数学学习简报5 - 图文

（第5期）

主 编：李红婷

执行主编：陈 杰 刘同军 郑廷伟 于 波 编 委：云 鹏 郑立平 刘 江 张延芳

许广民 邢成云 焦广良 林 光 丛晓红 李 明 薛海东 赵翠珍

2014年7月25日

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《专家引领》 将针对每一模块的重点、热点问题进行解读，引领大家进行深层次的思考，以更好地完成模块学习任务。

《案例赏析》 展示学员的典型作业，帮助正确理解模块学习内容、准确把握作业要求、顺利完成作业，提供真实的有针对性的素材。

《专家解惑》 在日常教学中，你有哪些问题、困惑？您对远程研修有什么好的建议和意见？请通过跟帖的形式发在课程简报的后面。在下一期本栏目中，我们会及时答复。

《智慧分享》 为大家提供展示、交流作业的平台，针对学习中的热点问题，我们一起来分析、讨论，智慧将会在碰撞中产生。

《学习园地》 我们会关注市县的《学习园地》，将优秀的栏目进行链接，并从学习园地中选取精彩文章与大家分享，以便于大家互相学习。

《研修感悟》 将刊登学员的研修感悟和心语，让我们相互感动，相互激励，让研修不再平淡，让真情在我们之间传递。

《研修花絮》 您或者您身边的老师，是否有很多有趣的研修故事，意想不到的小插曲，写下来，让我们共同分享，在快乐中学习。

《每日之星》 将根据学员的作业质量、学习态度、专家推荐、提出问题因素，每天评选50位学员之星；将根据指导教师推荐作业质量、学习园地建设等情况，每期推荐20位指导教师之星，以此表彰先进，促进研修质量不断提高。

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编者按：在今年网络研修的课程资源中，有两个课例是必修内容，还有四个课例是选修内容，其中选修课例《认识二元一次方程组》所承载的研究问题是“如何帮助学生建构数学模型”。下面是该课例的开发者所撰写的引领文章，希望能对大家的研修提供帮助。

如何帮助学生建构数学模型

课程专家 许广民 赵翠珍

数学被认为是模式的科学。数学模型使研究对象的构成要素之间的关系更加紧密，有着更高的结构强度，可以迁移到不同情境的同类问题中去应用，因而，比停留在经验和操作层面的零散知识更具迁移力。《数学课程标准》也提出：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。因此，我们必须重视帮助学生建构数学模型，培养学生的模型思想。

但是，在实际教学中，一些老师往往习惯于让学生记忆理解数学模型的概念，然后就是运用数学模型大量解题，至于为什么要建构数学模型、怎样建构数学模型、同类数学模型之间的关系是什么等等一些重要的问题却被老师们忽略了，造成了学生数学学习的散点化状态，弱化了数学模型的建构过程，难以形成模型思想，因此，如何帮助学生建构数学模型，就成了当前教学中面临的重要问题。

那么，如何帮助学生建构数学模型呢？我们研修组确定这个研究问题

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后，以《二元一次方程组》为载体，通过“三次备课二次打磨”的过程，进行了一些探索，希望能给大家带来一点启示。

一、创建问题情境，激发思考兴趣，感受模型意义

创设一个适当的问题情境，可以选择学生身边的应用问题，激发学生思考数学问题的兴趣，使学生更多地关注生活中的数学问题，培养学生模型意识。

我们这次的课例中，主讲者李老师利用学生亲身经历的活动，设计了一个问题情境：

泰山文化博大精深，为弘扬泰山精神，11月16日上午，我校举行了“泰山学子快乐成长攀登卡”体验活动。在这次活动中我班共有家长、学生8人参加。如果买门票花了780元，每张成人票120元，学生票60元。那么，我班共来了几个家长？几个学生呢?

李老师利用学生身边的故事引入，拉近数学与生活的距离，课堂上全体学生对这个问题积极投入，表现出极大的兴趣。但是，这时的兴趣还仅仅是感性层面的，兴趣层次比较浅，教师还应该将学生的兴奋点引向深入，这时，也成了考验教师教学水平的时候。教师应该怎样处理这个环节的教学呢？是直接告诉学生设两个未知数怎样来列方程？还是给学生一个空间，让学生自主思考解题方案？

选择前者，一般是帮助学生列出二元一次方程（组）后，就让学生用对比的方法识记概念，学生也就感觉又学了一个知识点，这个知识点也就像前面学的知识点一样，随随便便地被学生塞进了大脑。而一系列的重要的问题就被屏蔽了：学生已有的经验是什么？会不会列算式解？会不会列一元一次方程解？为什么要用两个字母表示未知量来列原来没见过的方程？这些问题如果被老师忽略，学生会收获一堆“碎片化”的知识点，难以形成结构。

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所以，教师要设计一个教学环节，放手让学生自主去解。他们外显的解答就真实地反映出学生的思维状况，学生根据已有的数学活动经验，一般会用列算式和列一元一次方程来解决这个问题，但是，这样解决的难度比较大，里边的未知量比原来的多了，怎么办？此时，再引导学生另辟思路，将未知的两个量分别用两个字母表示，这样就比较容易建立方程，学生也从中体会到学习二元一次方程（组）的必要，感受二元一次方程（组）这个新的数学模型的意义，

以及这几个模型之间的关系。这样会激发学生探究的兴趣，这也是我们希望看到的带有浓郁的数学色彩的学习兴趣。

二、把握学生思维，利用问题驱动，经历建模过程

在教学中，教师只有引导学生经历建构数学模型的过程，才能让学生深刻感受构建数学模型的方法。怎样引导学生经历这个过程呢？那就要着眼于学生的认知水平和特点，设计符合学生认知规律的问题串，在问题串的解决过程中，引导学生经历和体验。

我们还以上面的“登泰山”问题为例，可以尝试这样设计： 怎样阅读题目？

怎样从中获取有用的信息？ 哪些是已知量？哪些是未知量？

哪些叙述的文字语言表达了数量之间的关系？这些数量关系是怎样的？怎样表示？（列表？图像？列式子？）

哪一种表示方法更好？还有没有更好的表示方法？

这些问题中，一部分会在学生头脑里自主产生，另一部分就需要老师进行引导，无论哪种情况都是我们的教学资源。通过这些问题的解决，我们也引导学生真正经历了“从现实生活或者具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化

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规律”这一建构模型的过程。其中，需要注意的是，教师要牢牢把握学生不断发展的思维状态，有的放矢地引导学生感悟建构数学模型的步骤和方法。

模型的迁移应用是学生形成模型思想的重要环节，它不但可以帮助学生进一步巩固建模的步骤和方法，感受数学模型的魅力，同时也是学生积累数学模型建构经验的重要途径。例如，李老师在课例中设置了两个有趣味的问题：一是“老牛和小马驮货物”，二是“鸡兔同笼”问题。学生通过对这两个问题独立解答，加深了对二元一次方程组这个数学模型的体验，取得了良好的效果。

三、深入认识模型，感受模型价值

建立一个数学模型后，可以再对这个模型赋予另外的实际意义，让学生从中感受到数学模型的普适性和重要价值，并能激发学生建构数学模型的兴趣。课例中，当学生对所列的二元一次方程组赋予另外的实际意义时，学生通过类比就说出了很多，比如：有的把未知量换成了买两种水果时的价格与数量，有的把未知量换成了工人和生产效率等等，所举的例子也越来越生动、丰富。

四、总结建模方法，积累建模经验，形成建模策略

在总结提升阶段，可以引导学生回顾数学建模的全过程，包括思维的原点、转折点、关键点等一些隐性内容，都尽可能地把它们显现出来，并按照一定的逻辑关系将它们结构化、系统化，逐步形成一种建构模型的整体策略，以便于在以后的学习中进行同类内容的自主学习。

抛砖之语，敬请老师们批评指正。

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猜想、证明、拓广 教学设计 --------有利于学生发现问题、提出问题的教学设计

