中考数学中等难度题训练1

中等难度题训练1

1、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?(0°＜

?＜180°)，得到△A1B1C． A A A A1 A1 A1 ? C D B

C ? B

E C

? P B

B1 B1

B1 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

2、如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.

3、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CE?CF；

（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的度数。

DA

CEB

G F

1

4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2

（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，2且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

22222

（参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025）

2

5、已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． N A D （1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB； Q （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． B M P

6、如图，已知抛物线y??C

42x?bx?c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x?2，9且与x轴交于点D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3

中等难度题训练1

1、在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为?(0°＜

?＜180°)，得到△A1B1C． A A A A1 A1 A1 ? C D B

C

? B

E C

? P B

B1 B1

B1 图1 图2 图3 (1)如图1，当AB∥CB1时，设A1B1与BC相交于点D．证明：△A1CD是等边三角形； (2)如图2，连接AA1、BB1，设△ACA1和△BCB1的面积分别为S1、S2．求证：S1∶S2＝1∶3； (3)如图3，设AC的中点为E，A1B1的中点为P，AC＝a，连接EP．当?＝ °时，EP的长度最大，最大值为 ．

?（1）易求得?A?CD?60, A?C?DC, 因此得证.

(2)易证得?ACA?∽?BCB?,且相似比为1:3，得证. （3）120°，

3a 22、如图，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。 (1)求证：CD为⊙0的切线；

(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度. (1)证明：连接OC,

因为点C在⊙0上，0A=OC,所以∠OCA=∠OAC，因为CD⊥PA，所以∠CDA=90°， 有∠CAD+∠DCA=90°，因为AC平分∠PAE，所以∠DAC=∠CAO。 所以∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又因为点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，所以CD为⊙0的切线． (2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，所以∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°， 所以四边形OCDF为矩形，所以0C=FD，OF=CD. ∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，

∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x， 在Rt△AOF中，由勾股定理得AF+OF=OA.

22即(5?x)?(6?x)?25，化简得：x?11x?18?0

2222解得x?2或x?9。

由AD

∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6

3、在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F。 （1）在图1中证明CE?CF；

（2）若?ABC?90?，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若?ABC?120?，FG∥CE，FG?CE，分别连结DB、DG（如图3），求∠BDG的

4

度数。

(1) 证明：如图1.

∵ AF平分?BAD，∴?BAF=?DAF， ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD//BC，AB//CD。

∴ ?DAF=?CEF，?BAF=?F， ∴ ?CEF=?F，∴ CE=CF。 (2) ?BDG=45?.

(3) [解] 分别连结GB、GE、GC(如图2). ∵ AB//DC，?ABC=120?， ∴ ?ECF=?ABC=120?， ∵ FG //CE且FG=CE,

∴ 四边形CEGF是平行四边形.

由(1)得CE=CF, ∴□·CEGF是菱形,

ADEBGCF1 ∴ EG=EC，?GCF=?GCE=2?ECF=60?.

∴ △ ECG是等边三角形. ∴ EG=CG…①, ?GEC=?EGC=60?, ∴?GEC=?GCF, ∴?BEG=?DCG…②,

由AD//BC及AF平分?BAD可得?BAE=?AEB， ∴AB=BE.

在□ ABCD中，AB=DC. ∴BE=DC…③,

由①②③ 得△BEG ? △DCG. ∴ BG=DG，?1=?2,

∴ ?BGD=?1??3=?2??3=?EGC=60?.

1 ∴ ?BDG=2(180???BGD)=60?.

4、某企业为重庆计算机产业基地提供电脑配件，受美元走低的影响，从去年1至9月，该配件的原材料价格一路攀升，每件配件的原材料价格y1（元）与月份x（1≤x≤9，且x取整数）之间的函数关系如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 月份x 580 600 620 640 660 680 700 720 价格y1（元/件） 560 随着国家调控措施的出台，原材料价格的涨势趋缓，10至12月每件配件的原材料价格y2

（元）与月份x（10≤x≤12，且x取整数）之间存在如图所示的变化趋势：

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（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出y1与x之间的函数关系式，根据如图所示的变化趋势，直接写出y2与x之间满足的一次函数关系式；

