种情况。另外，从条刚中的元素表达式可见，对应于第m个谐波的条刚，每个元素均随着谐波号发生变化，这也是与前面单元刚度矩阵不同之处。

2. 条元结线力

与结线位移列阵对应的结线力列阵可表示为:

?Vi??Vim??Vi????M?r?M?r?Fi??Mi??im??i???F???F???V?以和函数表示?Ym(y)????? Vm?1?j??j??jm?m?1?Vj?????Mj???Mjm???Mj??m对应于各谐波的条元结线力，也可由条刚与结线位移的乘积获得。

3. 条元刚度方程

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条刚[S]中的全部非对角元素(子块)为零，不仅简化了条刚，更重要的是，使得第m个谐波的结线力只与第m个谐波的结线位移有关，即总刚的非藕联性。因此，可对每个谐波所对应的结线力（位移）单独计算，然后再叠加，所以在下面的讨论中，我们可将条刚暂时理解为4×4阶的。对应于第m个谐波的条元刚度方程为：

?Vi??M??i???Sii?m????S?Vj??jim??Mj??m

e???????wi?e??Sijm???i????Sjjm??wj?

???j??me三、总刚度矩阵及总刚方程的建立

总刚的形成仍然采用前述直接刚度法，即由各结线的平衡条件建立平衡方程，其过程亦

与前述大致相同，现简述如下：

首先将对应第m个谐波的条刚按结线分块：

?Vim????e?Sii?m?Mim?????e?Vjm???Sjim?Mjm???meee???????wim?ee??Sijm???im??e??wSjjm???jm? (5-4-3)

???jm??meee 条刚中的每个子块均为2×2。子块具有两重下标，内下标ij指示子块在总刚中的结线

位置，外层下标指示子块对应的谐波号。按结线将其展开得:

?Fi?m??Sii?m??i?m???Sij??m??j?me?F?ejm??eee? 5?4?3a e???Sji??m??i?m???Sjj??m??j?m??然后根据结线平衡条件，即可建立求解结线位移的平衡方程。

例：图示简支板，将其划分成五个条元。根据结线的平衡条件有：

3

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?P2?m??F2???F2?①m②m

①

②

按照在杆系中的相同方法，将{F2}m、{F2}m用5-4-3代替，并将条元结线位移用整体位移代替后,便可得:

①①②②

{P2}m=[S21]m{δ1}m+([S22]m+[S22]m)m{δ2}m+[S23]m{δ3}m

对每条结线取平衡,均可获得一个类似的平衡方程，于是可装配成总刚：同样可由“对号入座”的方法形成总刚度方程如下：

?V1m??w1m??M?????1m??1m??V2m??w2m?????①①??MS11S12?2m???2m?????V3m??S①S①?②S②w3m212223??????②②?③③???3m?S32S33S34?M3m?????????③③?④④S43S44S45??w4m??V4m??④④?⑤⑤??M4m????4m?S54S55S56 ??????⑤⑤VSS?5m??6566???12?12?w5m??M????5m???5m??V6m??w6m??M?????6m?m?6m?m由式可见，只有相交于结线i的两个板条才可能对总刚矩阵i行子块有“贡献”，因此，形成总刚的某行时，只需考虑对应结线左，右条刚的子块。而与其它条元的条刚无关，由于这一特性，使得简支板总刚的带宽很小（半带宽仅为4），与板单元比较, 若上例采用5×5网格, 则未知数n=6×6×3=108, 半带宽D=3×(7-1)=18, 规模要大得多。对每一谐波求解，可得第

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m个谐波所对应的结线位移, 重复上述过程，将1～r个谐波的位移叠加即得最后位移(内力)。 由上可见，采用有限条法，不仅可大大提高计算速度，还可视谐波数r的多少，无限逼近其精确解。

四、条元内力

在工程中，板的分析通常是要求获知其内力（或应力），由条元内力矩阵：

?Mx?ttr??22?F???My????tz???dz???2tz?D0????dz?[D][B]{?}?[D]?[B]m{?}mm?122?M??xy?