青岛56中 王玉英

指导教师 裴玮 点评：王老师的教学设计合理，重难点处理到位，问题设计环环紧扣，结构清晰，开放互动效果好，是用心之作。

课程专家 云鹏 点评：一个用心的作业，以课堂实录的方式呈现，并将自己的意图加以阐明。好！值得大家学习。建议在教学目标中加入“培养学生发现问题、提出问题的能力”。

齐鲁师院省课程研究中心课程专家 李红婷 点评：王老师的作业比较好地体现了“基于问题解决的课例研究”要求。所选择的这节课能够较好地承载课例研究问题（即有利于发现问题和提出问题的教学设计）。从引入阶段问题情境的设计、到问题解决过程中层级递进的问题“支架”设计，比较好地启动了学生思维活动，并持续推进了学生深层次思维活动，让学生在发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的过程中，自主建构知识。值得大家学习和借鉴！

一、教材依据及设计思想

本节课位于北师大版教材九年级上册，是在学生学习了证明（一）（二）（三）、一元二次方程，反比例函数等知识点后的一节探究性活动课，旨在让学生用以上知识解决一个探究性问题，从而体会数学知识之间的内在联系，掌握数学的研究方法。 二、教学目标

1、引导学生经历猜想、证明、拓广的过程，增强问题意识和自主探索意识，获得探索和发现的体验。

2、在问题解决过程中综合应用所学的知识，体会知识之间的内在联系，形成对数

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学的整体性认识。

3、在探究活动中，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。 4、在合作交流中扩展思路，发展学生的推理能力。 三、教学重点及难点

体会知识之间的内在联系，在探究活动中，培养学生的问题意识，感受由特殊到一般、形数结合的思想方法，体会证明的必要性。

四、师生的准备过程

（1）知识点的补充：含有字母系数的一元二次方程的解法，如：（2m+2n-x）x=2mn 一元二次方程根的判别式

（2）布置预习作业：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？（教师布置前置性作业，使学生在较为宽松和自由的环境中进行探究，使学生真正成为学习的主人，主动的发现问题，提出问题）

五、教学过程（课堂实录） （一）预习作业展示

教师出示第一张幻灯片：任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？你是怎样做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？（培养学生发现问题，提出问题的意识）

师：同学们，来看第一个问题，这样的正方形存在吗？ 生：不存在！

师：你是怎么做的？请把你的解决方法展示给大家！

生A：我举了一个例子：若一个正方形它的边长为4，它的周长和面积分别为16和16。而如果周长变为原来的2倍32，边长为8，而此时面积变为64，面积变为原来的4倍。列表如下

边长 周长 面积 原正方形 4 16 16 新正方形 8 32 64 所以这样的正方形不存在

师：这位同学举了一个具体的例子，思路非常好，而且用表格形式表示，清楚明了，提倡大家这样做。（教师及时对好的做法进行肯定）这样就得出一个结论：这样的正方形不存在，同学们同意他的观点吗？（此处设计便于学生发现以点带面的问题）

生B：他只举了一个例子，就给出结论，是不是有点太武断了？（此处教学设计促

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进学生发现问题并提出问题，问题思维深度不断递进），应该多举几个例子！

生C：多举几个例子说服力会更大，但是只是更大，并不足以说服别人。（该问题的提出，说明学生的思维向深层次转化，教师的支架搭建成功）

师：有没有更好的方法？

生D：我设原正方形的边长为a，则周长为4a，面积为a2这样周长变为原来两倍的同时，面积变为原来的4倍，列表如下 边长 周长 面积 原正方形 a 4a a2 新正方形 2a 8a 4a2 所以这样的正方形不存在。

师：你认为自己这样就有说服力了吗？

生D：是的。这里的a表示一切符合题意的数，既包括刚才同学的具体的例子，也包括同学们未举上的例子。所以我认为有说服力。（教师通过搭建系列问题支架，让学生思维不断碰撞，通过思维不断深层转化，让学生不断发现问题并提出深层问题，从而指向本节课的教学目标）

（掌声）

师：同学们!你同意D同学的观点吗？ 生：同意!

师：我很赞成D同学的做法，但是如果你刚开始想不到用字母，也可以先用具体的数据，然后再过渡到字母，这是咱们解决数学问题的一种方法，先具体再抽象，由特殊到一般。可以先从非常熟悉的简单数字开始，再慢慢的过渡到抽象的字母，从而让你的验证过程具有说服力。（通过学生的发现问题提出问题，让本节课的难点得以突破。教师及时引导，将方法进行提升。为后续的课堂探究活动提供方法支持。）还有其他方法吗？

生E：老师我还有一种解决方法，我用相似的知识来解决，世界上所有的正方形都相似，而相似图形的面积比等于周长比的平方，因此周长变为原来的两倍时，面积一定变为原来的4倍。所以周长和面积同时变为原来的两倍，这样的正方形是不存在的。

（掌声）（老师的课堂预设要及时到位，拓展学生思维，多种方法解决问题。） 师：E同学太聪明了，用非常简单的知识解决了问题，让我门心服口服！好！现在第一个问题解决了，大家意见一致，这样的正方形不存在！那么你能提出新的问题吗？（让学生类比老师的问题，提出新问题，既培养了学生的问题意识，又为本节课后续的探究提供主题。）

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生C：是否存在一个正方形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ 生F：是否存在一个矩形， 它的周长和面积同时变为原来的2倍？ 生W：是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ 生O：是否存在一个菱形，它的周长和面积同时变为原来的3倍？ 生P：是否存在一个梯形，它的周长和面积同时变为原来的一半？ ??.

师：同学们太棒了，能提出问题就具有了一定的探究意识，现在咱们来选择其中一个做为今天的中心议题吧！选F同学提的问题吧！（顺水推舟，确定主题）

（二）中心议题：是否存在一个矩形， 它的周长和面积同时变为原来的2倍？（问题开放性大，放手学生分组探究，分组展示，便于学生在探究过程中发现问题，提出问题，解决问题）

师：有想法或解决问题思路的同学，请举手示意一下。 生1：我可以用刚才F同学提供的相似来做。 师：同学们同意吗？（及时引导学生发现问题）

生2：这种方法不行，并不是所有的矩形都相似。（学生自己解决了问题。） 生3：那么咱们应该怎么做呢？咱们应该如何探究这个问题呢？（学生的思维层次开始加深，问题有深度了。）

生4：从具体的数字开始！（学生自己解决了问题。）

师：说的非常好。下面各组给自己探究的矩形规定一个具体的长和宽。小组报数：第一组2和1 ; 第二组3和1 ; 第三组3和2;

第四组和1和2 ; 第五组3和2 ; 第六组2和1

师：各小组选的数据非常好，在研究具体数字的时候，数越简单越好，现在各小组成员先独立思考,再合作交流，探究一下你们研究的这个矩形是否存在一个新的矩形，它的周长和面积同时扩大为原来的两倍。（教师及时肯定学生的做法，给以鼓励引导。）

小组活动，教师巡视，发现有个别小组和个别同学无从下手。 教师参与这个小组的合作讨论，然后再次巡视指导。

（在巡视指导时对于较困难的小组及同学给以第一种方法的指导，巡视时，注意每一组的方法，是不是把老师需要的几种方法都涉及到了，若涉及不到，及时进行指导，以便在学生展示成果时，让学生有成功的体验。）

师：下面咱们请各小组选一各代表来展示小组的研究成果。 第一组：解：设新矩形的长为x，列表如下

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长 宽 周长 面积

原矩形 新矩形 2 1 6 12 2 4 x x－6 x（6－x）=4 , x2－6x+4=0 ,

b2－4ac=36-4×4×4 =36－16=20>0, ∴这个方程有解， ∴这样的矩形存在。

师：这种方法非常好，列表使人一目了然，还有其他的方法吗？ 仍然第一组：设新矩形的长为X、列表如下

原矩形 新矩形 （x＋4/x）·2=12,

长 2 宽 1 周长 6 12 面积 2 4 x x/4 x＋4/x=6, x2－6x＋4=0, 以下同第一种解法。

（若学生在展示时没有涉及这种方法，教师要给予补充）

师：这两种方法一样吗？（引导学生将知识归类，搭建支架，让学生发现问题） 生甲：不一样，方法一是用周长设未知数，面积为等量关系；而方法2是以面积设未知数，周长为等量关系，方法一列的是一元二次方程，而方法二是分式方法。

