线性系统的时域分析与校正习题及答案

第三章 线性系统的时域分析与校正习题及答案

3-1 已知系统脉冲响应k(t)?0.0125e?1.25t，试求系统闭环传递函数?(s)。

解 ?(s)?L?k(t)??0.0125/(s?1.25)

??3-2 设某高阶系统可用下列一阶微分方程Tc(t)?c(t)??r(t)?r(t) 近似描述，其中，0?(T??)?1。试求系统的动态性能指标td,tr,ts。

解 设单位阶跃输入R(s)?C(s)R(s)1s

当初始条件为0时有：

??s?1Ts?1?s?111T??T???t/T c(t)?h(t)?1? ???eTs?1ssTs?1T?T?? h(0)?，h(?)?1，??0.05[h(?)?h(0)]?

T20T?C(s)?1) 当 t?td 时

h(t)?h(0)?0.5[h(?)?h(0)]?1?

12?e?td/TT??Te?td/t?T??2T

; td?0.693T

2) 求tr（即c(t)从0.1h(?)到0.9h(?)所需时间) 当h(t)?0.9[h(?)?h(0)]?h(0)?1? 当h(t)?0.1[h(?)?h(0)]?h(0)?1?T??0.1(T??)T??TT??Tee?t2/T; ;

?t1/T t2?Tln， t1?TlnT??0.9(T?)?

则 tr?t2?t1?Tln9?2.2T

3) 求 ts

h(ts)?0.95[h(?)?h(0)]?h(0)?1??ts?Tln0.05?3T

T??Te?ts/T

3-3 一阶系统结构如图所示。要求系统闭环增益k??2，调节时间ts?0.4s，试确定参数k1,k2的值。

解 由结构图写出闭环系统传递函数

k1?(s)?1?k1s??k1k2s?k1k2ssk1k21k2?1

闭环增益k??1k2?2， 得：k2?0.5

令调节时间ts?3T?

3k1k2?0.4，得：k1?15。

3-4 在许多化学过程中，反应槽内的温度要保持恒定， 下图（a）和（b）分别为开环和闭环温度控制系统结构图，两种系统正常的K值为1。

(1) 若r(t)?1(t)，n(t)?0两种系统从响应开始达到稳态温度值的63.2％各需 多长时间？(2) 当有阶跃扰动n(t)?0.1时，求扰动对两种系统的温度的影响。

解 （1）对（a）系统： Ga(s)?K10s?1?110s?1， 时间常数 T?10

? h(T)?0.632 （a）系统达到稳态温度值的63.2%需要10个单位时间；

100对（b）系统：?b(s)?10010s?101?10101， 时间常数 T?

10101s?1101? h(T)?0.632 （b）系统达到稳态温度值的63.2%需要0.099个单位时间。

（2）对（a）系统： Gn(s)?C(s)N(s)?1

n(t)?0.1时，该扰动影响将一直保持。

对（b）系统： ?n(s)?C(s)N(s)?1?110010s?11101?10s?110s?101

n(t)?0.1时，最终扰动影响为0.1??0.001。

3-5 给定典型二阶系统的设计指标：超调量0

(??45?)；

??n

tp??1???n2?1， ?21???n?3.14

综合以上条件可画出满足要求的特征根区域如图所示。

3-6 电子心脏起博器心律控制系统结构如图所示，其中模仿心脏的传递函数相当于一纯积分环节。

（1） 若??0.5对应最佳响应，问起博器增益K应取多大？

（2） 若期望心速为60次/min，并突然接通起博器，问1s钟后实际心速

解 为多少？瞬时最大心速多大？ 依题，系统传递函数为

?KK??2??n?n0.050.05?(s)??2 ? 211Ks?2??ns??n2???s?s??0.05?2?n0.050.05?令 ??0.5?K?20可解 ?

??n?20将 t?1s代入二阶系统阶跃响应公式 h(t)?1?e???nt2sin1???1??2?nt??

