辽宁省本溪市中考数学试题解析

辽宁省本溪市2011年中考数学试卷

一、选择题（每题3分，共24分） 1、?2的相反数是（ ） A、?11 B、 C、2 22 D、±2

2、如图是某几何体得三视图，则这个几何体是（ ）

A、球 B、圆锥 C、圆柱 D、三棱体

3、下列整数中与15最接近的数是（ ） A、2

B、4

C、15 D、16

24、一元二次方程x?x?A、x1?1?0的根（ ） 4C、x1?x2??11，x2?? ， B、x1?2，x2??2 2211 D、x1?x2? 225、在一次数学竞赛中，某小组6名同学的成绩（单位：分）分别是69、75、86、92、95、88．这组数据

的中位数是（ ）

A、79 B、86 C、92 D、87

6、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，DE是△ABC的中位线，则DE的长度是（ ） A、3 B、4 C、4.8

D、5

k、B（x2，y2）、C（x3，y3）是这个函数(k?0)的图象如图所示，若点A（x1，y1）

x图象上的三点，且x1?x2?0?x3，则y1、y2、y3的大小关系（ ）

7、反比例函数y? A、y3?y1?y2 B、y2?y1?y3 C、y3?y2?y1 D、y1?y2?y3

8、如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值（ ） A、2 B、4 C、22

D、42 二、填空题（每题3分，共24分） 9、函数y?

1中的自变量x的取值范围__________。 x?410、掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别有1至6的点数，则向上一面的点数是偶数的概率__________。

11、如图：AB∥CD，直线MN分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF．EG⊥FG于点G，若∠BEM=50°，则∠CFG= __________。

1

12、我国以2010年11月1日零时为标准时点进行了第六次全国人口普查，结果公布全国总人口为1370536875人，请将这个数据用科学记数法（保留三个有效数字）表示约为__________。 13、若用半径为12，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个圆锥底面圆的半径的长__________。 14、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD于点O，过点A作AE⊥BC于点E，若BC=2AD=8，则tan∠ABE=__________。

15、菱形OCAB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点O的坐标是（0，0），点A在y轴的正半轴上，点P是菱形对角线的交点，点C坐标是（3，3）若把菱形OCAB绕点A逆时针旋转90°，则点P的对应点P′的坐标是__________。

16、根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字__________。

三、解答题 17、计算：2?2??1.25?(?x)0?1． 418、先化简，再求值：(3xx2x，其中x?3?4． ?)?2x?2x?2x?4四、解答题

19、为庆祝建党90周年，，某校开展学党史活动，学校决定围绕“你最喜欢的了解党史的途径是什么”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查．问卷要求学生从“自己阅读、听讲座、网上查找资料、其他形式”四种途径任选一种，学校将收集的调查问卷适当整理后，绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请根据统计图所给的信息解答下列问题：

（1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？

2

（2）请补全下面的条形统计图和扇形统计图；

（3）如果全校有1500名学生，请你估计全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有多少名？ 20、如图，现有三张质地和大小完全相同的不透明的纸牌，A、B、C，其正面画有菱形、等边三角形、正六边形，纸牌的背面完全相同，现将这三张纸牌背面朝上洗匀后随机抽出一张，再从剩下的纸牌中随机抽出一张，用画树状图或列表法，求两次抽到纸牌上的图形都为既是中心对称图形又是轴对称图形的概率（纸牌用A、B、C表示）

五、解答题

21、某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同． （1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？

（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？

22、如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于点E，且CE=DE，过点B作CD得平行线AD延长线于点F．

（1）求证：BF是⊙O的切线；

（2）连接BC，若⊙O的半径为4，sin∠BCD=

3，求CD的长？ 4

六、解答题（共2小题，满分22分）

23、如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据2≈1.41，3≈1.73）

24、我省某工艺厂为全运会设计了一款成本为每件20元得工艺品，投放市场进行试销后发现每天的销售量y（件）是售价x（元∕件）的一次函数，当售价为22元∕件时，每天销售量为780件；当售价为25元∕件时，每天的销售量为750件．

3

（1）求y与x的函数关系式；

（2）如果该工艺品售价最高不能超过每件30元，那么售价定为每件多少元时，工艺厂销售该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少元？（利润=售价-成本） 七、解答题（共1小题，满分12分）

25、在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，设锐角∠DOC=α，将△DOC按逆时针方向旋转得到△D′OC′（0°＜旋转角＜90°）连接AC′、BD′，AC′与BD′相交于点M．

（1）当四边形ABCD是矩形时，如图1，请猜想AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（2）当四边形ABCD是平行四边形时，如图2，已知AC=BD，请猜想此时AC′与BD′的数量关系以及∠AMB与α的大小关系，并证明你的猜想；

（3）当四边形ABCD是等腰梯形时，如图3，AD∥BC，此时（1）AC′与BD′的数量关系是否成立？∠AMB与α的大小关系是否成立？不必证明，直接写出结论．

八、解答题

26、如图1，在平面直角坐标系中，抛物线过原点O，点A（10，0）和点B（2，2），在线段OA上，点P从点O向点A运动，同时点Q从点A向点O运动，运动过程中保持AQ=2OP，当P、Q重合时同时停止运动，过点Q作x轴的垂线，交直线AB于点M，延长QM到点D，使MD=MQ，以QD为对角线作正方形QCDE（正方形QCDE岁点Q运动）． （1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）设正方形QCDE的面积为S，P点坐标（m，0）求S与m之间的函数关系式； （3）过点P作x轴的垂线，交抛物线于点N，延长PN到点G，使NG=PN，以PG为对角线作正方形PFGH（正方形PFGH随点P运动），当点P运动到点（2，0）时，如图2，正方形PFGH的边GP和正方形QCDE的边EQ落在同一条直线上．

①则此时两个正方形中在直线AB下方的阴影部分面积的和是多少？

②若点P继续向点A运动，还存在两个正方形分别有边落在同一条直线上的情况，请直接写出每种情况下点P的坐标，不必说明理由．

4

2011年辽宁省本溪市中考数学答案

一、选择题 题号 答案 1 C 2 B 3 B 4 D 5 D 6 A 7 B 8 C

二、填空题 9. x?4 三、解答题

10.