（2）若去年该配件每件的售价为1000元，生产每件配件的人力成本为50元，其它成本30元，该配件在1至9月的销售量p1（万件）与月份x满足函数关系式p1=0.1x+1.1（1≤x≤9，且x取整数）10至12月的销售量p（万件）与月份x满足函数关系式p2=﹣0.1x+2.9（10≤x≤12，2且x取整数）．求去年哪个月销售该配件的利润最大，并求出这个最大利润；

（3）今年1至5月，每件配件的原材料价格均比去年12月上涨60元，人力成本比去年增加20%，其它成本没有变化，该企业将每件配件的售价在去年的基础上提高a%，与此同时每月销售量均在去年12月的基础上减少0.1a%．这样，在保证每月上万件配件销量的前提下，完成了1至5月的总利润1700万元的任务，请你参考以下数据，估算出a的整数值．

22222

（参考数据：99=9901，98=9604，97=9409，96=9216，95=9025） 解：（1）设y1=kx+b， 则

，解得

，

∴y1=20x+540（1≤x≤9，且x取整数）； 设y2=ax+b，则

，解得

，

∴y2=10x+630（10≤x≤12，且x取整数）；

（2）设去年第x月的利润为W元．

22

1≤x≤9，且x取整数时，W=P1×（1000﹣50﹣30﹣y1）=﹣2x+16x+418=﹣2（x﹣4）+450， ∴x=4时，W最大=450元；

2

10≤x≤12，且x取整数时，W=P2×（1000﹣50﹣30﹣y2）=（x﹣29）， ∴x=10时，W最大=361元；

（3）去年12月的销售量为﹣0.1×12+2.9=1.7（万件）， 今年原材料价格为：750+60=810（元） 今年人力成本为：50×（1+20%）=60元． ∴5×[1000×（1+a%）﹣810﹣60﹣30]×1.7（1﹣0.1×a%）=1700，

2

设t=a%，整理得10t﹣99t+10=0， 解得t=

，

≈97，∴t1≈0.1，t2≈9.8，∴a1≈10或a2≈980，

∵9401更接近于9409，∴

∵1.7（1﹣0.1×a%）≥1，∴a≈10．

答：a的整数解为10．

5、已知：如图，四边形ABCD是等腰梯形，其中AD∥BC，AD=2，BC=4，AB=DC=2，点M从点B开始，以每秒1个单位的速度向点C运动；点N从点D开始，沿D—A—B方向，以每秒1个单位的速度向点B运动．若点M、N同时开始运动，其中一点到达终点，另一点也停止运动，运动时间为t（t＞0）．过点N作NP⊥BC于P，交BD于点Q． N A D （1）点D到BC的距离为 ； （2）求出t为何值时，QM∥AB； Q （3）设△BMQ的面积为S，求S与t的函数关系式；

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B M P C

（4）求出t为何值时，△BMQ为直角三角形． 解：（1）3 (2)t=1.2s （3）当0?t?2时,s=

3(3t?t2)- 631当2?t?4时,s= (2t?t2)

6242x?bx?c与x轴相交于A、B两点，其对称轴为直线x?2，9(4)t=1.5s或者t=12/7s 6、如图，已知抛物线y??且与x轴交于点D，AO=1．

(1) 填空：b=_______。c=_______，点B的坐标为(_______，_______)： (2) 若线段BC的垂直平分线EF交BC于点E，交x轴于点F．求FC的长；

(3) 探究：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使⊙P与x轴、直线BC都相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

1620，c?，B(5，0) 994216204x???(x?2)2?4 ∴C（2，4） （2）由（1）求得y??x?9999（1）b?∵E为BC的中点，由中点坐标公式求得E的坐标为（3.5，2）

430x?，整理得4x?3y?20?0 33设直线EF的表达式为y?kx?b

3∵EF为BC的中垂线 ∴EF⊥BC ∴k?

4535把E（3.5，2）代入求得 b?? ∴直线EF的表达式为y?x?，

8483555525在y?x?中，令y=0，得x? ∴F(，0) ∴FC=FB=5??

486666易求直线BC的表达式为y??（3）存在，作∠OBC的平分线交DC于点P，则P满足条件。当然也可以作∠OBC的邻补角

的平分线交DC于点P’，也满足条件，坐标求法一样。 设P（2，a），则P到x轴的距离等于P到直线BC的距离。（用到点到直线的距离公式） ∴a?4?2?3a?204?322?3a?125 ∴5a?3a?12

∴5a?3a?12或5a??3a?12解得a??6或a?

33∴P（2，?6）或P（2，）。 227

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