?可得 h(1)?1.000024次s?60.00145次min

??0.5时，系统超调量 ?%?16.3%，最大心速为 h(tp）?1?0.163?1.163次s?69.78次min

3-7 机器人控制系统结构如图所示, 试确定 参数k1,k2值，使系统阶跃响应的峰值时间

tp?0.5s，超调量?%?2%。

解 依题，系统传递函数为

K1K??nK1s(s?1) G(s)? ?2?22K1(K2s?1)s?(1?K1K2)s?K1s?2??ns??n1?s(s?1)2

??o?e???1??2?0.02???0.78?o?由 ? 联立求解得 ?

tp??0.5??10?n?21???n?比较?(s)分母系数得

?K1??2?100n?2??n?1 ? K2??0.146?K1?3-8 下图(a)所示系统的单位阶跃响应如图(b)所示。试确定系统参数k1,k2，a和闭环传递函数?(s)。

解 由系统阶跃响应曲线有

?h(?)?3? ?tp?0.1

?oo??o?(4?3)3?33.3o系统闭环传递函数为 ?(s)?K1K2s?as?K12?K2?ns?2??ns??n222 （1）

??t??0.1???0.33?p2由 ? 联立求解得 ? 1???n2??n?33.28?o???1??o?33.3o??o?e?K1??2?1108n由式（1）?

?a?2??n?22另外 h(?)?lims?(s)?s?01s?limK1K2s?as?K12s?0?K2?3

?(s)?3322.68s?21.96s?1107.562

3-9 已知系统的特征方程为D(s)，试判别系统的稳定性，并确定在右半s平面根的个数及纯虚根。 （1） D(s)?s?8s?24s?100?0 （2） D(s)?3s?10s?5s?s?2?0 (3) D(s)?s?2s?2s?4s?11s?10?0

543243232 (4) D(s)?s5?3s4?12s3?24s2?32s?48?0 (5) D(s)?s4?2s3?4s2?2s?5?0 解 （1） D(s)?s3?8s2?24s?100?0

Routh： s3 1 24 s2 8 100 s1 92 s0

100 第一列同号，所以系统稳定。

（2） D(s)?3s4?10s3?5s2?s?2?0

Routh： s4 3 5 2

s 10 1

s2 47 20 s -153 s0 20

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（3）D(s)?s5?2s4?2s3?4s2?11s?10=0 Routh： S5 1 2 11 S4 2 4 10 S3 ? 6 S2 4??12? 10 S 6 S0 10

第一列元素变号两次，有2个正实部根。

（4）D(s)?s?3s?12s?24s?32s?48=0

Routh： s5 1 12 32

s4 3 24 48

3?12?2432?3?483 ?4?16 0 s

334?24?3?16?12 48 s2

412?16?4?48 s ?0 辅助方程 12s2?48?0,

12 s 24 辅助方程求导：24s?0 s0 48

第一列没有变号，系统没有正实部根。

对辅助方程求解，得到系统一对虚根 s1,2??j2，系统不稳定。

54323

1

(5) D(s)?s4?2s3?4s2?2s?5?0 Routh： s4 1 4 -5

s3 -2 2

s2 10 -10

s1 0 辅助方程 10s2?10?0 s1 20 辅助方程求导 20s?0 s -10

第一列元素变号3次，有3个正实部根,系统不稳定。. 解辅助方程得:s1=-1，s2=+1，由长除法得s3=+1+j2，s4=+1-j2

3-10 单位反馈系统的开环传递函数G(s)?ks(s?3)(s?5)0

，试判断系统稳定性；若要求系统特征根

的实部不大于?1，试确定k的取值范围。 解 特征方程为：

D(s)?s3?8s2?15s?k?0 Routh ： S3 1 15 S2 8 k S 120-k

S0 k

0?k?120时系统稳定。 做代换 s?s??1 有：

D(s?)?(s??1)?8(s?1)?15(s??1)?k?s??5s??2s??(k?8)?0

3232Routh ： S3 1 2 S2 5 k-8 S 18-k ?S0 k-8 ?

3-11 下图是船舶横摇镇定系统结构图，为增加船只的阻尼引入了内环速度反馈。

(1) 动力矩对船只倾斜角的传递函数

?(s)MNk?18 k?8

系统特征根的实部不大于?1的k值范围为： 8?k?18

(s)；

(2) 单位阶跃时倾斜角?的终值不超过0.1，且系统的阻尼比为0.5，求k2、k1和k3应满足的方

程。 解 （1）

0.520.5s?0.2s?1（2）由题意知： ??20.5KKs0.5KKMN(s)s?(0.2?0.5K2K3)s?(1?0.5K1K2)231a1?2?2s?0.2s?1s?0.2s?1?(s)?(?)?limsMN(s)?s?0?(s)MN(s)?lims?s?01sMN(s)??(s)?0.51?0.5K1K2?0.1

