高中数学常用公式及常用结论2

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系：只能用属于符号而集合之间的关系用包含符号

x?A?x?CUA,x?CUA?x?A. 2.德摩根公式

CU(A?B)?CUA?CUB;CU(A?B)?CUA?CUB.

3.包含关系

A?B?A?A?B?B?A?B?CUB?CUA

注意：若A?B，则A可能是空集 练习：

1、设集合A?{x|x?12?x?0}，B?{x|x?a}，若A?B??，则a的取值范围（ C ）

（A）a?2 （B）a??2 （C）a??1 （D） -1

2、已知不等式x2?ax?0的解集为集合A=?x0?x?1?，（1）则a?________（a?1） （2）设集合B=?yy?x?a?且A?B?B,则a的取值范围是 a?0

23、设集合A?{1,2},则满足A?B?A的集合B的个数是B

(A)1 (B)3 (C)4 (D)8

4．若集合A有n个元素，则它的子集个数共有2n 个；真子集有2n–1个；非空子集有2n –1个；非空的真子集有2n–2个.

【点评】本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题，同时考查了等价转化思想。

4、已知集合P={x∈N|1≤x≤10},集合Q={x∈R|x2+x－6≤0}, 则P∩Q等于( ) 选A． A. {2} B.{1,2} C.{2,3} D.{1,2,3}

思考：集合P的子集、真子集、非真子集分别有 个、 个、 个。

225．已知集合A＝{－1，3，2m－1}，集合B＝{3，m}，集合C＝{x|x?x?0 }．若A?B?B，（1）则实数m＝ （2）(CAB)?C．(m?1)

1?xx26.设p：x－x－20>0,q：

2?2<0,则p是q的A

A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件

5.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式f(x)?ax?bx?c(a?0);

(2)顶点式f(x)?a(x?h)?k(a?0)(突出顶点、对称轴、最值的特征);

(3)零点式f(x)?a(x?x1)(x?x2)(a?0)(突出方程f(x)?0的根即二次函数的图象与x轴的交点的特征). 思考：图象过点（0，2），对称轴是x?1，且最小值是 -1的二次函数的解析式为

1

226.闭区间上的二次函数的最值

求函数y?x2?2x?1分别在下列区间上的最值

（1）[2,3] （2）[-1,2] （3）[0,t](注意讨论t的范围). 相关：（1）求函数y??x2?2tx?1在区间[2,3]上的最值 （2）求下列函数的值域（可化为二次函数的有关问题） ①、 y?4x?2?2x?3 ②、y?x2?

7.四种命题的相互关系 原命题： p?q 原命题的逆命题：q?p 原命题的否命题：非p?非q

原命题的逆否命题：非q?非p 注意：（1）互为逆否的两个命题同真假；

（2）原命题的逆命题与原命题的否命题互为逆否命题 。

8.充要条件：若p?q，则p是q充分条件同时q是p的必要条件.

如：tanx?1是x=450的 条件

在三角形ABC中，a?b是sinA?sinB的 条件

9.如果函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,和函数f(x)?g(x)也是减函数; 如果函数y?f(u)和u?g(x)在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数y?f[g(x)]是增函数.（如：y?x?1x是两个增函数相加；y?log051x2?x?1x③、y?cos2x?8sinx

x?sinx在[0,?2]是

函数（增、减））

10．奇偶函数的性质：

奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称。

1?(1)函数f(x)?cot(?x?)的图象关于 对称;它的最小正周期是 42在[-198,-190]内它的单调递减区间是 ；f(?203)=

(2) 函数y?sin(x??)的图象关于原点对称，则?的一个值是 。

11. 若函数y?f(x)在定义域内总有f(x)?f(x?5)，则函数y?f(x)的最小正周期是 若函数y?f(x)在定义域内总有f(x)??f(x?5)，则函数y?f(x)的最小正周期是 若函数y?f(x)是偶函数，则f(x?2)?f(x)?f(1)；

12. 若函数y?f(x)在定义域内总有f(x?1)?f(5?x)恒成立,则函数f(x)图象的对称轴是x?1?52，思考：若函数y?f(x)在定义域内总有f(x?1)?f(21?x)恒成立,则函

数f(x)的对称轴是 ；特别地：二次函数y?f(x)满足f(5)?f(1)?f(2)，则f(2)、f(3)、f(8)、f(10)的大小关系是 13.两个函数图象的对称性

(1)函数y?f(x)与函数y?f(?x)的图象关于直线x?0(即y轴)对称.