师：这两种方法都很好，同学们选择一下，哪一种在具体做题时不易出差错？（继续搭建支架，让学生发现问题）

生：方法一 师：为什么。

生：方法二还须检验，麻烦！

师：好，第一组的成果很好，而且他门有了一个肯定的结论，和他门方法一样并且也有肯定结论的举手，那方法不一样的继续展示。（培养学生进行方法最优化的选择）

第六组：设新矩形的长为x，宽为y，列表如下 原矩形 新矩形

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长 2 宽 1 周长 6 12 面积 2 4 x y

2(x＋y)=12

x·y=4

化简得 x＋y=6 ①

x·y=4 ② 由①得y=6－x ③ 把③代入② x·（6－x）=4, x2－6x＋4=0. 以下同方法一。

师：这个小组是用方程组来做的也很好，还有不同的方法吗？(不断为学生提供发现问题的空间，拓展学生思维)

第二组：设新矩形的长为x·宽为y，列表如下

原矩形 新矩形 长 3 宽 1 周长 8 16 面积 3 6 x y ?y??x?8,?x?y?8,?，∴?6 ?y?.xy?6.??x?图像如下：

两个图像有交点． ∴这样的矩形存在。

（若学生展示时没有涉及这种方法，教师可视时间情况给予补充）

师：这个小组的方法太巧妙了，把咱门学过的一次函数的图象及反比例函数的图象结合在一起解决今天的探究问题，提出表扬，给以掌声鼓励。现在咱们将这几种方法进行比较，有共同点吗？ （为学生搭建发现三种方法异同点的支架，让学生自我进行最优化选择。）

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生乙：在前三种方法中，最后都出现了一元二次方程X2－6X＋4=0

所以虽然方法都很好，但方法二和方法三是列分式方程及二元方程组后得到的一元二次方程，不如第一种方法直接得到一元二次方程好。最后一种方法在实际操作时，出现误差的可能性很大，虽然好，但具体研究时不太可取！（学生自己发现了三种方法的异同点，并进行了分析，进行了方法最优化的选择，揭示了数学知识之间的内在联系，自己发现了问题，分析了问题，解决了问题，能力得以提升。）

师：大家认同他的观点吗？ 生：认同

师：现在大家达成共识第一种方法好。咱们继续这节课的探究，刚才大家都给自己的研究一个肯定的结论，这样就可以给咱们的中心议题一个肯定的结论吗？（此处教学问题的设计，旨在引导学生发现不能用特殊代替一般的问题。）

生：不行

师：那再怎么办？

生丙：由特殊到一般，由具体的数字到抽象的字母。（学生的思维层次已经得以提升，提出的解决问题方案符合数学问题研究的规律）

师：说的好，再给你探究的矩形一个长和宽，咱门先让长和宽其中一个为字母。 小组报数：第一组n和1 第二组m和1 第三组1和a 第四组1和b 第五组m和2 第六组a和1

师：好，现在小组开始探究，再提醒一下，用哪一种方法又快又准确。 生：第一种！

小组合作，教师参与其中。 成果展示

第三组：设新矩形的长为X，列表如下

原矩形 新矩形 长 1 宽 周长 2＋2a 4＋4a 面积 a 2＋2a－x a 2a x x(2＋2a－x)=2a x2－(2＋2a)x＋2a=0

a=1 ,b=－(2＋2a),c=2a

b2－4ac=－(2＋2a)2－4·1·2a =1＋8a＋4a2－8a

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=4＋4a2>0 ∴这个方程有解, ∴这样的矩形存在.

师：第三组的同学做的非常好，他门验证了一元二次方程根的判别式发现△>0 从而确定此方程有解，从而确定可以求得合适的X即合适的长，从而此矩形存在，下面咱们请第五组的同学上来展示。

第五组：设新矩形的长为x 列表如下

原矩形 新矩形 长 宽 2 2m＋4－x 周长 2m＋4 4m＋8 面积 2m 4m m x x·（2m＋4－x）=4m x2－（2m＋4）x＋4m=0 a=1 , b=－(2m＋4) , c=4m b2－4ac=(2m＋4)2－4·1·4m =4m2＋16m＋16－16m =4m2＋16>0 ∴此方程有解 ∴这样的矩形存在。

师：这两组同学都对自己探究的问题给出了肯定的结论，那么其他组呢？ 生：存在

师：刚才咱们探究了长和宽其中有一个为字母的情况，同学们都认为这样的矩形存在，那么现在给中心议题一个肯定的结论，大家觉得有问题吗？（不断为学生发现问题搭建支架，教学设计引导学生层层深入，促进了学生对本节课核心知识的深入理解）

生甲：不行，要探究长和宽都为字母的情况！（学生自己发现问题，并给出解决问题的方案）

师：好，下面咱门再给矩形规定长为m，宽为n，全体同学一起探究这个问题，看看是否存在一个矩形，它的周长和面积同时变为原矩形的两倍。

教师巡视学生的探究过程。 师：这样的矩形存在吗？ 生：存在！

师：请B同学来展示一下探究成果 同学：解设新矩形的长为x，列表如下

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原矩形 新矩形 长 宽 周长 2m＋2n 4m＋4n 面积 m x n 2m＋2n－x mn 2mn x·(2m＋2n－x)=2mn, x2－（2m＋2n）x＋2mn=0, a=1,b=－(2m＋2n),c=2mn,

b2－4ac=－(2m＋2n)2－4×1×2mn =4m2＋8mn＋4n2－8mn =4m2＋4n2>0. ∴这个方程有解, ∴这样的矩形存在.

师：同学们。你有成就感吗？ 生：有

师：什么成就？

生F：我现在可以给中心议题一个肯定的结论了这样的矩形存在，无论给定一个什么样的矩形，我都能找到一个新的矩形，使它的周长和面积同时变为原矩形的两倍。（学生通过老师层层搭建的问题支架，从发现问题入手，始终遵循研究数学问题的规律方法，解决了一个学生自己提出深层次的探究问题，学生的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力得以提升。）

(全体同学掌声) （三）、感悟与收获

师：同学们，这一节课大家非常投入，用自己的辛劳与努力，猜想并证明了一个问题，在探究的过程中，你有哪些收获？

生I：我亲身体验了探究的过程，知道了探究一个问题时应该先具体再抽象，先特殊再一般。同时，我们要敢于质疑，敢于提出问题，发现问题。

生C：在解决一个问题时，我们应该动脑筋，想出更多的方法，并且要注意具体实施时，所有的方法要择优录取。

生M：数学知识之间是有联系的，如同一个问题可以直接用一元一次方程解，也可以列二元方程且转化为一元二次方程解，也可以列分式方程转化为一元二次方程解，也可以用函数图象求解。

生N：判断一个问题时不能以点代面，应看它的全部。

师：同学们说的非常好，老师也有收获，通过这一节课的学习，我再次发现了同学

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们的聪明与睿智，再次亲身领略了不能以点代面，人人都有闪光点这句话的真正含义。

（四）作业

1.将各小组的发现整理成小论文；

2.对矩形面积和周长的减半问题用同样的方法进行研究。（设置让学生继续发现问题，提出问题，分析问题，解决问题的作业。） 六、本节课的教学反思

1、教师的课堂预设要细致到位，具体到每一个环节学生可能出现的所有情况，这样才能高屋建瓴的驾驭课堂。

2、学生的聪明才智不可估量，关键是老师一定要敢与放手，要让学生真正做课堂的主人，教师为学生搭建发现问题的支架，诱导学生层层深入，而在整个过程中老师只是一个引导者、参与者、合作者。

3、设置第一个环节主要为第二个环节做铺垫，让学生初步感受由特殊到一般的数学证明方法，初步感受研究数学问题的方法和规律，为第二环节深层次问题的探究铺好路。

4、第一个环节中，学生的答案基本一致，即：不存在。但在讲述自己的做法时，出现了三种方案：①举例边长为4的正方形即特殊数字。②举例边长为m的正方形即一般字母。③用相似图形的性质：面积比等于周长比的平方。这三种方案教师都应该给予肯定，但应引导学生感受特殊与一般的区别，以及由特殊到一般的数学思想，引导学生总结出：探究一个问题时，可以先特殊后一般。

5、第一个环节中，学生提出的新问题非常多，教师一定要给以表扬，并引导学生回到本节课的中心。学生提出的问题如下：

（1）是否存在一个正方形，使周长和面积是原来的一半？ （2）是否存在一个矩形，使周长和面积是原来的3倍？ （3）是否存在一个梯形，使周长和面积是原来的2倍 （4）是否存在一个三角形，使周长和面积是原来的1/2倍？

????