19 11. 65° 12. 1.37?10 213. 4 14. 3 15. （3，6） 16. 738

11?1.25?1??1． 4218. 解：原式化简=x?4

17. 解：原式=当x?3?4时，原式=?3?4?4?3．

19. 解：（1）解：（1）16÷32%=50（名）． ∴在这次调查中，一共抽取了50名学生； （2）50-16-9-7=18（名）， 9÷50=18%， 18÷50=36%． 如图； （3）1500×

18=540（名）． 50所以全校最喜欢“网上查找资料”这种途径的学生约有540名． 20. 解：如图

总共有6种结果，即使中心对称又是轴对称图形的结果有2种， ∴所求概率为：

1． 321. 解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40-x）元/件，

90150 ?x40?xx?15，

经检验x=15是原方程的解． ∴40?x?255．

甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；

（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48-y）件，

?y?48 ?15y?25(48?y)?1000? 5

解得20?y?24．

因为y是整数，所以y取20，21，22，23． 共有四种方案． 22. 解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE=DE， ∴AB⊥CD，∴∠AED=90°，

∵CD∥BF，∴∠ABF=∠AED=90°， ∴BF是⊙O的切线； （2）连接BD，

∵AB是⊙O的切线，∴∠ADB=90°， ∴BD=AB?sin∠BAD=AB?sin∠BCD=8?∴AD?∵S=

3?6， 4AB2?BD2?27，

11AB?DE=AD?BD， 22AD?BD37?， AB2∴DE=

∴CD=2DE=37．

23. 解：过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点F，过点A作CB的垂线，交CB的延长线于点E，

在直角三角形CDF中，∠CDF=30°， ∴CF=

1CD=50， 2DF=CD?cos30°=503，

∵CF⊥AF，EA⊥AF，BE⊥AE，∴∠CEA=∠EAF=∠AFC=90°， ∴四边形AECF是矩形， ∴AE=CF=50，CE=AF，

在直角三角形AEB中，∠EAB=90°-45°=45°， ∴BE=AE=50，

∴CB=AD+DF-BE=15?(10?8)?503?50?503?20，

(503?20)?2?253?10?33.3（海里/时），

答：快艇每小时航行33.3海里∕时．

24. 解：（1）设y与x的函数关系式为y?kx?b (k?0)，

?22k?b?780把x=22，y=780，x=25，y=750代入y?kx?b 得?，

25k?b?750?解得??k??10

?b?1000∴函数的关系式为y??10x?1000；

6

（2）设该工艺品每天获得的利润为w元，

则W?y(x?20)?(?10x?1000)(x?20)??10(x?60)?16000； ∵?10?0，

∴当20?x?30时，w随x的增大而增大，

所以当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大． 即W最大??10(30?60)?16000?7000元；

答：当售价定为30元/时，该工艺品每天获得的利润最大，最大利润为7000元． 25. 解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α， 证明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=

2211AC，OB=OD=BD， 22∴OA=OC=OB=OD，

又∵OD=OD′，OC=OC′， ∴OB=OD′=OA=OC′， ∵∠D′OD=∠C′OC， ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC， ∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′≌△AOC′， ∴BD′=AC′，

∴∠OBD′=∠OAC′，

设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO=∠ANM， ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO， 即∠AMB=∠AOB=∠COD=α， 综上所述，BD′=AC′，∠AMB=α， （2）AC′=kBD′，∠AMB=α，

证明：在平行四边形ABCD中，OB=OD，OA=OC， 又∵OD=OD′，OC=OC′， ∴OB：OA=OD′：C′， ∵∠D′OD=∠C′OC， ∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC， ∴∠BOD′=∠AOC′， ∴△BOD′∽△AOC′，

∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC， ∵AC=kBD， ∴AC′=kBD′，

∵△BOD′∽△AOC′，

设BD′与OA相交于点N， ∴∠BNO=∠ANM， ∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α， 综上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，

（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立． 26. 解：（1）∵抛物线过O（0，0），A（10，0）， ∴设抛物线解析式为y?a(x?0)(x?10)，

7

将B（2，2）代入，得a?2?(2?10)?2，解得a??， ∴抛物线解析式为y??18115x(x?10)??x2?x； 8841?k????10k?n?0?4，

（2）设AB解析式为y?kx?n，将A（10，0），B（2，2）代入，得?，解得??2k?n?2?b?5??215，∴OP=m，AQ=2m，OQ=10-2m， x?，∵P（m，0）

42151∴当x=10-2m时，QM=?(10?2m)??m，∴QD=m，

4221122∵四边形QCDE是正方形，∴S?QD?m；

22∴y??（3）①由P（2，0），根据抛物线解析式可知N（2，2），

由正方形的性质得G（2，4），即PG=4，

又当GF和EQ落在同一条直线上时，△FGQ为等腰直角三角形， ∴PQ=PG=4，OQ=OP+PQ=6，代入直线AB解析式得M（6，1），即QM=1，QD=2，

111?(PG2?QB2)?5， 22210P(9?41， 0)(2.5， 0)②P，，P(， 0)。 2133∴阴影部分面积和=

8

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