(2)函数y?f(mx?a)与函数y?f(b?mx)的图象关于直线x?

a?b2m对称.

2

函数y?f(x)和y?x2?4x(x?1)的图象关于直线y=x对称，则y?f(x)的解析式为

14.若将函数y?f(x)的图象右移a、上移b个单位，得到函数y?f(x?a)?b的图象；若 将函数y?sin2x的图象左移1、下移2个单位，得到函数 的图象； 直线：x?05y?1?0按向量a?(1,2)得到直线的方程是 ； 15．互为反函数的两个函数的关系：（1）它们图象关于直线y=x对称

（2）f(a)?b?f?1(b)?a.

函数y?f(x)和y?x2?4x(x?1)的图象关于直线y=x对称，（1）f(5)= （2）则y?f(x)的解析式为 16.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）f(x)?f(x?a)，则f(x)的周期T=a，或f(x?a)?

（2）f(x)??f(x?a)，则f(x)的周期T=2a；或f(x?a)??m1f(x)1(f(x)?0)，

f(x)(f(x)?0),

17.分数指数幂 ：anm??an（a?0,m,n?N，且n?1）

将根式写成指数形式：（1）

323x2? （2）

14x8?

由上写法思考x4与x3都是非负数吗？

18.指数式与对数式的互化式：logaN?b?ab?N(a?0,a?1,N?0). 将下列各式进行指数式与对数式的互化式：（1）2x?7?x? （2）log3x?2?x? 思考：log525= ；log0.51= ；log19.对数的换底公式 logaN?logmNlogma2525= ；

(a?0,且a?1,m?0,且m?1, N?0)

思考：log57= （请换成以10为底）；log57= （请换成以7为底，本小题是结论）；换底公式的逆应用：

推论 logab?mloglog2293? ；

lg0.5lg2? .

nnm23logab(a?0,且a?1,m,n?0,且m?1,n?1, N?0) 13()? （2）log4MN推论的应用：（1）log927= ；（3）log124= ；.

19．对数的四则运算法则：若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，则 (1)loga(MN)?logaM?logaN;(2) loga(3)logaMn?logaM?logaN;

?nlogaM(n?R).

对数的四则运算时要求同底，若不同底则应 （1）lg2?lg5= （2）log29?log23=

3

（3）log（4）log23?log481= 3（4）函数f(x)=lg(x?1)?lg(x?1)的递减区间是 ；不等式f(x)?0的解集合

29?log12是 。 20.数列的通项公式求法：

n?1?s1,（1）Sn法：an??( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2???an).

s?s,n?2n?1?n若Sn?3n?1，则①a5? ； ②、a6?a7???a20? ；③、an= 。

（2）定义法：分别根据下列条件，求数列{an}的的通项公式 ①、an?an?2?2an?1且a1=1 ②、an?2an?1且a1=1 ③、3an?an?1?3n且a1=1 ④、(n?1)Sn?2nSn?1+1且a1=1 （3）叠加（乘）法：分别根据下列条件，求数列{an}的的通项公式 ①、an?an?1?n且a1=1 ②、(n?1)an?nan?1且a1=1 ③、an?4an?1?4an?2且a1=1,a2=3 21.sn?n(a1?an)2?na1?n(n?1)2d?d2n?(a1?212d)n （等差数列的前n项的和公式）.