6、在第二个环节中学生有三种不同的方法：①一元二次方程如：

设所求矩形的长为x，则宽为6-x，而它的面积是x（6-x），从而所求方程为x（6-x）=4 ②二元一次方程组，③一次函数与反比例函数的图像．7、在表扬的同时要引导学生正确取舍。

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整体建构 平中见奇

——李庾南老师一堂《因式分解》课的赏析

执教教师：全国著名特级教师李庾南

省课程专家：邢成云赏析

我聆听了全国著名特级教师李庾南老师的一节课——《因式分解》，可以说品味了跨越时空的一次课堂盛宴，让我再次惊慕李老师的大手笔。“淡中知真味，常里识英奇”，在看似平淡的课堂上，演绎了一程精彩的学习之旅，引领了新课程理念下数学课堂的价值走向.其整合之力、设计之巧、引导之妙、交流之韵、选题之当、爱生之深，在李老师的娓娓道来中流淌出来，宛若玉桨琼液，透着芳香；俨如一杯香茗，曼妙、沁心，余味不绝.本文撷取李老师在这次教学的三个主体片段做一赏析，与众同仁交流. 一、铺设温床，孕育新知

师：现在我请同学们计算，并且进行比赛，看谁完成的速度最快？ (ppt展示)计算：

1. (x+y+1)2-x(x+y+1)-y(x+y+1)； 2．(x+1)2-2(x+1)+1； 3．(a+b+c)2-(a-b-c)2

（李老师依次读题后说：谁先做好，就举个手） 生开始计算，师巡视??

师：好，现在有同学做好了，下面请这位同学说说他怎么算的？ 生1：我把每一个因式里的相同因式“x+y+1”都提出来， 师（打断后追问）：是每一个因式还是每一项？ 生1：每一项

师：好！他发现每一项都有一个因式“x+y+1”，所以他就把它提出来了，提出来后的另外一个因式是？

生1：是“x+y+1-x-y” 师：计算的结果等于多少？ 生1：x+y+1

师：你这样做的依据是什么？

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生1：乘法分配律的逆应用

师：你把它逆过来用了.乘法分配律，谁还记得怎样用式子表示? 生2：m(a+b+c)=ma+mb+mc 师：正确，你把分配律反过来用，该怎样表示？ 生1：ma+mb+mc=m(a+b+c)

师：由于把分配律反过来用了，所以就使得运算速度变快了.

师（讲解）：我看小杨不是这么做的，她把（x+y+1）2看成x+y+1乘x+y+1的积，她也做得很好，她先把积化成了和，再把后面的做乘法、做乘法，最后做加法，可这样做速度就慢了，是不是？

由此可见，有时候在计算的时候，我不先求积，我把积化成了和，然后再来计算，有的时候，我们不先求和而是先把和化成积，这两种互逆的运用，要根据具体的情况来选用.那第2题，除了刚才那位同学，谁还做好了？

生3：它就等于x加1再减1括号的平方

师（边重述学生的说法边板书）：原式=【（x+1）-1】2，它就等于？ 生3：x的平方

师：那你上来讲一讲为什么这样做？

生3（上台）：因为我看到这个式子，我感觉它就是完全平方公式乘出来的一个结果，我想我就把它逆过来用，逆过来用的话它就等于【（x+1）-1】2

??

师：由于他认真地观察式子的特点，发现是一个完全平方式，他就反回来用了，就使得运算简便、迅速，很快就得到结果，那第3题呢？

??（第3题类似第2题教学，略.）

师：由于我们的同学巧妙地把运算法则或者公式反过来用，反过来用和正着用，观察一下有什么不同？

??

师：我们运算时，有的时候先求积再求和比较方便，可有的时候根据算式的特点，比如说，第一题，可看作是三项的和，我们不先求和，而是先把和化成积，就使得运算简单，所以我们不仅要研究积如何化成和，我们还反过来研究特殊的和怎样化成积，把和化成积，这种变形叫因式分解.这就是今天要研究的课题！（板书）：因式分解

师：我们研究一个新的概念的时候，首先该研究什么？

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生：定义 ??

师（对照板书慢速讲解并强调要点）：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，或者叫分解因式。变形前是多项式，变形后是整式的积！

【赏析】：李老师创设的教学情景并非脱胎于实际问题，而是以3道特殊计算题为载体，烘托出看谁算得又对又快的比赛情境，通过生1、生2、生3等算得快的同学的自我阐释，暴露各自思维的轨迹，揭示出算得快的原因是逆用了乘法公式或运算律，让学生感知计算时用简便方法，能更快更好的获得答案，从而激发起好奇心、求知欲，能让学生先初步产生“分解因式”的印象，进而感悟“因式分解”是“和化积”与“整式乘法”是“积化和”的互逆过程，其中的每一道题都有其不同的目的和功能，通过计算的体验和正反对比，对生成概念、提炼概念、完善概念，都起到了积极的促进作用.这种基于数学的内部发展迸发出的力量，有效调动了学生参与的积极性，在一种自然而然中，新的知识在李老师搭建的温床上孵化出来，没有丝毫的生拖硬拽. 二、精心预设，方法构筑

（ppt展示）因式分解：1．a2b+ab2 2．x2-4 3．m2-m+

14 一分钟后，生4、生5、生6板演，三分钟后，板演完成回位 师（指名学生）：你说一下第一题她是根据什么原理来做的？ 生7：生4是根据乘法的分配律来做的 师：正着用还是反过来用？ 生7：反过来用

师：a2b与ab2的和反过来用时，这个“m”（指着分配律的板书内容）是公因式吧，是哪一个？

生7：是ab

师：也就是我们反过来用时，要找“m”，乘法分配律是“m”乘以多项式，反过来用时，各个多项式里都有一个“m”，这个m就叫做这个多项式的公因式，（在m下板书：公因式）公因式怎么找的呢？由于这两项的系数都是1，所以就没有必要去确定它们的最大公约数了，字母a，它的最低次幂是几次？

生：1次 师：b呢？ 生：1次

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师：因此，a2b与ab2的公因式就是ab，那另外一个因式a+b怎么算出来的呢？这里a怎么算的？

生8：是a2b除以ab,

师：就用原来的这一项a2b去除以你提出来的公因式，就得到另一个多项式的第一项，那b呢？

生9：是用ab2去除以ab

师：用第二项除以提出来的公因式，就得到另一多项式的第二项.原来是一个二项式，提出公因式后的另一因式，仍然是二项式，这个二项式是怎么得到的呢？就是用原来的多项式分别去除以这个公因式得到的，我们把这种因式分解的方法叫提公因式法.公因式很好理解，就是各项都有的因式，我们提个什么公因式出来？通过刚才这道题知道，相同字母提它的最高还是最低次幂？

生：最低次幂

师：如果有系数呢？比如2a2b与6ab2呢？应该提什么？ 生：提2

师：这就是系数的最大公约数，清楚了吧！ 生：清楚了！

师：第2道题，由完成这个题的同学6说说看，你是用什么方法做的 生：我是把4化成2的平方，再把平方差公式反过来用

师：都听清楚了吗？这种分解因式的方法，给它取个名，什么法？ 生：公式法 ?? 【赏析】：

这一片断，李老师把因式分解的方法巧妙地嵌入到题目中去，通过学生的解题实践，老师以例说事，充分发挥了组织者、指导者的主导作用，适时的点拨、引导、讲解，冰冷的、抽象的方法顿时活泼起来，变得丰满、具体，为学生所喜闻乐见，通过这一组题总结出因式分解的两种方法：提公因式法和公式法. 三、多维对话，以知孕情

分解因式：

1．3a3b-12ab3 ； 2．（p-q）2-2(q-p) ；

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3．（a2+b2）2-4a2b2

安排生10、生11、生12板演

师：三个题目做好了就小组交流：每个题怎么分解因式？方法是不是只有一个？ 5分钟后，小组交流、讨论??

师：好，同学们看黑板，第1题，做到3ab（a2-4b2）这个结果的请举手 生：大部分举手，少部分没举

师：大部分同学是这个结果，不是这个结果的同学上台讲一讲自己怎么做的？ 生13：我看到a2-4b2是一个平方差，它还可以化为（a+2b）（a-2b）

师：不同的意见很正常，大家注意了，因式分解是把多项式化成几个整式的积的形式，大家一直认为，3a3b-12ab3有公因式3ab，提出后的另一因式为（a2-4b2），??（讲解为什么a2-4b2还能分解，并强调分解到不能再分解为止）.

