高考数学高频考点专题复习之圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展

圆锥曲线问题中同解思想问题的研究与拓展

【探究拓展】

探究1：直线l1:a1x+b1y+1=0和 l2:a2x+b2y+1=0都过点(2，3)，则过点A(a1,b1)、B(a2,b2)的直线l的方程为 . 2x+3y+1=0

2y2x拓展：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2?2?1(a?b?0)过点(1， 3)，离心率为3，又椭圆内22ab 1)，且AP?2PC，BP?2PD．接四边形ABCD (点A、B、C、D在椭圆上)的对角线AC，BD相交于点P(1， 4（1）求椭圆的方程； （2）求直线AB的斜率．

?c3 ?a?2，2?? ?1?a=4，3（1）解：依题意，?2?2?1，解得?2

a4b???b=1. 222?c?a?b. ??y A O D P · C x B 所求椭圆的方程为x?y2?1．

42x12 （2）解：设A?x1， y1?，则?y12?1．

423?x13?4y1由AP?2PC，得C．代入椭圆方程x?y2?1， ， 428??3?x12得

4??23?4y1?8???1．

2x12整理，得?y12?3(x1?y1)?19?0，

4216即x1?y1??1． ③ 8设B?x2， y2?，同理可得x2?y2??1． ④

8 由③④可得直线AB的方程为x＋y=?1，所以AB直线斜率为－1.

8x2y22

探究2： 已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)经过点M(－2，－1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条

ab2直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q. (1) 求椭圆C的方程；

(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论． a2－b2412解： (1) 由题设，得2＋2＝1，①且＝，②

aba2x2y2

由①、②解得a＝6，b＝3，故椭圆C的方程为＋＝1.

63

2

2

(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为－k， 假设∠PMQ为直角，则k·(－k)＝－1，即k＝±1. 若k＝1，则直线MQ的方程为y＋1＝－(x＋2)， 与椭圆C方程联立，得x2＋4x＋4＝0， 该方程有两个相等的实数根－2，不合题意；

同理，若k＝－1也不合题意．故∠PMQ不可能为直角．

记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

8k2－8k－4－4k2＋4k＋2则－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，即x1＝.

1＋2k21＋2k2－4k2－4k＋2

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝. 1＋2k28k

2y1－y2k(x1＋2)＋k(x2＋2)k(x1＋x2＋4)1＋2k

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，故kPQ＝＝＝＝＝1，因

8kx1－x2x1－x2x1－x2

1＋2k2此直线PQ的斜率为定值．

x2y2

拓展1：椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上任意点P(x0,y0)作两条倾斜角互补的两条直线交椭圆分别为A、B两点.

abb2x0求证：直线AB的斜率为定值2. ay0

x2y25

拓展2：已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的一个焦点为(5，0)，离心率为. ab3（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

解:(1)c?5,e?c55??,?a?3,b2?a2?c2?9?5?4,aa3x2y2?椭圆C的标准方程为:??1.94(2)若一切线垂直x轴,则另一切线垂直于y轴,则这样的点P共4个,它们的坐标分别为(?3,?2),(3,?2).若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为y?y0?k(x?x0),x2y2即y?k(x?x0)?y0,将之代入椭圆方程??1中并整理得:942(9k2?4)x2?18k(y0?kx0)x?9??(y0?kx0)?4???0,依题意,??0,2222即:(18k)2(y0?kx0)2?36??(y0?kx0)?4??(9k?4)?0,即4(y0?kx0)?4(9k?4)?0,

?(x02?9)k2?2x0y0k?y02?4?0,两切线相互垂直,?k1k2??1,即:?x02?y02?13,显然(?3,?2),(3,?2)这四点也满足以上方程,?点P的轨迹方程为x2?y2?13.y02?4??1,x02?9探究3：设平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)?x2?2x?b(x?R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.求： （1）求实数b的取值范围；

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