?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??sn??1?q或sn??1?q（等比数列的前n项的和公式）

?na,q?1?na,q?1?1?1求下列数列的前n项的和（裂项法、错位相减法等）

1n} （2）{n?2} （1）{2n?2n1}的前n项的和是Sn，则（1） 变式：设无穷数列{2n?2n（2）a5?a6?a7?a8?? 等比（差）数列的性质： 等比数列 等差数列 （1） a2a8?a4a6?a5 a2?a8?a4?a6?2a5

66（2） a8/a2?q即a8?a2q a8?a5?3d即a8?a5?3d

2思考：在等差数列{an}中，a6?a8?10，则a7? ；a5?a6???a9? ；s15= 。

在等比数列{an}中，a2a8?9，则a5? ；a3?a4??a7? ；

lga2?lga3??lga8? 。

4

在等差数列{an}中，a11?a8?15,求a20、S10.

变式：在1和64之间插入5个数，使这7个数成等比数列{an}，则a5? ；

a1?a2??a7? ；S7=

（3）在等差数列{an}中下标成等差数列，则对应的项也成等差数列。 （4）在等比数列{an}中下标成等差数列，则对应的项也成等比数列。

如：在等差数列{an}，a2、a5、a8、a11?也成等差数列，但公差是原来的 倍。 在等比数列{an}，a2、a7、a12、a17?也成等比数列，但公比是原来的 倍。

22.同角三角函数的基本关系式

，tan??cot??1. cos?(关系式中有sin?、cos?、tan?、cot?四个量，知道其中任一个，可求其余三个) 如：直线3x?4y?1?0的倾斜角是?，则tan?、cos?分别是多少？

sin??cos??1，tan?=

22sin?23.正弦、余弦的诱导公式（注意：诱导公式中出现化简：（1）sin(2???)= （2）cos(?2?3?2,2则应该变函数名）

3?2??)= ??)= （3）tan(（4）cos(??)= （5）函数y?sin(x?点对称）（6）在?ABC中，sin(A?B2?2)的图象关于 对称（x、y轴还是原

)?0.5，则cosC= (7) sin(k???6)= (k?z)

24.和角与差角公式

sin(???)?sin?cos??cos?sin?;

cos(???)?cos?cos??sin?sin?;

思考：sin15= ；cos15cos75?sin705cos15? sin(???)=0.5且sin(???)=0.9，则sin?cos?= ；tan?cot?= 。 tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?00000.

2思考：tan?、tan?分别是方程6x?x?5?0的两根，则tan(???)= asin??bcos?=

a?bsin(???)(辅助角?所在象限由点(a,b)的象限决

22定,tan??ba思考：y?3sin2x?4cos2x的最大值是 ；方程3sin2x?4cos2x=—6有无根？

).

25.二倍角公式

sin2??sin?cos?.

2222cos2??cos??sin??2cos??1?1?2sin??降次公式

思考：y?5?sintan2??

22x的最小正周期、最大值分别是 2tan?1?tan?2.思考：y?tanx1?tan2x的最小正周期是 5

26.正弦定理 ：

asinA?bsinB?csinC?2R.（R是三角形的外接圆的半径）

边长是1的正三角形的外接圆的半径为 。

27.余弦定理：a2?b2?c2?2bccosA;b2?c2?a2?2cacosB;

222c?a?b?2abcosC.

11128.面积定理：（1）S?aha?bhb?chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c边上的高）.

222111（2）S?absinC?bcsinA?casinB.

222在?ABC中，a?3,b?1,A?60,则c? ；S?= ;BC?AB= . 20在△ABC中，若sinBsinC?cosA2，则△ABC是 ( A )

（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等边三角形 （D）等腰直角三角形 灵活应用正弦、余弦定理进行边角的互化：（如下列各题）

29.实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa)=(λμ)a; (2)分配律一：(λ+μ)a=λa+μa;(3)分配律二：λ(a+b)=λa+λb. 30.向量的数量积的运算律：(1) a·b= b·a （交换律）; (2)（?a）·b= ?（a·b）=?a·b= a·（?b）;(3)（a+b）·c= a ·c +b·c. 注意：若a·b= b·c ，则a = c 吗？

