3.3圆周角与圆心角的关系练习三
更新时间:2024-06-03 13:20:01 阅读量: 综合文库 文档下载
1.圆周角是24°,则它所对的弧是___________.
2.在⊙O中,∠AOB=84°,则弦AB所对的圆周角是___________. 3.如图,圆内接四边形ABCD的对角线AC,BD把四边形的四个角分成八个角,这八个角中相等的角的对数至少有___________.
4.如图,AC是⊙O的直径,AB,CD是⊙O的两条弦,且AB∥CD.如果∠BAC=32°,则∠AOD=___________.
角形外接圆半径长及各锐角的正切值.
6.如图,AD是△ABC外接圆的直径,AD=6cm,∠DAC=∠ABC.求AC的长.
7.已知:△DBC和等边△ABC都内接于⊙O,BC=a,∠BCD=75°(如图).求BD的长.
9.如图,圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E,EC=8cm.求BE的长.
10.已知:如图,AD平分∠BAC,DE∥AC,且AB=a.求DE的长.
11.如图,在⊙O中,F,G是直径AB上的两点,C,
∠CFA=∠DFB,∠DGA=∠EGB.求∠FDG的大小.
1
12.如图,⊙O的内接正方形ABCD边长为1,P为圆周上与A,B,C,D不重合的任意点.求PA2+PB2+PC2+PD2的值.
13.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠BAD=135°,以A为圆心,AB为半径作⊙A交AD,BC于E,F两
14.如图,⊙O的半径为R,弦AB=a,弦BC∥OA,求AC的长.
15.如图,在△ABC中,∠BAC,∠ABC,∠BCA的平分线交△ABC的外接圆于D,E和F,如果
,
,
分别为m°,n°,p°,求△ABC的三个内角.
16.如图,在⊙O中,BC,DF为直径,A,E为⊙O上的点,AB=AC,EF=∠ABD+∠CBE的值.
19.如图,△ABC中,∠B=60°,AC=3cm,⊙O为△ABC的外接圆.求⊙O
的半径.
20.以△ABC的BC边为直径的半圆,交AB于D,交AC于E,EF⊥BC于F,AB=8cm,AE=2cm,BF∶FC=5∶1(如图).求CE的长.
23.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,延长AD交△ABC的外接圆于E,已知AB=6cm,BD=2cm,BE=2.4cm.求DE的长.
1DF.求22
24.如图,梯形ABCD内接于⊙O,AB∥CD,⊙O的半径为6cm.求BC的长.
的度数为60°,∠B=105°,
25.已知:如图,AB是⊙O的直径,AB=4cm,E为OB的中点,弦CD⊥AB于E.求CD的长.
26.如图,AB为⊙O的直径,E为OB的中点,CD为过E点并垂直AB的弦.求∠ACE的度数.
27.已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=38°,以C为圆心,BC为半径作圆,交AB于D,求
28.如图,△ABC内接于圆O,AD为BC边上的高.若AB=4cm,AC=3cm,AD=2.5cm,求⊙O的半径.
31.如图,⊙O的半径为40cm,CD是弦,A为
的中点,弦AB交CD于F.若.
的度数.
AF=20cm,BF=40cm,求O点到弦CD的弦心距
32.如图,四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O,且AD=4cm,AB=CB=1cm,求CD的长.
35.如图,已知D为等边三角形ABC外接圆上的证:AB为AD和AE的比例中项.
上的一点,AD交BC边于E.求
3
37.已知:如图,⊙O是△ABC的外接圆,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交⊙O于E.求证:AE平分∠OAD.
38.已知:如图,△ABC的AB边是⊙O的直径,另两边BC和AC分别交⊙O于D,E两点,DF⊥AB,交AB于F,交BE于G,交AC的延长线于H.
求证:DF2=HF·GF.
40.已知:如图,AB是半圆的直径,AC是一条弦,D是于E,交AC于F,DB交AC于G.求证:AF=FG.
41.如图,AB是⊙O的弦,P是AB所对优弧上一点,直径CD⊥AB,PB交CD于E,延长AP交CD的延长线于F.求证:△EPF∽△EOA.
42.已知:如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于E,M为AM的延长线交DC于F.求证:∠AMD=∠FMC.