再看第2题（面对板演）：这个同学把（p-q）2变成了（q- p）2，哪个同学做的，你说一下你为什么这样做？ 生11：因为（p-q）与（q- p）互为相反数，我们知道互为相反数的平方相等 师：对，回答得很好，互为相反数的平方相等，因此，取（p-q）为公因式呢？还是取（q- p）为公因式？方便的方法是变化有平方的；若取（p - q）为公因式，心算一下另一个因式是什么？

生13：（p- q+2）

师：这样两个式子不就不同了吗？（李老师解释形异质同，略），不过我们做的时候，应该采用生11的方法，简化运算的过程，是这样做的举手

生：（大多数举手）

师：还不错，好.第3个题，我发现有的同学不是这么做的，谁做的这个题？上来讲一讲

生12：第二项可以化成“2ab”的平方，这样就可逆用平方差公式，得（a2+b2+2ab）

（a2+b2-2ab），这一个括号里是完全平方式，就可化成（a+b）2

，后边也同样，化成了（a-b）2

.

师：这里（a+b）2是一个多项式是不是可以继续化了——不可以；这里的（a-b）2

也不可以化了，所以我就叫把它分解完了；可是我看了下面有不少的同学不是这样结果，不是这个结果的请举手

??

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师（下台寻找那几个不是这个结果的同学）：嗯，刚才我看到有这个结果的呀（巡视），哦，做调整了，这几个同学做了调整.不错，自己能调整，发现做到（a2-b2）2这个结果的时候，底数是（a2-b2），还应该怎样？

生：继续分解

众生说，师板书并表述：（a2-b2）2=[（a+b）（a-b）]2=（a+b）2（a-b）2；那么有的同学为什么做成这样的呢？因为我们一开始没有经验，不知道最后这个底数还能进一步分解，更主要的是有的同学一开始不是用的平方差，是做的积，变成“a4+b4-2a2b2”，他发现这是个完全平方式，所以就化成了（a2-b2）2，这样做可不可以？

生：可以

师组织注意事项的交流?? 【赏析】：

法国教育家弗莱雷说过：“没有对话，就没有交流，也就没有真正的教育，课堂应该是对话的课堂.”对话的要义之一就是深度交流.现代教学论认为：课堂教学除了知识对流的主线外，还有一条情感对流的主线.李老师在这一环节组织了两次大型交流：

一是第三组题目解答5分钟后的小组交流，是在学生独立思考、独立解题后的基础上展开的，这种基于学生亲力亲为真切体验下的交流，学生已经拥有了交流的素材，每一位同学都会有话可说、有资可鉴，交流的更加充分、深入，变大课堂统领为小课堂格局，为老师的指导增强了针对性，小范围的互助互学、互促互进，为学生的个性发展搭建了优质的平台，在师生、生生的平等对话中，理顺思路，调节纷乱，优化认识，在可视化思维的碰撞中，达至心灵的默契，这种厚实的真味课堂是对“没有独立思考就合作交流”等形式化课堂的有力反击，它摆正了学生的主体地位，实现了情与知的融汇.

二是全班交流. 在对话中，不时有李老师那亲切的话语“大家注意了”“大家听清楚了吗？”“你还有什么问题吗?”等等，她用欣赏口吻的课堂语言及其透射出的亲和力，营造出温馨的情感场，润泽着学生的心灵，流露出对学生的尊重，能让我们真切感受到学生始终是在一种心理安全、平等交流的氛围中轻松地学习.这种尊重本身就是真切的情感孕育，我们看到，李老师设置的练习环节，不是单纯地要求学生去解题，而是以此为载体，通过追问引领，驱动学生展开丰富的思维活动、实施高级的心智交流，在交流中享受数学带来的浪漫，冥想和情趣.

总之，本环节李老师用行动把如何对话、如何交流做了精彩的解读，交流时机的把脉，师生、生生互动的掌控，都拿捏得恰到好处，值得我们倾心学习.

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【总体赏析】：

1.整合教材，快慢相宜

李老师的单元教学法，是基于整体建构下对教材整合的灵活把握，在本节课充分展露.

李老师通过三组题目涵盖了所有知识点，承载起对概念、方法、原理的形成过程的研究，只用了一节课把因式分解的全貌勾勒出来，是那样的顺乎自然.这种大胆的尝试，其实对李老师来说是常态的，本堂课彰显出李老师对教材的深刻理解和对课堂的调控能力，可谓是对“不是教教材，而是用教材教”的最好的诠释，是新理念的践行注脚，对教材深入解读，创生教材，挖掘出内蕴其中的道，用道来统摄全局，这种整体的构建，让学生有了全景的认识，站在了通观全局的制高点上，更便于环视知识的来龙去脉，明察整体架构的骨质气韵.胸中有了整体，对每一部分的地位、作用以及内在的关联的认识就会深刻.

?定义：内容在此从略?整体观念显性的体现就是小结部分，即：整体建构一?提公因式法?因式分解???方法?公式法?平方差公式????完全平方公式??目了然；隐性的体现是整堂课的规划，大气磅礴，快慢得体.说快，是因为一节课把整个因式分解“一网打尽”，概念、方法、步骤悉数登场；说慢，是因为李老师对学生的现场生成资源的利用与讲解，缓推慢进，如潺潺流水，点点滴滴浸透着学生求知的田园，这种基于通透的慢是真教育的折射.快与慢这两种基调，相克相生，相互补遗，携手学力的涵养，同归思维的孕育.一句话，就因为有了宏观上的视野，才有了微观上的深入！

2.追问适切，展露心语

陶行知先生一语道破教与学的关系：“教”的法子要根据“学”的法子.这就是我们当下追寻的以学定教，教的本质在于“引导”，在于把学生引到该去的地方——“高速公路入口处”，追问就是基于学生回应后现场资源的一种引导，如生1说：“我把每一个因式里的相同因式‘x+y+1’都提出来”，在此李老师打断学生表述后追问：“是每一个因式还是每一项？”这种补正性引导，是为了纠正生1的不严谨表述现场设定的，是对生成资源的巧妙捕捉，来得及时，来得必要，另如“你为什么这样做？”等这类穷其缘由的适时追问，能真实暴露学生的思维原貌，使得内隐的思维历程外显化，给教师以学定教提供了优质的现场资源，在追问中，不断为学生提供反思学习的机会，澄明模糊，提升认知，完善体系.这种追问是李老师的拿手好戏，在本节课俯首即拾.

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整堂课，李老师没有讲一道例题，所有题目均由学生自主完成并讲解依据，只是在必要时提上几句、拉上几把，来个追问，推波助澜，真正落实了将课堂还给学生.

3. 淡中流香，平中见奇

数学教学的核心是教思维，这也是数学的“真味”.英国人的烹调技术有一特色，即不借助其它佐料，而是把菜的原味之香给烧出来.教学亦然，要把数学的本真、数学的魅力展现给学生，就需要激发出学生学习的积极意向，让学生的思维活跃起来，而不是搞什么火爆的虚假繁荣.本堂课，看似波澜不惊，甚至在有些人眼里实在是平淡，但就在这平淡之中，数学教学的真谛通过课堂的教学活动外化出来.

稍一留心，不难发现，三个环节中有一个关键词反复出现——“反过来”，这个词本身何其平凡，岂知这就是本节课的内核，从逻辑关联的角度看，本节课其实没什么新的东西，无非就是把原来的法则反过来，可就是这么一个反过来即为新知的构建，李老师的高明就在于让学生在不知不觉中打通了这个新与旧的节点阻隔，概念的建构在不经意间落成，看似随意挥洒，实则是李老师的精心策划，是时时处处的渗透、濡染.