31．a与b的数量积(或内积)的两种方法计算：定义法：a·b= （*） 坐标法：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a·b= 利用a与b的数量积定义思考：若a与b的夹角是锐角，则a·b>0对的原因。 若a=(1,x)与b=(x,9)的夹角是钝角，则x的范围是 。

已知△ABC中，a、b、c三边长分别为3，4，5，则AB?BC?AC?BC?AC?AB的为（ A ） （A）7 （B）-7 （C）-25 （D）25

a·b的几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积． 求向量a=(1,2)在b=(—1,1) 的方向上的投影？ 32.平面向量的坐标运算

(1)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a+b=(x1?x2,y1?y2).

(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a-b=(x1?x2,y1?y2).

????????????(3)设A(x1,y1)，B(x2,y2),则AB?OB?OA?(x2?x1,y2?y1). (4)设a=(x,y),??R，则?a=(?x,?y). 向量的模的公式（即平面两点间的距离公式）

???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)(A(x1,y1)，B(x2,y2)).

22已知?ABC的三顶点分别是：A(0,0)、B(1,2)、C（—3，5），求

AB的坐标；（2）BC?2AB的坐标 （3）|BC?2AB| （1）BC、（4）若又知点D（0，2）的坐标，则|BC?CA?BD|= (能否先化简再计算)

6

33.两向量的夹角公式：cos??x1x2?y1y2x?y?2121x?y2222(a=(x1,y1),b=(x2,y2)).

将所求的角视为两向量的夹角后，可用上公式来求角如：在上题的?ABC中，求A、B的大小。

34.向量的平行与垂直 ：设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b?0，则

A||b?b=λa ?x1y2?x2y1?0. a?b(a?0)?a·b=0?x1x2?y1y2?0.

若a=(1,x)与b=(x,9)分别平行、反向、垂直，则x的相应值是 、 、 。

????ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c设向量p?(a?c,b),q?(b?a,c?a),若???2???? (D) （选择答案B） p//q,则角C的大小为 (A) (B) (C)

3632若三点A(2，2)，B(a,0),C(0,4)共线，则a的值等于 。

35. 向量的加减法的几何方法：

OA?OB?OB?OC?OC?OA,则点O分在?ABC中，点O分别满足：OA?OB?OC?0、别是?ABC的 心（外、内、垂、重心）.

→→→→ABACABAC1→→→

已知非零向量AB与AC满足( + )·BC=0且 · = , 则△ABC为( D )

→→→→2|AB||AC||AB||AC|

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

36.三角形的重心坐标公式 △ABC三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)、B(x2,y2)、C(x3,y3),

则△ABC的重心的坐标是G(x1?x2?x33,y1?y2?y33).

已知?ABC的三顶点分别是：A(0,0)、B(1,2)、C（—3，5），设G是?ABC的重心，求S?ABG 37.“按向量平移”

函数y?2x?1的图象C按向量a=（1，—2）平移后得到图象C'的函数解析式为 . 直线：3y?2x?1?0按向量a=（1，—2）平移后得的直线方程是

函数y?cos(2x?1)的图象C按向量a=（ ）平移后得到函数y?cos(2x?3)的图象C

38.常用不等式：

22（1）a,b?R?a?b?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)． ?（2）a,b?R?'a?b2?2ab(当且仅当a＝b时取“=”号)．

（3）

a?b222?(a?b2)?ab（此式可由上两式推导）

22思考：若正实数x、y满足：x?y?8，（1）xy的最大值是 （2）x?y的最小值是 （3）

2x?1y的最小值是 ，此时x? 。

39.斜率计算的三种方法：定义法：k?tan? （?为直线的倾斜角）

7

两点法：k?y2?y1x2?x1 斜截法： y?kx?b.

如：直线3x?4y?1?0的倾斜角是?，则该直线的斜率k及cos2?分别是多少？ 40.直线的五种方程

（1）点斜式 y?y1?k(x?x1) (直线l过点P1(x1,y1)，且斜率为k)． （2）斜截式 y?kx?b(b为直线l在y轴上的截距). （3）两点式 (4)截距式

y?y1y2?y1x?y?x?x1x2?x1(y1?y2)(P1(x1,y1)、P2(x2,y2) (x1?x2)).