弯矩和扭矩的物理量与在板的基本理论一节中所述相同。

五、荷载等效变换

荷载的等效变换仍然采用有限元中按能量原理推导的一般公式获得。设结线i, j上对应于第m个谐波的等效结线力为:

?F?qm???VimlMimVjmMjm??T

则一般公式可与为:

?Fq?m??00?b?N?T?P?dxdy

??Fq????N?T?1???1???3x22x3?lb???P?dxdy? 3???????0?0???1 2 bb?或写成:???T??23Fq?r?N???2xx??????r???mx??2??lbTb

lm?bF?Nqdxdy?qdxsinydy?????下面给出简支条在几种常用荷载下的公式q?m?0?0m?0?: 3x22x3??0l??b21. 均布荷载q b3???32 它比均布力作用的两端固定梁的固端力相比xx2L/mπ?,多了乘子?。

???b?b2??b??2??2??b???12??2l?q??b??m?5 ?2??2?b???m?1,3,5??12??b

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2. 集中力

?F?qm23?3x0?2x0?1?2?3? bb??232x0x0?? x???m??0?bb2???y0 ?P0sin23l?3x0?2x0??b2b3???32m?1,3,5??xx00?????b2b3??

当X0=0时 (在i结线上)： 当X0=0, y=l/2(中点)时：

0

?F?

qm?1? ?0?m??????P0siny0,

l?0? ??0???F?qm?1??0?m??????P0sin2?0???0??3．局部分布力

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?x3x4??x?b2?2b3??2?34?x2xx???2???23b4b??Fq?m??x3x4?q0Cm????b22b3???43?x?x???4b23b??式中:

xn?x?xn2n ； Cm1b?(coskmy1?coskmy2)； kmm? km?l

六、边界条件的处理

当条元的结线边界为非自由时，必须对结线的边界约束情况加以处理，即修改总刚度方程。如上例，若为四边简支板（如图），则对应有：w1?0, w6?0

由此可知,可通过处理边界条件，利用简支板的条元刚

度矩阵计算另两个边界为各种不同支承情况的板。如结线边界为简支、 固定、自由的情况。

应特别指出，当遇非简支板条时（如两端固定）即总刚与m个谐波藕联时，则应对每个谐波均作边界约束处理，这点在编程时应特别注意。

如上例的总刚方程，若非简支板而是固支板，且取前三个谐波计算，则总刚方程为:

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??V1??????????M1??????????????????V6?????M????????????6?1????V1?????M???1??????????????????V?????6??????M6??2???????????V?????1?????M1????????????????V6??????????M6??3????????????m?

线位移应按5-3-3计算，如：

r???w1???????????1????????S?1???????????w6???????????????6???1???w???1????????1???????????S?2????????w?????6???????????????6??2???w????1??????1???????????S?3????????w6??????????????????6??3??????m 注意:由总刚度方程解出的结线位移只是各谐波的位移幅值，而不是结线位移，结

wi?w(0,y)??wimYm(y)

m?1七、程序设计

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5.5 简支板有限条分析程序设计

结合一个算例，介绍简支板有限条分析程序设计。

1. 条元划分

图示为在第四章中分析过的四周简支方板，但能否用简支板条方法分析图示四周简支方形板？回答是肯定的。前面提到条元宜沿短边方向划分，如果是一正方形板，可沿某一边长方向划分条元。如果是对称的，也可取半结构计算，如程序中的算例，便是取上一章分析过的12m方板的例题的一半作为计算对象。如下图：

共划分成6个条元，含有7条结线。

2. 原始数据

条元数 M=6；计算次数 ZS=4；约束数 YS=2；荷载集度 q=1；集中力数 FJ=0 板长 L=12m；板宽 B0=6m； μ=0.3； E0=3E5；厚度 t=0.3 约束边界号 BJ( )=1,14； 计算谐波号=1，3，5，7 即可得原始数据文件内的输入数据如下： 6, 4, 2, 1, 0