43.已知:如图,AB,AC分别为⊙O的直径与弦,CD⊥AB于D,E为⊙O外一点,且AE=AC,BE交⊙O于F,连结ED,CF.求证:∠ACF=∠AED.
44.如图,⊙O的半径OD,OE分别垂直于弦AB和AC,连结DE交AB,AC于F,G.求证:AF2=AG2=DF·GE.
4
中点,DE⊥AB
上一点,
45.如图,△ABC内接于圆,D是AB上一点,AD=AC,E是AC延长线上一点,AE=AB,连接DE交圆于F,延长ED交圆于G.求证:AF=AG.
46.已知:如图,⊙O的两条直径AB⊥CD,E是OD的中点,连结AE,并延长交⊙O于M,连结CM,交AB于F.求证:OB=3OF.
48.已知:如图,半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A,B,过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D,且AD∶DC=3∶2,E为DC的中点.
(1)求证:AC⊥BE; (2)求AB的长.
已知直角ΔABC中,∠C=900,AC=6cm,BC=8cm,以C为圆心,CA长为半径画圆交斜边AB于D,求AD的长。
49.如图,已知在直角三角形ABC中,∠C=90°,CD⊥AB,AD是⊙O的直径,且D点在AB上.
5
如图,△ABC是等边三角形,⊙O过点B,C,且与BA、CA的延长线分别交于点D、E.弦DF∥AC,EF的延长线交BC的延长线于点G. (1)求证:△BEF是等边三角形; (2)BA=4,CG=2,求BF的长.
如图,已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O,对角线AC是直径,对角线AC和BD的交点为P,AB=BD,且PC=0.6,求四边形ABCD的周长.
B E D A · O
C F G 如图,AB是半圆O的直径,E是BC的中点,OE交弦BC于点D,已知BC=8cm,DE=2cm,则AD的长为 cm.
如图7 如图6 如图1所示,已知△ABC是等边三角形,以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点D、E。
如图5 (1)试说明△ODE的形状;
(2)如图2,若∠A=60o,AB≠AC,则①的结论是否仍然成立,说明你的理由。
?APC??BPD,?PAC~* 13.如图,已知点P是圆O的直径AB上任一点,其中C,D为圆上的点,求证:?PDB
BODA ADEEBCCOD C A P ·O B
6
如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,
(1)求证:OD∥BE;
(2)如果OD=6cm,OC=8cm,求CD的长.
7
参考答案
一、选择题
1.D 2.D 3.D 4.D 二、计算题
DE⊥直线OB于E,∠DOE=30°,应用勾股定理求出BD的长.8
8.9 cm或4 cm.提示:连接 AC,BC.由 AB为直径可知∠ACB=90°.又 CD⊥AB于 D,所以 CD2=AD·BD,即CD2=AD·(AB-AD).又 AB=13,CD=6,所以 36=AD(13-AD),AD2-13AD+36=0,解出AD=9(cm)或AD=4(cm).
11.50°.提示:延长DF,DG分别交⊙O于C',E',因为∠CFA=∠DFB,∠DGA=∠EGB,所以∠CFA=∠C'FA,∠EGB=∠E'GB.因为AB为⊙O的直径,所以根据轴对称图形的性质可知
为100°,就有∠FDG=50°.
又因为∠DAB=∠ABC=90°.所以AC和BD为⊙O的直径.所以△APC与△BPD为直角三角形.所以 PA2+ PC2= AC2, PB2+PD2=BD2,就有
PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4.
知BC//AD.所以AC=BD.又AD为直径,所以∠ABD=90°.在Rt△ABD中,AD=2R,AB=a,所以
15.提示:根据圆周角度量定理有:(∠A+∠B)的度数=m°,(∠B+∠C)的度数=n°,(∠C+∠A)的度数=p°.由前面三个等式得:
9
16.75°.提示:由BC,DF分别为⊙O的直径,可得∠A=∠DEF=90°.又AB=AC,所以∠ABC=45°.在 Rt△DEF中,由 EF=
是240°,∠DBE=120°.所以∠ABD+∠CBE=120°-45°=75°. 17.50°,50°,80°.提示:连接 AD,则 AD平分∠A.
于D,则AD=CD,∠AOD=DOC.由∠B=60°可得∠OAD=30°.所
解法二 过A作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠ADC=∠ABC=60°;又知AC=3,这就容易求出AD.