?1(a、b分别为直线的横、纵截距，a、b?0) ab（5）一般式 Ax?By?C?0(其中A、B不同时为0).

注意：（1）直线的横（纵）截距指直线与x(y)轴的交点的横（纵）坐标，由此思考直线的横、纵截距可否小于零 （2）假设直线方程时，应选择适当的形式。 用图写直线l1、l2、l3的方程：

41.两条直线的平行和垂直

(1)若l1:y?k1x?b1，l2:y?k2x?b2

①l1||l2?k1?k2,b1?b2; ②l1?l2?k1k2??1.

(2)若l1:A1x?B1y?C1?0,l2:A2x?B2y?C2?0,且A1、A2、B1、B2都不为零, ①l1||l2?A1A2?B1B2?C1C2；②l1?l2?A1A2?B1B2?0；

思考：直线m2x?y?1?0与直线mx?y?1?0分别平行、垂直，则m= 、 42.点到直线的距离 ：d?2|Ax0?By0?C|A?B22(点P(x0,y0),直线l：Ax?By?C?0)

思考：在抛物线x?2y上求一点P，使它到直线x?y?5?0的距离最近.（解法多） 43. Ax?By?C?0或?0所表示的平面区域 （2）

22245. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 (x?a)?(y?b)?r.

（2）圆的一般方程 x?y?Dx?Ey?F?0(D2?E2?4F＞0). 注意：（1）已知圆心坐标及半径即可求圆的方程 （2）假设圆方程时，应选择适当的形式。 以点（2，－1）为圆心且与直线3x?4y?5?0相切的圆的方程为

8

22给出左图：（1）写出此平面区域表示的不等式组： 设点P（x,y）是此区域内的动点，则 （2）x?y的范围是 （3）x?y的范围是

22 (x?2)2?(y?1)2?9

90.两圆位置关系的判定方法

设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d d?r1?r2?外离?4条公切线; d?r1?r2?外切?3条公切线;

r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线; d?r1?r2?内切?1条公切线; 0?d?r1?r2?内含?无公切线.

91.圆的切线方程

(1)已知圆x2?y2?Dx?Ey?F?0．

①若已知切点(x0,y0)在圆上，则切线只有一条，其方程是 x0?x)E(y0?y)0x?y0y?D(x2?2?F?0.

当(x(x0?x)0,y0)圆外时, x0x?y0y?D2?E(y0?y)2?F?0表示过两个切点的

切点弦方程．

②过圆外一点的切线方程可设为y?y0?k(x?x0)，再利用相切条件求k，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴的切线．

③斜率为k的切线方程可设为y?kx?b，再利用相切条件求b，必有两条切线．

(2)已知圆x2?y2?r2．

①过圆上的P(xy200,0)点的切线方程为x0x?y0y?r;

②斜率为k的圆的切线方程为y?kx?r1?k2. 292.椭圆xy2a2?b2?1(a?b?0)的参数方程是?x?acos???y?bsin?.

93.椭圆

x2?y2a2b2?1(a?b?0)焦半径公式

a2PF1?e(x?c)，PFa22?e(c?x).

94．椭圆的的内外部 22（1）点P(xx2y200,y0)在椭圆a2?yb2?1(a?b?0)的内部?x0a2?b2?1. （2）点P(xx2y2x2200,y0)在椭圆a2?b2?1(a?b?0)的外部?a2?y0b2?1.

95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆

x2y20xa2?b2?1(a?b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是

xa2?y0yb2?1.

9

（2）过椭圆

x0xa2xa22?yb22?1(a?b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

?y0yb2?1.

（3）椭圆

A2x22a?2B?b22a. c?a?yb22?1(a?b?0)与直线Ax?B?y0C?相切的条件是

96.双曲线

xa22yb222?1(a?0,b?0)的焦半径公式

a2c97.双曲线的内外部

PF1?|e(x?)|，PF2?|e(2222c2222?x)|.