得K1K2??n?1?0.5K1K3?(s)? 有： ?， 可得 ?8。 由 0.2?0.5K2K3???0.5MN(s)?2?n?0.2?0.25K2K3?1?0.5K1K2

1Ts?13-12 温度计的传递函数为，用其测量容器内的水温，1min才能显示出该温度的98%的数值。

若加热容器使水温按10oC/min的速度匀速上升，问温度计的稳态指示误差有多大？

解法一 依题意，温度计闭环传递函数

?(s)?1Ts?1

oo由一阶系统阶跃响应特性可知：h(4T)?98，因此有 4T?1min，得出 T?0.25min。

视温度计为单位反馈系统，则开环传递函数为

G(s)??(s)1??(s)?1Ts ??K?1T?v?110K

用静态误差系数法，当r(t)?10?t 时，ess??10T?2.5?C。

解法二 依题意，系统误差定义为 e(t)?r(t)?c(t)，应有 ?e(s)?E(s)R(s)?1?C(s)R(s)?1?1Ts?1Ts?TsTs?1

ess?lims?e(s)R(s)?limss?0s?0Ts?1s?102?10T?2.5?C

3-13 某单位反馈系统的开环传递函数如下，试求系统的静态误差系数及输入信号分别为

r(t)?1(t),t和t时系统的稳态误差。

7(s?1)s(s?4)(s?2s?2)22 G(s)?

解 G(s)?7(s?1)s(s?4)(s?2s?2)2 ??K?78?v?1

由静态误差系数法

r(t)?1(t)时， ess?0

A8??1.14 r(t)?t时， ess?K72r(t)?t时， ess??

3-14 试确定图示系统中参数K0和?的值，使系统对r(t)而言是II型系统。

K(?s?1)解 G(s)?(T1s?1)(T2s?1)1?K0K(?s?1)(T1s?1)(T2s?1)?K(?s?1)(T1s?1)(T2s?1)?K0K(?s?1)

?K(?s?1)T1T2s?(T1?T2?K0K?)s?(1?K0K)2

?1?K0K?0?K0?1K依题意应有：? 联立求解得 ?

T?T?KK??0??T?T2012??1此时系统开环传递函数为 G(s)?K(T1?T2)s?KT1T2s2

考虑系统的稳定性，系统特征方程为

D(s)?T1T2s?K(T1?T2)s?K?0

2当 T1，T2，K?0时，系统稳定。

3-15 设复合控制系统结构如图所示，试确定KC使系统在r(t)?t作用下无稳态误差。

解 系统误差传递函数

?e(s)?E(s)R(s)(1??1?K2K3sK2K3s)??K4KCs(Ts?1)2K1K2K4s(Ts?1)?s?(s?K2K3)(Ts?1)?K4KC?Ts?(1?TK2K3)s?K2K3s?K1K2K432

由劳斯判据，当 T、K1、K2、K3和K4均大于零，且(1?TK2K3)K3?TK1K4时，系统稳定。 令 ess?lims?e(s)?s?01s2?K2K3?K4KCK1K2K4?0

得 KC?K2K3K4

构如图所示，其中N(s)C(s)完全不受N(s)的差为零，试确定前馈Gc2(s)。

3-16 设复合校正控制系统结为可量测扰动。若要求系统输出影响，且跟踪阶跃指令的稳态误补偿装置Gc1(s)和串联校正装置

解 （1）求Gc1(s)。

K1?K1K2?Gc1(s)?1???K2?s?K1?K1Gc1(s)?Ts?1?s?s(Ts?1)C(s)?n(s)????0K1K2Gc2(s)K1N(s)s(Ts?1)?K1(Ts?1)?K1K2Gc2(s)1??ss(Ts?1)K2得：

Gc1(s)?s?K1K1。

（2）求Gc2(s)。令

1??1?K1s?K1?e(s)?E(s)R(s)(s?K1)(Ts?1）s ?K1K2Gc2(s)s(Ts?1)?K1(Ts?1)?K1K2Gc2(s)s(Ts?1)当r(t)?1(t)作用时，令ess?lims?e(s)?s?01s?limK1K1?K1K2Gc2(s)s?0?0

