第1计 芝麻开门 点到成功

第1计 芝麻开门 点到成功

●计名释义

七品芝麻官，说的是这个官很小，就是芝麻那么小的一点. 《阿里巴巴》用“芝麻开门”，讲的是“以小见大”. 就是那点芝麻，竟把那个庞然大门给“点”开了.

数学中，以点成线、以点带面、两线交点、三线共点、还有顶点、焦点、极限点等等，这些足以说明“点”的重要性. 因此，以点破题，点到成功就成了自然之中、情理之中的事了.

●典例示范

［例题］ （2006年鄂卷第15题）将杨辉三角中的每一个数Cn都换成分数

r

1

，就得到一个如下图所示的分r

(n 1)Cn

数三角形，称来莱布尼茨三角形. 从莱布尼茨三角形可以看出

111

(n 1)Cnr(n 1)CnxnCnr 1

令an

，其中x .

111111 ，则223123060nCn 1(n 1)Cn

mil

an .

n

［分析］ 一看此题，图文并举，篇幅很大，还有省略号省去的有无穷之多，真乃是个庞然大物. 从何处破门呢？我们仍然在“点”上打主意.

莱布三角形，它虽然没有底边，但有个顶点，我们就打这个顶点的主意.

［解Ⅰ］ 将等式

11

111

与右边的顶点三角形对rr

(n 1)Cn(n 1)CnxnCn 1

1

应（图右），自然有

r(n 1)Cn

11111

xr2 nCn12 (n 1)Cn 1

对此，心算可以得到：n =1，r =0，x=1

对一般情况讲，就是x = r+1 这就是本题第1空的答案.

［插语］ 本题是填空题，只要结果，不讲道理. 因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功. 要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点. 因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x = r+1.

第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.

［解Ⅱ］ 在三角形中先找到了数列首项an

1

，并将和数列3

13

1111 中的各项依次“以点连线”（图右实线），3123060

1

3

1. 2

实线所串各数之和就是an . 这个an，就等于首项左上角的那个因为

1

在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍2

去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

1

lima n因此得到2 这就是本题第2空的答案. n

［点评］ 解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数

1

就是问题的答案. 2

1

这个数开始，向左下20

13

事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质. 例如从连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是表示就是

1111

206014012

11

这个数的左上角的那个数. 用等式2012

［链接］ 本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题. 有关解答附录如下.

［法1］ 由步合项.

111

知，可用合项的办法，将an的和式逐rr 1r

(n 1)Cn(n 1)CnnCn 1

an

11111 2231230nCn(n 1)C 1n

1111111

22221 1

3C24C325C4nCn(n 1)C(n 1)C(n 1)C 1nn n

11111 1

22221 1 3C24C35C4 nCn 1nCn 1 (n 1)Cn

11 11111

21 111

2(n 1)n 3C23C2 (n 1)Cn2C1(n 1)Cn

1

2

［法2］ 第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即

an

11111 根据第一问所推出的结论只需在原012n 3n 2

3C24C35C4nCn(n 1)C 1n

式基础上增加一项

1

，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结n 1

(n 1)Cn

111

，故an ，从而n 1

2(n 1)Cn2

合给出的数表可逐次向上求和为

1 11

liman lim

n 1n n 2(n 1)Cn 2

［法3］ （2）将x r 1代入条件式，并变形得

111

r 1rr

(n 1)CnnCn(n 1)C 1n

取r 1,令n 2,3, ,n, 得

1111

1 12 11 11， 2113(2 1)C12(3 1)C33C24C32C13C22

1111 21130(4 1)C44C35C4

111111

211211

nCn 1(n 1)Cn 1nCn 1(n 1)CnnCn 1(n 1)Cn

111

a 以上诸式两边分别相加，得 n

2n(n 1) 2

［说明］ 以上三法，都是对解答题而言. 如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀. 为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练

x2y2

1的长轴AB分成8份，过每1．如图把椭圆

2516

个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2， ，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+

+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接P1F2 、P2F2 、 、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5 F2 = 2a =10 如此类推FP1+P1F2 = FP2 + P2F2 = =FP7 + P7F2 = 7×10 = 70 由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35. 2．找“点”——动点P、Q的极限点.

如图所示，令A1P = CQ = 0. 即动点P与A1重合，动点Q与C重合. 则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1 .

1

V 显然C—A 1B 1C 13V棱柱.

∴VC—A 1B 1C 1∶VC—AA 1B 1B=2 于是奇兵天降——答案为2.

［点评］ “点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制

约全局. 这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的. 这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.

1

1

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dmuj.html