(1)点P(x0,y0)在双曲线(2)点P(x0,y0)在双曲线

xa22xax??yby?1(a?0,b?0)的内部??1(a?0,b?0)的外部?x0aax02222??y0bby0222?1. ?1.

ab98.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2(1）若双曲线方程为?bayb22?1?渐近线方程：

xa?ybxa22?yb22?0?y??xa22bax.

(2)若渐近线方程为y?? (3)若双曲线与

x22x??0?双曲线可设为?yb22??.

ab上，??0，焦点在y轴上）.

99. 双曲线的切线方程

?y22?1有公共渐近线，可设为

xa22?yb22??（??0，焦点在x轴

(1)双曲线

xa22?xayb2222?1(a?0,b?0)上一点P(x0,y0)处的切线方程是yb22x0xa2?y0yb2?1.

（2）过双曲线

x0xa2??1(a?0,b?0)外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是

?y0yb2?1.

（3）双曲线

Aa?Bb?c.

22222xa22?yb22?1(a?0,b?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是

100. 抛物线y?2px的焦半径公式

2抛物线y?2px(p?0)焦半径CF?x0?2p2.

过焦点弦长CD?x1?

p2?x2?p2?x1?x2?p.

10

101.抛物线y?2px上的动点可设为P(y??2px?.

22y?22,y?)或P(2pt,2pt)或 P(x?,y?)，其中

2p102.二次函数y?ax?bx?c?a(x?点坐标为(?22b2a)?24ac?b4ab2a2（1）顶(a?0)的图象是抛物线：,4ac?b?14a2b2a,4ac?b4a2（2）焦点的坐标为(?)；（3）准线方程是)；

y?.

4a103.抛物线的内外部

(1)点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的内部?y2?2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2?2px(p?0)的外部?y2?2px(p?0). (2)点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的内部?y2??2px(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线y2??2px(p?0)的外部?y2??2px(p?0). (3)点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的外部?x2?2py(p?0). (4) 点P(x0,y0)在抛物线x2?2py(p?0)的内部?x2?2py(p?0). 点P(x0,y0)在抛物线x2??2py(p?0)的外部?x2??2py(p?0). 104. 抛物线的切线方程

(1)抛物线y2?2px上一点P(x0,y0)处的切线方程是y0y?p(x?x0).

4ac?b?1 （2）过抛物线y2?2px外一点P(x0,y0)所引两条切线的切点弦方程是y0y?p(x?x0). （3）抛物线y?2px(p?0)与直线Ax?By?C?0相切的条件是pB?2AC.

105.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线f1(x,y)?0,f2(x,y)?0的交点的曲线系方程是

f1(x,y)??f2(x,y)?0(?为参数).

22(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程

222x222a?k?y22b?k?1,其中k?max{a,b}.当

2222k?min{a,b}时,表示椭圆; 当min{a,b}?k?max{a,b}时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB?AB?222(x1?x2)?(y1?y2)或

222(1?k)(x2?x1)?|x1?x2|1?tan??|y1?y2|1?cot??y?kx?b?F(x,y)?0（弦端点

A(x1,y1),B(x2,y2)，由方程?2 消去y得到ax?bx?c?0，??0,?为直线

AB的倾斜角，k为直线的斜率）.

107.圆锥曲线的两类对称问题

（1）曲线F(x,y)?0关于点P(x0,y0)成中心对称的曲线是F(2x0-x,2y0?y)?0. （2）曲线F(x,y)?0关于直线Ax?By?C?0成轴对称的曲线是

11

F(x?2A(Ax?By?C)A?B22,y?2B(Ax?By?C)A?B22)?0.

108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线Ax2?Bxy?Cy2?Dx?Ey?F?0，用x0x代x2，用y0y代y2，用

x0y?xy02x0?x2y0?y2?E?代xy，用代x，用

x0?x2代y即得方程

y0?y2?F?0，曲线的切线，切点弦，中点

Ax0x?B?x0y?xy02?Cy0y?D?弦，弦中点方程均是此方程得到.