明显地，取 Gc2(s)?1s 可以达到目的。

3-17 已知控制系统结构如图(a)所示，其单位阶跃响应如图(b)所示，系统的稳态位置误差ess?0。试确定K,v和T的值。

解 G(s)?s?as(Ts?1)v ??KK?a?v待定 kk为开环增益，v为系统型别

由 r(t)?1(t)时，ess?0，可以判定：v?1

K(s?a) ?(s)?s(Ts?1)1?s?as(Ts?1)v?1vv?K(s?a)s(Ts?1)?s?av

D(s)?Ts?s?s?a

v系统单位阶跃响应收敛，系统稳定，因此必有： v?2。 根据单位阶跃响应曲线，有

h(?)?lims?(s)?R(s)?lims?s?0s?01ss(Ts?1)?s?asK(s?a)?K(s?a)v?K?10

h?(0)?k(0)?lims?(s)?lims??s??s(Ts?1)?s?av?limKsTsv?12?aKsvs???s?s?a?10

当T?0时，有

KsTs2k(0)?lims??v?1?K?10??10 可得 ?v?1

?T?1?当T?0时，有

Kssv2k(0)?lims???K?10??10 可得 ?v?2

?T?0?3-18 复合控制系统结构如图所示，图中K1，K2，T1，T2均为大于零的常数。 （1） 确定当闭环系统稳定时，参数K1，K2，T1，T2应满足的条件； （2） 当输入r(t)?V0t时，选择校正装置GC(s)，使得系统无稳态误差。

解 （1）系统误差传递函数

1??1?K2s(T2s?1)Gc(s)?

?e(s)?E(s)R(s)s(T1s?1)(T2s?1)?K2Gc(s)(T1s?1)s(T1s?1)(T2s?1)?K1K2K1K2s(T1s?1)(T2s?1)2

D(s)?T1T2s?(T1?T2)s?s?K1K2 列劳斯表

3

ss32T1T2T1?T2T1?T2?T1T2K1K2T1?T2K1K21K1K20

ss1

0因 K1、K2、T1、T2 均大于零，所以只要 T1?T2?T1T2K1K2 即可满足稳定条件。 （2）令 ess?lims?e(s)?R(s)?lims?s?0s?0V0s2?s(T1s?1)(T2s?1)?K2Gc(s)(T1s?1)s(T1s?1)(T2s?1)?K1K2

?limV0K1K2s?0Gc(s)??1?K?0 可得Gc(s)?sK2 2??s??3-19 设复合控制系统结构如图所示。图中Gn(s)为前馈补偿装置的传递函数，Gc(s)?K?ts为测速发电机及分压电位器的传递函数，G1(s)和G2(s)为前向通路环节的传递函数，N(s)为可量测扰动。 如果G1(s)?K1,G2(s)?1s，试确

2定Gn(s)、Gc(s)和Ｋ1，使系统输出量完 全不受扰动的影响，且单位阶跃响应的超调 量?%?25%，峰值时间tp?2s。

解 （1）确定Gc(s)。由梅逊公式

1

?s?K1Gc2(s)?Gc1(s)s?K1Gc2(s)?K122?n(s)?C(s)N(s)?(1?G1G2Gc2)?Gc1G21?G1G2Gc2?G1G2?0

2解得 Gc1(s)??s?K1Gc2(s)??s(s?K1Kt?)

??（2）确定Kt?。由梅逊公式 ?(s)?C(s)R(s)?G1G21?G1G2Gc2?G1G2K1s?K1K?ts?K12n2

???ns?2??ns??22n2

?K1??比较有 ??K1K?t?2??n??o?e???1??2?0.25?o? 由题目要求 ?

tp??22??n1????K1??2?2.946n???0.403?2??n可解得 ? ? ?t?K?0.47??1.72?n?K1?有 Gc(s)?K?ts?0.47s

2 Gc(s)??s(s?K1K?t)??s(s?1.386)

1

3-20 设无零点的单位反馈二阶系统的单位阶跃响应h(t)曲线如图所示，

（1）试求出该系统的开环传递函数及参数；

（2）确定串联校正装置的传递函数，使系统对阶跃输入的稳态误差为零。

解

?ess?0.05； 1、由题意知，r(t)?1，c(?)?0.95， 系统为零型系统

超调量?%? 由ess?11.25?0.950.95?0.30.95，所以阻尼比??0.344

19as21?k?0.05，得k=19，G(s)??bs?1

19 再根据tp?1s求出?n?3.346，所以G(s)?1.786s?4.1s?12

2、为使稳态误差为零，系统必须稳定，且至少为?型系统，所以串联校正 装置设为Gc(s)?

kcs，由劳斯判据求得：0?kc?0.12

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