以弧长与时间比值来定义线速度的理论依据及其利弊

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以弧长与时间比值来定义线速度的理论依据及其利弊

作者：吴景亮

来源：《中学物理·高中》2013年第07期

“人教版”新课标教材《物理 必修2》中（2010年4月第3版），对圆周运动线速度的定义如下：取一段很短的时间Δt，物体在这段时间内通过的弧长为Δs。比值Δs/Δt 反映了物体运动的快慢，叫做线速度。

前面的学习中速度是用位移与时间的比值=Δ/Δt来定义的，是矢量；而人教版用弧长与时间的比值v=Δs/Δt来定义线速度，本来是一个标量，之后课本又硬性规定线速度为矢量，让人感到有些不自然，那么我们该如何理解课本的这个定义呢？ 1 两种定义下瞬时速率是相等的

当时间很短时，位移的大小等于弧长。用弧长与时间的比值来定义线速度，和用位移与时间的比值来定义，瞬时速率是相同的。严格的证明如下： 2 两者的方向是一样的

可以证明，物体在某点的速度方向为该点切线方向，所以我们可以建立自然坐标系方便的表示曲线运动的方向。如图1，在O点建立如图所示坐标系，et为沿曲线切线方向的单位矢量，en为垂直于切线方向的单位矢量，则由（3）式可得=vt=s·t，这样方向问题就解决了。以下是严格的理论分析：要描述平面内质点的位置和运动需要两个变量x和y。如果已知质点的运动轨道，设轨道方程为f（x，y）=0，这时x，y中只有一个是独立变量，也就是说仅需一个变量即可描述质点的位置。这时如果取x为基本变量，y依f（x，y）=0视为x的函数，当然是可以的；但不够方便也不够直观。这种情况下，我们可选用自然坐标描述法，以弧长作为描述质点运动的基本变量。

我们在质点运动的轨道上任取一点O作为原点，沿轨道规定一个弧长正方向（用轨道上的一个箭头表示），则可以用由原点到质点所在位置的弧长s来描述质点的位置，如图1所示。当质点随时间改变位置时，s是时间t的标量函数s=s（t），该式称为弧长方程。在自然坐标法中，弧长s是可正可负的坐标量，与一般的几何弧长不同。当质点P位于O点弧长正方向一侧时s取正值，处于O点另一侧时s取负值。

在质点所在位置沿轨道切向方向建立切向单位矢量t，其指向与弧长正方向一致；沿垂直于切线的法线方向建立法向单位矢量n，指向轨道凹侧；如图1.

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