109．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行.

110．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行.

111．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直.

112．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 113．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直.

115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a＋b=b＋a．

(2)加法结合律：(a＋b)＋c=a＋(b＋c)． (3)数乘分配律：λ(a＋b)=λa＋λb．

116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广

始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量.

117.共线向量定理

12

对空间任意两个向量a、b(b≠0 )，a∥b?存在实数λ使a=λb．

????????????????????P、A、B三点共线?AP||AB?AP?tAB?OP?(1?t)OA?tOB.

????????????????AB||CD?AB、CD共线且AB、CD不共线?AB?tCD且AB、CD不共线. 118.共面向量定理

向量p与两个不共线的向量a、b共面的?存在实数对x,y,使p?ax?by．

????????????推论 空间一点P位于平面MAB内的?存在有序实数对x,y,使MP?xMA?yMB，

?????????????????或对空间任一定点O，有序实数对x,y，使OP?OM?xMA?yMB.

????????????????119.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C，满足OP?xOA?yOB?zOC（x?y?z?k），则当k?1时，对于空间任一点O，总有P、A、B、C四点共面；当k?1时，若O?平面ABC，则P、A、B、C四点共面；若O?平面ABC，则P、A、B、C四点不共面．

????????????????????????A、B、 C、D 四点共面?AD与AB、AC共面?AD?xAB?yAC?

????????????????OD?(1?x?y)OA?xOB?yOC（O?平面ABC）.

120.空间向量基本定理

如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使p＝xa＋yb＋zc．

推论 设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数

????????????????x，y，z，使OP?xOA?yOB?zOC.

121.射影公式

????已知向量AB=a和轴l，e是l上与l同方向的单位向量.作A点在l上的射影A'，作B点

在l上的射影B'，则

''????AB?|AB|cos〈a，e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)则 (1)a＋b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (2)a－b＝(a1?b1,a2?b2,a3?b3)； (3)λa＝(?a1,?a2,?a3) (λ∈R)； (4)a·b＝a1b1?a2b2?a3b3；

123.设A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则 ????????????AB?OB?OA= (x2?x1,y2?y1,z2?z1). 124．空间的线线平行或垂直 rr设a?(x1,y1,z1)，b?(x2,y2,z2)，则 ?x1??x2rrrrrr?aPb?a??b(b?0)??y1??y2；

?z??z2?1rrrra?b?a?b?0?x1x2?y1y2?z1z2?0.

125.夹角公式

设a＝(a1,a2,a3)，b＝(b1,b2,b3)，则

13

cos〈a，b〉=21a1b1?a2b2?a3b3a?a?a2223.

23b?b?b212222222推论 (a1b1?a2b2?a3b3)2?(a12?a2?a3)(b1?b2?b3)，此即三维柯西不等式.

126. 四面体的对棱所成的角

四面体ABCD中, AC与BD所成的角为?,则

.

2AC?BD127．异面直线所成角

rrcos??|cosa,b|

rr|x1x2?y1y2?z1z2||a?b|r?=r

222222|a|?|b|x1?y1?z1?x2?y2?z2rroo（其中?（0???90）为异面直线a,b所成角，a,b分别表示异面直线a,b的方向向量）

cos??|(AB?CD)?(BC?DA)|2222128.直线AB与平面所成角

??????AB?m?????(m为平面?的法向量). ??arcsin???|AB||m|129.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABC的两个内角，则

sin?1?sin?2?(sinA?sinB)sin?.

22222特别地,当?ACB?90?时,有

sin?1?sin?2?sin?.

222130.若?ABC所在平面若?与过若AB的平面?成的角?,另两边AC,BC与平面?成的角分别是?1、?2,A、B为?ABO的两个内角，则

tan?1?tan?2?(sinA?sinB)tan?.

222'2'2''特别地,当?AOB?90时,有

222sin?1?sin?2?sin?.

