河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试文科数学(含答案)
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河南省郑州市2016年高三第一次模拟考试
文科数学
(时间120分钟 满分150分)
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.
1.设全集U x N*x 4,集合A 1,4 ,B 2,4 ,则ðU A B ( ) A. 1,2,3
B. 1,2,4
C. 1,4,3
D. 2,4,3
2. 设z 1 i(i是虚数单位),则A. i
B. 2 i
2
( ) z
C. 1 i
D.0
3. cos160 sin10 sin20 cos10 ( )
A.
B.
1C.
2
D.
1 2
4.函数f x excosx在点 0,f 0 处的切线斜率为( ) A.0
B. 1
x
C. 1
D.
1
5.已知函数f x cosx,则f x 在 0,2 上的零点的个数为( )
2
A.1 B.2 C.3 D.4
6. 按如下的程序框图,若输出结果为273,则判断框?处应补充的条件为( )
A.i 7 B. i 7 C. i 9 D. i 9
1x2y2
7. 设双曲线2 2 1的一条渐近线为y 2x,且一个焦点与抛物线y x2的焦点相同,
4ab
则此双曲线的方程为( )
5555A. x2 5y2 1 B. 5y2 x2 1 C. 5x2 y2 1 D. y2 5x2 1
44441
8. 正项等比数列 an 中的a1,a4031是函数f x x3 4x2 6x 3的极值点,则2016
3
( ) A. 1
B. 1
C.
D. 2
9. 右图是一个四面体的三视图,这三个视图均是腰长为2的等腰 直角三角形,正视图和俯视图的虚线是三角形的中线,则该四面体 的体积为( ) A.
2 3
B.
4 3
C.
8 3
10.已知函数f x x
4 1
,g x 2x a,若 x1 ,3 , x2 2,3 使得f x1 g x2 ,x 2
C. a 0
D. a 0
则实数a的取值范围是( )
A.a 1 B. a 1
x2y2
11.已知椭圆2 2 1 a b 0 的左右焦点分别为F1、过点F2的直线与椭圆交于A,BF2,
ab
两点,若 F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( ) A.
B. 2 C. 2 D. x2 2x,x 022
12.已知函数f x 2,若关于x的不等式 fx afx b 0恰有1个整 x 2x,x 0
数解,则实数a的最大值是( ) A.2 B.3
C.5 D.8
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
本卷包含必考题和选考题两部分,第13-第21题为必考题,每个题目考生都必须作答.第22-24题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4个小题,每小题5分,共20分. 13.函数f x _______.
x y 0
14.若不等式x2 y2 2所表示的平面区域为M,不等式组 x y 0表示的平面区域为N,
y 2x 6
现随机向区域N内抛一粒豆子,则豆子落在区域M内的概率为________. 15. ABC的三个内角为A,B,C 7 tan
12
,则tanA ________.
16.已知向量 、 是平面内两个互相垂直的单位向量,若5 2 12 2 0,则 的
最大值为________.
三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出必要的文字说明、证明及演算步骤. 17.(本小题满分12分)
已知等差数列 an 满足:a2 5,前4项和S4 28. (Ⅰ)求数列 an 的通项公式;
(Ⅱ)若bn 1 an,求数列 bn 的前2n项和T2n.
18.(本小题满分12分)
为了整顿道路交通秩序,某地考虑对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度,在普通人中随机抽取理200人进行调查,当不处罚时,由80人会闯红灯,处罚时,得到如下数据:
若用表中数据所得频率代替概率.
(Ⅰ)当处罚金定为10元时,行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少?
(Ⅱ)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类:A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为;B类是其它市民.现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷,则前两位均为B类市民的概率是多少?
19.(本小题满分12分)
如图,矩形CDEF和梯形ABCD所在的平面互相垂直, BAD ADC 90 ,
1
AB AD CD,BE DF.
2(Ⅰ)若M为EA中点,求证:AC∥平面MDF; (Ⅱ)若AB 2,求四棱锥E ABCD的体积.
M
B
n
20.(本小题满分12分)
已知点M 1,0 ,N 1,0 ,曲线E上任意一点到点M的距离均是到点N
. (Ⅰ)求曲线E的方程;
(Ⅱ)已知m 0,设直线l1:x my 1 0交曲线E于A,C两点,直线l2:mx y m 0交曲线E于B,D两点.当CD的斜率为 1时,求直线CD的方程.
21.(本小题满分12分)
1
设函数f x x2 mlnx,g x x2 m 1 x,m 0.
2(Ⅰ)求函数f x 的单调区间;
(Ⅱ)当m 1时,讨论函数f x 与g x 图象的交点个数.
请考生在22-24三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.把答案填在答题卡上. 22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲
如图, BAC的平分线与BC和 ABC的外接圆分别相交于D和E,延长AC交过D,E,C的三点的圆于点F.
(Ⅰ)求证:EC EF;
(Ⅱ)若ED 2,EF 3,求AC AF的值.
23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
C
F
x 2 已知曲线C
1的参数方程为 ,曲线C
2的极坐标方程为 .以极
4 y 1t
2
点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.
(Ⅰ)求曲线C2的直角坐标方程;
(Ⅱ)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.
24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数f x x 2 x 1 (Ⅰ)解不等式f x 1;
ax2 x 1
(Ⅱ)当x 0时,函数g x a 0 的最小值总大于函数f x ,试求实数a的
x
取值范围.
郑州市2016年高中毕业年级第一次质量预测
文科数学 参考答案
一、选择题
ACCCC BCBAC DD
二、填空题
13. x|x 0 ; 14.
24
; 15. 1; 16.