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分享之一：

《二元一次方程》教学设计

作者：李行杰 学校：莱西市日庄镇中心中学

指导教师 邴晓明 点评：搭建问题支架，活跃学生思维，引领学生发现问题 、提出问题。值得借鉴。

课程专家 云鹏 点评：问题情境的设计有味道；探索交流，汲取新知环节耐人寻味；设计说明则道出了个中滋味。学习了！

一 、教材的地位与作用

《二元一次方程》是九年义务教育课程标准实验教科书鲁教版教材七年级下册《二元一次方程组》的第一节。在此之前学生已经学习了一元一次方程，这为本节的学习起了铺垫的作用。本节内容是二元一次方程的起始部分，因此，在本章的教学中，起着承上启下的地位。

二、教学目标 (一)知识与技能： 1.了解二元一次方程概念；

2.了解二元一次方程的解的概念和解的不唯一性；

3.会将一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

(二)过程和方法：

1、体会学习二元一次方程的必要性，学会独立思考，体会数学的转化思想和主元思想。

2、初步学会利用二元一次方程来解决实际问题，感受二元一次方程解的不唯一性。获得求二元一次方程解的思路方法。 (三)情感态度价值观：

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培养学生发现意识和能力，使其具有强烈的好奇心和求知欲。 三、教学重点与难点

教学重点：二元一次方程及其解的概念。

教学难点：二元一次方程的概念里“含未知数的项的次数”的理解；把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式。

四、教法与学法分析

教法：情境教学法、比较教学法、阅读教学法。 学法：阅读、比较、探究的学习方式。 五、教学过程

（一） 创设情境，引入新课 从学生熟悉的姚明受伤事件引入。 师：火箭队最近取得了20连胜，姚明参加了前面的12场比赛，是球队的顶梁柱。

（1）连胜的第12场，火箭对公牛，在这场比赛中，姚明得了12分，其中罚球得了2分，你知道姚明投中了几个两分球？(本场比赛姚明没投中三分球)

师：能用方程解决吗？列出来的方程是什么方程？

（2）连胜的第1场，火箭对勇士，在这场比赛中，姚明得了36分，你知道姚明投中了几个两分球，罚进了几个球吗？(罚进1球得1分,本场比赛姚明没投中三分球)

师:这个问题能用方程解决吗?,你能列出方程吗?

（3）在雄鹿队与火箭队的比赛中易建联全场总共得了19分，其中罚球得了3分。你知道他分别投进几个两分球、几个三分球吗？

师：对于所列出来的三个方程，后面两个你觉的是一元一次方程吗？哪些是？

不是的那两个方程有什么相同点吗？你能给它们命一个名称吗？ 从而揭示课题。

（设计意图：第一个问题主要是让学生体会一元一次方程是解决实际问题的数学模型，从而回顾一元一次方程的概念；第二、三问题设置的主要目的是让学生体会到当实际问题不能用一元一次方程来解决的时候，我们可以试着列出二元一次方程，渗透方程模型的通用性。另外，数学来源于生活，又应用于生活，通过创设轻松的问题情境，点燃学习新知识的导

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火索，引起学生的学习兴趣，以“我要学”的主人翁姿态投入学习，而且“会学”、“乐学”。）

（二）探索交流，汲取新知

1、概念思辩，归纳二元一次方程的特征

师：那到底什么叫二元一次方程？（学生思考后回答）

师：翻开书本，请同学们把这个概念划起来，想一想，你觉得和我们自己归纳出来的概念有什么区别吗？（同学们思考后回答）

师：根据概念，你觉得二元一次方程应具备哪几个特征？ 活动：你自己构造一个二元一次方程。 快速判断：下列式子中哪些是二元一次方程?

①2x+3y=1 ②x=y-7 ③4x-6y ④x=0 ⑤x2+2y-1=0 ⑥3y+x=x-3 ⑦ax+3y=4(a为常数)

（设计意图：这一环节是本课设计的重点，为加深学生对----含有未知数的项的次数的内涵的理解，我采取的是阅读书本中二元一次方程的概念，形成学生的认知冲突，激发学生对“项的次数”的思考，进而完善学生对二元一次方程概念的理解，通过学生自己举例子的活动去把“―项的次数”形象化。在归纳二元一次方程特征的时候，引导学生理解―含有未知数的项的次数都是“一次”实际上是说明方程的两边是整式。在判断的过程中，②⑥⑦是在书本的基础上补充的，②是让学生先认识这种形式，后面出现用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数实际上是方程变形；⑥是方程两边都出现了x,强化概念里两个未知数是不一样的；⑦是再次理解―次项的次数。）

2、二元一次方程解的概念

师：前面列的两个方程2x+y=36,2x+3y=16真的是二元一次方程吗？通过方程2x+3y=16，你知道易建联可能投中几个两分球，几个三分球吗？

师:你是怎么考虑的?(让学生说说他是如何得到x和y的值的,怎么证明自己的这对未知数的取值是对的)

利用一个学生合理的解释,引导学生类比一元一次方程的解的概念,让学生归纳出二元一次方程的解的概念及其记法。（学生看书本上的记法）

使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。

（设计意图：通过引导学生自主取值，猜x和y的值，从而更深刻的

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体会二元一次方程解的本质：使方程左右两边相等的一对未知数的取值。引导学生看书本，目的是让学生在记法上体会“一对未知数的取值”的真正含义。）

3、二元一次方程解的不唯一性

对于2x+3y=16，你觉得这个方程的解唯一吗？你能试着写几个吗? 师：这些解你们是如何算出来的？

（设计意图：设计此环节，目的有三个：首先，是让学生学会如何检验一对未知数的取值是二元一次方程的解；其次是让学生体会到二元一次方程的解的不唯一性；最后让学生感受如何得到一个正确的解：只要取定一个未知数的取值，就可以代入方程算出另一个未知数的值，这也就是求二元一次方程的解的方法。）

4、如何去求二元一次方程的解 例 已知方程3x+2y=10

（1）当x=2时，求所对应的y的值；

（2）取一个你自己喜欢的数作为x的值，求所对应的y的值； （3）用含x的代数式表示y； （4）用含y的代数式表示x；

（5）当x=-2，0时，所对应的y 的值是多少？ （6）写出方程3x+2y=10的三个解.

（设计意图：此处设计主要是想让学生形成求二元一次方程的解的一般方法，先让学生展示他们的思维过程，再从他们解一元一次方程的重复步骤中提炼出用一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后把它与原方程比较，把一个未知数的值代入哪一个方程计算会更简单，形成“正迁移”，引导学生体会“用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程，实质是解一个关于y的一元一次方程，渗透数学的主元思想。以此突破本节课的难点。）

5、 大显身手： 课内练习第2题 （三） 梳理知识，课堂升华

本节课你有收获吗？能和大家说说你的感想吗？ （四） 作业布置

必做题：书本作业题 1、2、3、4 选做题：书本作业题 5、6 六、设计说明

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本节授课内容属于概念课教学。数学学科的内容有其固有的组成规律和逻辑结构，它总是由一些最基本的数学概念作为核心和逻辑起点，形成系统的数学知识，所以数学概念是数学课程的核心。只有真正理解数学概念，才能理解数学。二元一次方程作为初中阶段接触的第二类方程，形成概念并不难，关键如何理解它的概念，因此本节课采用先让同学自己试着下定义，然后与教材中的完整定义相互比较，发现不同点，进而理解“含有未知数的项的次数都是一次”这句话的内涵。

在二元一次方程的解的教学过程中，采用的是让学生体会“一个解——不止一个解——无数个解”的渐进过程，感受到用一个二元一次方程并不能求出一对确定的未知数的取值，从而让学生产生有后续学习的愿望。

在讲授用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的时候，采用“一般——特殊——一般——特殊”的教学流程，以期突破难点。首先抛出问题“这几个解你是如何求的”，此时注意的聚焦点是二元一次方程；其次学生归纳先定一个未知数的取值，代入原方程求另一个未知数的值，此时注意的聚焦点是一元一次方程；然后教师引导回到二元一次方程，假如x是一个常数，那么这个方程可以看成是一个关于谁的一元一次方程，此时注意的聚焦点是原来的二元一次方程；最后代入求值，此时注意的聚焦点是等号右边的那个算式，体会“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”在求值过程中的简洁性，强化这种代数形式。另外，在引导学生推导“用含一个未知数的代数式表示另一个未知数”的过程中，渗透数学的主元思想和转化思想。

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分享之二：

探索平行线的构造应用—平行线拐点问题

作者：姚艳 学校：广饶县英才学校

指导教师 郑淑娟 点评： 能够从与平行线有关的一个典型问题入手，精心设计问题，引导学生探究，从而深化了学生对平行线性质和判定的理解与应用，对学生探究过程描述细致，由浅入深，层层递进，又注重了学生发散能力的培养，可以看出，本设计能够提高学生探究问题的有效性，是一篇不错的教学设计。