=90°,所以BE2=AB2-AE2=82-22=60.又因为BF∶FC=5∶1,故设BF=5x,FC=x,则BC=6x.因为EF⊥BC,所以BE2=BF·BC,
解法二 连接BE,则BE⊥AC,所以BE2=82-22=60.在直角三角形BCE中
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ABC外接圆于E,连接CE,则AD⊥BC,BD=CD=5.由垂径定理知:AE为△ABC外接圆的直径,所以∠ACE=90°.在Rt△ADC中,AD=
23.0.8 cm.提示:只需证明△ABE∽△BDE.
CE. 26.60°.
提示:连接OC,BC.只需证明△OCB为等边三角形,则∠ABC=60°,而∠ACB=90°,所以∠CAB=30°,即可求出∠ACE=60°.
27.76°.提示:延长BC交⊙C于E,连接DE,只需证明∠
28.2.4 cm.提示:连接AO并延长交⊙O于E,则AE为⊙O
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4.8.所以⊙O的半径为2.4(cm).
30.7∶1.提示:连接HD.只需证明△CKO∽△CDH.所以
31.25 cm.提示:连接 AO并延长交⊙O于 E,则 AE为⊙O
CD,OM就是CD的弦心距.只需证明△AMF∽△ABE,由此得
32.3.5cm.提示:解法一 连接OB交弦AC于G.连接BD.只需证明△ABG∽△DAB.由此求出AG,进而求出OG,而CD=2OG.
解法二 设AB的延长线与DC的延长线相交于点E,在△BCE和△OAB中,
∠BCE=∠OAB,∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BOA.
所以△BCE∽△OAB,从而 BC∶CE=OA∶AB.所以CE=
三、证明题
33.提示:作直径BD,连接CD,则∠BCD=90°,且∠A=∠D.在
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34.提示:只需证明∠BDE=∠DBE.证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论. 35.提示:连接BD.只需证明△ABE∽△ADB. 36.提示:连接AD.
37.提示:证法一 延长AO交⊙O于M,延长AD交⊙O于N.连
证法二 过A作直径AM,连接MB,则∠AMB=∠ACB,又∠ABM=∠ADC=直角,所以∠BAM=∠DAC,从而AE平分∠OAD.
·GF=BF·AF.再根据射影定理得DF2=AF·FB,所以
DF2=HF·GF.
39.提示:连接BD交AC于E.只需证明△BEC∽△ABC∽△
AC·AE=AC(AC-EC)=AC2-AC·EC.
40.提示:连接AD.由AB为直径得∠ADB=90°.再由DE⊥
∠ADE,∴AF=DF.这就容易证出AF=FG.
41.提示:∠AEO=(∠BEO)=∠FEP,∠OAE=(∠AOC-∠AEO=∠APB-∠FEP)=∠F. 42.提示:连接MB.因为AB是⊙O的直径,所以∠AMB=∠
从而∠AMD=∠FMC.
43.提示:连接BC.因为AB为⊙O直径,所以∠ACB=90°.因为CD⊥AB于D,所以AC2=AD·AB.又因为AE=AC,所以
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△ADE,就有∠AED=∠ABE=∠ACF.
44.提示:连接AD,AE,应用三角形外角定理,先证明∠AFG=
AF·AG=DF·GE,就有AF2=AG2=DF·GE.
45.提示:先证明△ABC≌△AED,连接BF,则∠G=∠ADF-∠GAB=∠ACB-∠GFB=∠AFG,所以AF=AG.
46.提示:设⊙O的半径长为1.连接MD.显然△CAE∽△
OF.
47.(1)提示:在△ADE中,∠ADE=60°,∠DEA=∠DCA=60°.所以△ADE是一个等边三角形.
48.(1)提示:连接BD,BC.因为⊙O1与⊙O2是等圆,
又因为E为DC中点,所以BE⊥AC.
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所以AD=6,DC=4,所以DE=2,AE=8.因为AC为⊙O1直径,所以∠ABC=90°,又因为BE⊥AC,所以AB2=AE·AC=80,得出AB=
49.(1)提示:连接ED.因为AD为直径,所以∠AED=90°.又
ACB=90°,CD⊥AB,所以 AC2=AD·AB,BC2=AB·BD,由此
(2)2∶1.提示:AE∶CE=AD2∶CD2=2∶1.
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