13. 2
三、解答题(共70分)
a2 a1 d 5,
17.解:⑴由已知条件: 2分 4 3
d 28, S4 4a1
2
a1 1, 4分
d 4.
an a1 n 1 d 4n 3. 6分
⑵由⑴可得bn ( 1)nan ( 1)n 4n 3 8分
T2n 1 5 9 13 17 ...... 8n 3 4 n 4n. 12分
18.解:⑴设“当罚金定为10元时,闯红灯的市民改正行为”为事件A, 2分
则p A
401
. 4分 2005
∴当罚金定为10元时,比不制定处罚,行人闯红灯的概率会降低
1
. 6分 5
⑵由题可知A类市民和B类市民各有40人,故分别从A类市民和B类市民各抽出两
人,设从A类市民抽出的两人分别为A1、A2,设从B类市民抽出的两人分别为B1、B2. 设从“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度问卷”为事件M,
8分
则事件M中首先抽出A1的事件有: A1,A2,B1,B2 , A1,A2,B2,B1 , A1,B1,A2,B2 ,
A1,B1,B2,A2 , A1,B2,A2,B1 , A1,B2,B1,A2 共6种.
同理首先抽出A2、B1、B2的事件也各有6种. 故事件M共有4 6 24种. 10分
设从“抽取4人中前两位均为B类市民”为事件N,则事件N有 B1,B2,A1,A2 ,
B1,B2,A2,A1 , B2,B1,A1,A2 , B2,B1,A2,A1 . P N 24 6.
∴抽取4人中前两位均为B类市民的概率是
41
1
. 12分 6
19. ⑴证明:设EC与DF交于点N,连结MN,
在矩形CDEF中,点N为EC中点, 因为M为EA中点,所以MN∥AC,
又因为AC 平面MDF,MN 平面MDF, 所以AC∥平面MDF. 4分 ⑵解:取CD中点为G,连结BG,EG,
平面CDEF 平面ABCD,平面CDEF 平面ABCD CD, AD 平面ABCD,AD CD,
所以AD 平面CDEF,同理ED 平面ABCD, 7分 所以,ED的长即为四棱锥E ABCD的高, 8分
1
CD DG,AB//DG, 2
所以四边形ABGD是平行四边形,BG//AD,所以BG 平面CDEF,
又因为DF 平面CDEF,所以BG DF,又BE DF,BE BG B, 所以DF 平面BEG,DF EG. 10分
在梯形ABCD中AB
2
注意到Rt DEG Rt EFD,所以DE DG EF
8,DE
所以VE ABCD
1
SABCD ED 12分 3
20. ⑴解:设曲线E上任意一点坐标为(x,y),由题意,
2分
整理得x2 y2 4x 1 0,即(x 2)2 y2 3为所求. 4分
⑵解:由题知l1 l2 ,且两条直线均恒过点N(1,0), 6分 设曲线E的圆心为E,则E(2,0),线段CD的中点为P, 则直线EP:y x 2,设直线CD:y x t,
y x 2,t 2t 2
,), 8分
由 ,解得点P(22y x t
由圆的几何性质,|NP|
1
|CD| 9分
2
而|NP| (
2
t 2t 222
1)2 (),|ED|2
3,|EP|2 , 22解之得t 0,或t 3, 10分
所以直线CD的方程为y x,或y x 3. 12分
21. ⑴解:函数f(x)的定义域为(0,
),f (x)
2分
当0 xf (x) 0,函数f(x)的单调递减,
当x f (x) 0,函数f(x)的单调递增.
综上:函数f(x
)的单调增区间是
),减区间是. 5分
⑵解:令F(x) f(x) g(x)
12
x (m 1)x mlnx,x 0, 2
问题等价于求函数F(x)的零点个数, 6分 F (x) 注意到F(1)
(x 1)(x m)
,当m 1时,F (x) 0,函数F(x)为减函数,
x
3
0,F(4) ln4 0,所以F(x)有唯一零点; 8分 2
当m 1时,0 x 1或x m时F (x) 0,1 x m时F (x) 0,
所以函数F(x)在(0,1)和(m, )单调递减,在(1,m)单调递增, 注意到F(1) m
1
0,F(2m 2) mln(2m 2) 0, 2
所以F(x)有唯一零点; 11分
综上,函数F(x)有唯一零点,即两函数图象总有一个交点. 12分 22. ⑴证明:因为 ECF CAE CEA CAE CBA,
EFC CDA BAE CBA, AE平分 BAC, 所以 ECF EFC,所以EC EF. 4分
⑵解:因为 ECD BAE EAC, CEA DEC, 所以 CEA DEC, 6分
9CEDEEC2
,EA 即, 由⑴知,EC EF 3,所以EA , 8分
2EACEDE
所以AC AF AD AE (AE DE) AE
45
. 10分 4
23.
2
2分 22
即 2 cos sin ,可得x y 2x 2y 0,
故C2的直角坐标方程为 x 1 y 1 2. 5分 (Ⅱ)C
1
由(Ⅰ)知曲线C2是以(1,1)为圆心的圆,且圆心到直线C1的距离
22
8分 所以动点M到曲线C
1 10分
24.解:(Ⅰ)①当x 2时,原不等式可化为x 2 x 1 1,此时不成立;
②当 1 x 2时,原不等式可化为2 x x 1 1,即 1 x 0, ③当x 1时,原不等式可化为2 x x 1 1,即x 1, 3分 ∴原不等式的解集是 x|x
0 . 5分
(Ⅱ)因为g(x) ax
1 1
1,当且仅当x 时“=”成立, x所以g(x)min 1,-----7分
1 2x,0 x 2,
,所以f(x) [ 3,1)
,-----9分 f(x)
3,x 2
∴1 1,即a 1为所求. -----10分
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