12, 6, 0.3, 3E5, 0.3 1, 14

1, 3, 5, 7

3. 计算结果

************** Finite Strip Method **************

m = 1 deflection rotation

line 1 0.00000 0.03194 line 2 0.03136 0.03028 line 3 0.05975 0.02618 line 4 0.08323 0.02058 line 5 0.10063 0.01411 line 6 0.11129 0.00716

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line 7 0.11488 0.00000

Deflection of Middle-line

0 0.035 0.068 0.093 0.109 0.115 0.109 0.093 0.068 0.035 0

Mx My

Strip = 1 2.839176 2.302775 Strip = 2 4.658082 4.161909 Strip = 3 5.844096 5.603872 Strip = 4 6.577119 6.628736 Strip = 5 6.973215 7.240724 Strip = 6 7.097317 7.443891 m = 3 deflection rotation

line 1 0.00000 -0.00059 line 2 -0.00055 -0.00048 line 3 -0.00094 -0.00031 line 4 -0.00119 -0.00018 line 5 -0.00133 -0.00010 line 6 -0.00139 -0.00004 line 7 -0.00141 0.00000

Deflection of Middle-line

0 0.001 0.001 0.000 -0.001 -0.001 -0.001 0.000 0.001 0.001 0

Mx My

Strip = 1 .2164175 .2930753 Strip = 2 .2466782 .4666353 Strip = 3 .2417718 .5670096 Strip = 4 .2316401 .6212149 Strip = 5 .2245702 .6473111 Strip = 6 .2222065 .6550171 m = 5 deflection rotation

line 1 0.00000 0.00008 line 2 0.00006 0.00005 line 3 0.00010 0.00002 line 4 0.00011 0.00001 line 5 0.00011 0.00000 line 6 0.00012 0.00000 line 7 0.00012 0.00000

Deflection of Middle-line

0 0.000 0.00 -0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 -0.000 0.00 0

Mx My

Strip = 1 5.760285E-02 9.216719E-02 Strip = 2 5.123232E-02 .1278349 Strip = 3 4.723469E-02 .141498 Strip = 4 .0455429 .146269

Strip = 5 4.494305E-02 .1478104 Strip = 6 4.481358E-02 .148165

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m = 7 deflection rotation

line 1 0.00000 -0.00002 line 2 -0.00002 -0.00001 line 3 -0.00002 -0.00000 line 4 -0.00002 -0.00000 line 5 -0.00002 -0.00000 line 6 -0.00002 -0.00000 line 7 -0.00002 0.00000

Deflection of Middle-line

0 0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000 -0.000 0.000 0.000

Mx My

Strip = 1 2.216982E-02 4.090515E-02 Strip = 2 1.726382E-02 5.088195E-02 Strip = 3 1.641952E-02 5.344707E-02 Strip = 4 1.627663E-02 5.401566E-02 Strip = 5 1.625321E-02 5.413144E-02 Strip = 6 1.625151E-02 5.415033E-02

最后计算结果

************** displacements **************

deflection rotation Line 1 0 3.140233E-02 Line 2 3.086589E-02 2.984215E-02 Line 3 5.888896E-02 2.588623E-02 Line 4 8.213342E-02 2.040666E-02 Line 5 9.939975E-02 1.401291E-02 Line 6 .1099931 7.11644E-03 Line 7 .11356 0

中点挠度精确解：

ql4?0.113554 w?0.004062D0

Et35D0??741.758 (??0.3,t?0.3,E?3?10,l?12,q?1)212(1??)

**** Deflection of Middle-line ****

0.0000， 0.0368， 0.0688， 0.0933， 0.1084

0.1136， 0.1084， 0.0933， 0.0688， 0.0368， 0.0000

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********** Strip Forces *********** Mx My

Strip 1 3.135366 2.728923 Strip 2 4.973256 4.807261 Strip 3 6.149521 6.365827 Strip 4 6.870578 7.450235 Strip 5 7.258981 8.089977 Strip 6 7.380589 8.301223

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dmxr.html