课程专家 邢成云 点评： 至今来说，这是一篇原创成分较高的设计，特此推荐。虽然“拐点”问题也是老生常谈，但本设计不乏创新元素。尤其是探索活动过程的细化，将有助于学生的发现，契合了作业的主题“基于发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的研究“， 教师引导语纵然不很考究，但也能看出老师对预设下了功夫。提几点建议：1.教学目标的三维设置有剥离之嫌，过程与价值观没有停靠点，没有载体，是空话，可以考虑将其有机整合；2.问题3可改成探索性问题，先引导学生猜想，再落实逻辑推证，期间可渗透特殊一般的思想方法，即拐点成直线时就是平角，显然三个角的和为360°，极限观念随之植入，如此处理是不是更合情合理？3.可否在活动三之后，把成果放大，设置两个、三个?拐点，除了巩固之外，更重要的是便于 揭示出方法的本质；4.机动练习最好设计出来，不然就是空话。 【教学目标】 知识技能：

(1)能够通过辅助线构造平行线性质应用的条件。 (2)熟练利用平行线的性质解决问题。 过程与方法：

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(1)经历观察、思考、想象、交流等活动，发展学生利用辅助线构造定理使用条件的能力，培养学生发现问题、灵活转化问题的能力。

(2)经历探索平行线拐点问题的过程，让学生体会数学中利用辅助线去构造条件的数学思想，感受数学学习变化无穷的魅力。 情感态度与价值观：

(1)在解决问题的过程中，培养学生发现问题、转化问题、类比解决问题的意识。

(2)在探索交流中，培养学生与人协作、不断探索反思的精神。 【教学重点】

经历通过辅助线构造平行线性质应用条件的过程，发展学生发现问题、提出问题、分析问题、转化问题、解决问题的能力。

【教学难点】首次接触辅助线；感受辅助线的重要作用 【前置知识】

1.熟练掌握平行线的性质定理以及判定定理；

2.能够熟练利用直尺在平面内过一点作已知直线的平行线。 (目的:知识一是为了让学生熟练感受平行线的性质和判定使用的前提条件和基本图形；知识二是为了学生做辅助线做准备。)

【教学过程】 一、利用前置知识导入

问题1：陈述你所学过的平行线的性质定理和判定定理。

问题2：平行线的性质定理和判定定理所涉及的重要角，以及表示图。

（目的：能够将平行线性质和判定所使用的定理与基础图形相结合，体会平行线中第三条“截线”的重要性。）

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问题3：展示新课例题

如图a//b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，证明∠1+∠2+∠3=360°

如果两条平行线间截线没有贯通，出现了拐点，我们怎么办？从而顺利引入新课。

二、探索过程

【活动一】思考两条平行线间如果没有被一条贯通的截线所截，那么你所学过的平行线的性质和判定定理还能用么？

活动任务：小组内交流思考；然后小组代表发言，说明观点。 学生回答预设：

预设1：不能，因为平行线性质和判定定理中的条件即同位角、内错角或者同旁内角没有了。

预设2：不能，因为平行线性质和判定定理中用到的基础图形在这个题目里没有了。

教师引导语预设：

当学生说出平行线性质和判定定理中的条件角时，板书“同位角、内错角、同旁内角”，引起学生关注。

当学生说出平行线性质和判定的基础图形时，再次展示出基础图形，引起学生的注意。

当学生说不出以上结论时，展示基础图形，引导学生结合图形对比和平行线性质、判定定理进行对比。

我们实际解决平行线的问题时，有时候很多重要的条件都不具备，这个时候我们就可以借助于辅助线来构造我们所需要的条件，这是数学中一

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个非常重要思想——构造。

【活动二】探索构造辅助线的做法

活动任务：小组内交流，如何能将例题中的图形构造成可以使用平行线性质、判定定理的图形；小组代表展示，用语言描述自己的做法，并阐述自己的想法。

学生回答预设： 预设1：

预设2：

教师预设：预设1、2都涉及做平行线，学生可能会描述成“过P作a、b的平行线”。板书，重点在后面纠正这种错误的描述方法。

预设3：

预设4：

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教师：以上这些图都实现了在平行线间有一条贯通的截线。 抛出问题：a.对于这么重要的辅助线，你认为应该如何描述更合理、准确？

b. 图中是否出现了我们平行线定理中所涉及到的重要角？ c. 这些角与我们要找的3个角之间有什么关系？

【活动三】选择预设方案1作为基础，让学生探索过程写法。 活动任务：先自己思考完成，然后小组内互相查看，挑选出小组书写最合理的上台展示。

学生活动预设：

仍然忘记在解题的开始说明辅助线的做法；

在从所作的PA//a过渡到PA//b，学生可能会直接使用，应注意推导过程的书写。

教师预设：

如果学生在平行的转化中直接使用了，引导学生注意去证明。 如果通过引导，学生仍无法写出较流畅的过程，给学生分段展示标准的证明过程。

三、课堂小结

问题：本节课我们学习了一个重要的题型，一条重要的“线”还有一种重要的数学思想，大家可以根据自己的理解，总结下么？

要求：以小组为单位进行交流：1人组织，1人记录归纳，2人展示，组内人人发言。

教师引导语预设：

当学生能从知识、探索过程、思想方法三个方面有条理的总结收获时，

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教师予以肯定表扬，并进行提升，引导其他小组也从这几个方面进行有条理的总结。

当学生不能有条理的从三个方面进行分类总结时，教师可结合现有的板书，引导学生回忆学习过程。

教师补充解释：

刚才所涉及到到的辅助线做法都可以实现在平行线间出现贯通的截线，使用我们的平行线性质、判定定理，但是不同的做法，也代表了不同复杂程度，所以我们在实际学习中，需要不断去开拓我们的解题思路，选择最恰当、简便的方法去完成。

四、机动练习

根据讲解的标准解题过程，选择另外的预设图进行证明，写出过程，展示。

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分享之三：

研究性学习项目——设计跑道之数学模型构建

作者：延伟红

学校：临淄区遄台中学

指导教师 郝占峰 点评：延老师的设计让学生经历了实地考察、网上查阅、微课学习、课堂展示四个环节，真正让学生通过合作去发现问题、提出问题，进而分析问题、解决问题，是一份非常完美的设计。

课程专家 许广民 点评：延老师的这个教学设计，重点、难点清晰准确，制定措施得当，对于学情的分析准确，对不同学生也做了相应层次的要求，体现出设计者客观严谨的态度。四个环节的设计条理清晰，符合逻辑，每个教学环节内容周全、详实，可操作性很强。既考虑到学生的实际情况，又借助现代教育技术，突出学生的主体地位，引导学生运用各种学习方式，综合应用各方面的知识，解决实际问题——“设计跑道”，准确深刻地体现出本课题学习的真实意图。各环节的活动内容任务安排切实可行，活动目标明确具体，各种媒体的使用说明详尽。课前自主学习任务单设计内容丰富，通过任务单，学生会很清晰地明确各项学习内容，以及要达到的目标，特别是对数学建模的步骤的概括，对学生建立数学模型有很大帮助。

我个人感觉，有个商榷的地方是教学目标内容过多，造成了表述不够简明扼要，目标中还混有教学设计思路，致使目标不够清晰，但是瑕不掩瑜，这确实是一篇令我眼前一亮的优秀作业。

课程专家 邢成云 点评：这个教学设计堪称宏大。首先思想的宏大，设计者敢于践行研究性学习活动，本身就是一种对教学的更高层次的追求，一种超越于分数情结的豪迈，而本设计用时4个课时，把互联网、超级录屏软件、几何画板、电子白板、微课等现代技术手段融入其中，胆量何其大也！，因为这需要执教教师厚实的学科基本功、跨学科的综合课程内能

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以及更多的现代技术储备；二是场面的宏大，走出课堂、走向生活，在本设计中得到了淋漓尽致的展现，这种大课堂的意识与行为非常值得学习。落实数学建模活动，学以致用，才能彰显数学的可感价值，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，如此而然，学生才能感知、触摸到数学的好玩，才会为数学的学习倾心尽力，乐此不疲。纵然新的课程改革已经多年，但当下，我国的数学教学仍然没有走出倚重知识技能获得的窠臼，对“做中学”往往停留在口号里、凝滞在文件上，本设计敢于冲破这种世俗的常态，大刀阔斧设计出如此震撼人心的大“场景”，令我们佩服，这种敢为人先的行为其实是博大的育人情怀理念的客观反映，在这样的场景里学生历练了知识、熟练了技能、积累了经验、升华了思想、提高了境界，感悟到了数学的张力与魅力，磨砺了学生的意志，丰富了学生的生活与人生的经历，这是何等的高效！

教学设计名称 研究性学习项目——设计跑道之数学模型构建 课 名 实验与探究——设计跑道 学科（版本） 人教版义务教育教科书数学2014版 章 节 §24.4弧长和扇形面积 学 时 4 年 级 九年级 知识与技能目标：学生通过运用本节所学的知识，学会如何计算超前起跑点，通过计算弧长来解决这一实际问题。引导学生实验与探究，建立数学模型解决实际问题。 过程与方法目标：在模型构建过程中，设计了一系列的数学实践活动，由部分学生组成了四个活动小组，将课堂内的活动延伸到课堂外，经历实地调研、网上查阅资料、独立思考、合作交流、提出问题、建立模型、应用模型、课堂展示等活动内容。 学生利用微课程进行自主学习和小组合作实验与探究“设计跑道”这一过程的数学建模。利用网络平台传递邮件对于学生解难答疑，点拨升华。最后通过课堂展示师生达教学目标 成共识，进一步升华本次活动的主题——数学模型构建。这一过程真正体现了翻转课堂，先学后教。 发展学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.意在发展学生发现和提出问题的能力，分析和解决问题的能力。学生在动手操作，主动探索的过程中，逐步体会数学模型思想。 情感态度与价值观目标：通过建立数学模型，培养了学生解决实际问题的能力，又培养了学生学数学、用数学的兴趣．体会“数学来源于生活并服务于生活” 的理念． 本次数学建模过程意在使学生体会和理解数学与外部世界的联系，在数学本质意义

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上给学生以感悟，以形成正确的数学态度．借力信息技术，调动学生参与的积极性，使其能够认真实验，深入探究，在参与中体验成功的乐趣. 重点：建模准备，发现问题；建立模型，提出问题；验证模型，分析问题；应用模型，解决问题；继续玩转数学，提升能力。 教学重点难点难点：建立数学模型，解决实际问题。 以及措施 措施：在数学模型构建的过程中根据学生的具体情况，充分发挥交互白板和几何画板的各种功能，通过实地调研、网上查阅、微课学习、课堂展示等环节让学生在实验、探究、操作、自主与合作中解决这一实际问题——设计跑道，并且建立数学模型。 学生已经对于圆这一章进行了系统地学习，对圆的弧长方面的计算已经掌握。但是对于数学的实验与探究课程还是比较陌生的，特别是在这一过程中还要建立适当的数学学习者分析 模型，对于这些孩子更有特别的难度。鉴于以上情况，我在该探究性学习项目时，本着师生合作、生生合作、自主学习相结合的方法，让学有余力地孩子多付出，参与到更多的项目中，学困生们在学优生和微课的引领下完成此课题即可。 教学 媒体功能应用及分析： 教学内容 活动设计 活动目标 交互白板、软件平台等使环节 用功能 第一课时 实地调研 各个活动小组分头实地 实地调研各个运动 应用数码摄像机采集图考察了一所初中学学校场跑道的相关数据片，保存资料，为ppt软的运动场和临淄中学的（相关数据包括：跑件编辑展示课件做好准塑胶运动场，还考察了齐道的宽度（即分道备。 鲁石化公司国际标准宽），直段的长，圆400m运动场，实地测量了的半径）．从而掌握各个运动场跑道的相关第一手资料，为顺利数据。 建模做好准备工作，对于跑道的设计形成初步的感性认识。 第二课时 网上查阅 带着对于实际中跑道情 通过网上查阅相关 通过互联网平台，查阅形各异的疑惑，同学们积资料，丰富知识，拓相关资料；利用超级录屏极网上查阅相关资料。四展认识，进一步提升软件录制并解说查阅到个小组分配任务，分别从感知。 的资料，既增添了学生学网络上查阅不同方面的习兴趣，又锻炼了他们关资料。任务如下：（1）查注外界信息，培养主动学阅国际标准跑道的相关习习惯。利用几何画板直规定；（2）查阅各径赛的观展示各个数据的关系。

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相关规定；（3）查阅历届奥林匹克运动会径赛的相关图片；（4）录制并解说查阅的资料。 第三课时 微课学习 设计课前自主学习任务 借助微课程能够较 通过超级录屏软件录制单（见附录），利用微课为顺利地完成课前视频，利用格式工厂这一程，完成自主学习任务单自主学习任务单，班软件转换视频，再利用会的各项任务。 级全体同学都能够声会影软件编辑视频，形投入到该数学建模成本次数学建模的微课活动中。 程。 第四课时 课堂展示 教师制作教学课件。其中 通过前三个环节的利用白板进行展示，用白融合学生实地调研的结实验与探究，学生有板笔、板擦以及批注等功果，网上查询的资料，微能力课堂展示的主能，书写并修改答案，学课程中的五个部分编辑力军，作为教师要特生感兴趣，又无粉尘，便制作展示课件。由学生做别关注学生对于本于学生的学习，利于师生主角向大家汇报展示自次建模活动的困惑的身体健康；使用白板的己以及活动小组成员对和新的问题。 媒体功能，播放视频与音于该数学建模过程的体这一过程真正体现乐，突破本节课的难点，会与认识，困惑与建议。 了先学后教，翻转课提高学习兴趣。 堂。 几何画板制作模拟运动场的形象，并进行相关的计算与相应的探究，使得更易突破难点，突出主题。

附录：

设计跑道之数学模型构建

——课前自主学习任务单 一、学习指南 1.课题名称：义务教育教科书人教2014版+九年级+上册+数学+第二十四章《圆》+实验与探究——《设计跑道之数学模型构建》 2.达成目标： （1）阅读教材P117的实验与探究的内容，通过观看视频——“建模准备”。另外，大家还可以网上查

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阅国际标准400m跑道的相关数据，或是实地调研各个运动场跑道的相关数据，掌握第一手资料，为顺利建模做好准备工作。做好这些工作后，请进一步完成“自主学习任务单”规定的第（一）项任务“计算国际标准跑道的相关数据”。 （2）通过观看视频——“建立模型”，并且配合操作几何画板演示，引领大家完成“自主学习任务单”规定的第（二）项任务“建立模型”，自主构建模型一、模型二。 （3）通过观看视频——“验证模型”，我们来进一步验证所得模型的正确性。大家尝试完成“自主学习任务单”规定的第（三）项任务“验证模型”中的三个问题，从而体会该数学模型的科学性。 （4）通过观看视频——“应用模型”，完成“自主学习任务单”规定的第(四)项任务“应用模型”中的三个问题，进一步落实模型。 （5）通过观看视频——“继续玩转数学”，意在启发大家去思考，并完成“自主学习任务单”规定的第（五）项任务“继续玩转数学”中的两个问题。因此提醒我们要养成学数学、用数学、爱思考、勤动手的好习惯，深入理解数学建模的实际应用。 3.学习方法建议：模型思想与方法 4.课堂学习形式预告： （一）建模准备，发现问题； （二）建立模型，提出问题； （三）验证模型，分析问题； （四）应用模型，解决问题； （五）继续玩转数学，提升能力。 课前自主完成（一）,尽最大努力完成（二）（三）（四），课堂再进一步内化（二）（三）（四），课后合作完成（五）。 二、学习任务 （一）阅读教材P117的实验与探究的内容，通过观看视频——“建模准备”。另外，大家还可以网上查阅国际标准400m跑道的相关数据，或是实地调研各个运动场跑道的相关数据，掌握第一手资料，为顺利建模做好准备工作。做好这些工作后，请进一步完成“自主学习任务单”规定的第（一）项任务“计算国际标准跑道的相关数据”。(如右图是国际标准跑道示意图) 计算国际标准跑道的相关数据: ※国际上田径场的两个半圆形跑道的半径r=36米，每条跑道宽a=1.25米，直段长s=85.96米。田径跑道有一条线称为计算线，它是运动员的实跑线（只供计算跑道的周长之用）．第一道的计算线距离跑道的内沿30厘米．请你计算 (π取3.14159) （1）第一道两弯道部分的实跑线共多长？ （2）第一道实跑线的总长为多少米？ （二）通过观看视频——“建立模型”，并且配合操作几何画板演示，引领大家完成“自主学习任务单”

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