131.二面角??l??的平面角

?????????m?nm?n??arccos???或??arccos???（m，n为平面?，?的法向量）.

|m||n||m||n|132.三余弦定理

设AC是α内的任一条直线，且BC⊥AC，垂足为C，又设AO与AB所成的角为?1，AB与AC所成的角为?2，AO与AC所成的角为?．则cos??cos?1cos?2.

133. 三射线定理

若夹在平面角为?的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是?1,?2,与二面

2222角的棱所成的角是θ，则有sin?sin??sin?1?sin?2?2sin?1sin?2cos? ;

?|?1??2|???180?(?1??2)(当且仅当??90时等号成立).

??134.空间两点间的距离公式

14

若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则

???? dA,B=|AB|?????????AB?AB?(x2?x1)?(y2?y1)?(z2?z1).

222135.点Q到直线l距离

|a|136.异面直线间的距离

????????|CD?n|?(l1,l2是两异面直线，其公垂向量为n，C、D分别是l1,l2上任一点，d为d?|n|l1,l2间的距离).

h?1????????22直线l的方向向量a=PA，向量b=PQ). (|a||b|)?(a?b)(点P在直线l上，

137.点B到平面?的距离

????????|AB?n|?（n为平面?的法向量，AB是经过面?的一条斜线，A??）. d?|n|2138.异面直线上两点距离公式 d?d?h?m?n?2mncos?.

????????'h?m?n?2mncosEA,AF. 22222d?h?m?n?2mncos?（??E?AA?F）.

222' (两条异面直线a、b所成的角为θ，其公垂线段AA'的长度为h.在直线a、b上分别取两点E、F，A'E?m,AF?n,EF?d). 139.三个向量和的平方公式

????2?2?2??????2 (a?b?c)?a?b?c?2a?b?2b?c?2c?a

?2?2?2?????????????a?b?c?2|a|?|b|cosa,b?2|b|?|c|cosb,c?2|c|?|a|cosc,a

140. 长度为l的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为l1、l2、l3，夹角分别为?1、?2、?3,则有

l?l1?l2?l3?cos?1?cos?2?cos?3?1?sin?1?sin?2?sin?3?2.

2222222222（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）. 141. 面积射影定理

S?S'cos?.

'(平面多边形及其射影的面积分别是S、S，它们所在平面所成锐二面角的为?). 142. 斜棱柱的直截面

已知斜棱柱的侧棱长是l,侧面积和体积分别是S斜棱柱侧和V斜棱柱,它的直截面的周长和面

积分别是c1和S1,则

①S斜棱柱侧?c1l. ②V斜棱柱?S1l.

143．作截面的依据

三个平面两两相交，有三条交线，则这三条交线交于一点或互相平行.

15

144．棱锥的平行截面的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比（对应角相等，对应边对应成比例的多边形是相似多边形，相似多边形面积的比等于对应边的比的平方）；相应小棱锥与小棱锥的侧面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比．

145.欧拉定理(欧拉公式)

V?F?E?2(简单多面体的顶点数V、棱数E和面数F).

（1）E=各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为n的多边形，则面数F与棱数E的关系：E?12nF；

12mV.

（2）若每个顶点引出的棱数为m，则顶点数V与棱数E的关系：E?146.球的半径是R，则 其体积V?43?R,

3其表面积S?4?R2． 147.球的组合体

(1)球与长方体的组合体:

长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体:

正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体:

棱长为a的正四面体的内切球的半径为148．柱体、锥体的体积

V柱体?V锥体?1313Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）. Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

612a,外接球的半径为64a.

149.分类计数原理（加法原理） N?m1?m2???mn. 150.分步计数原理（乘法原理） N?m1?m2???mn. 151.排列数公式

An=n(n?1)?(n?m?1)=

m.(n，m∈N*，且m?n)．

(n?m)！n！注:规定0!?1. 152.排列恒等式

mm?1(1）An?(n?m?1)An;

（2）An?

mnn?mAn?1;

m16

1（3）Anm?nAnm??; 1?1n（4）nAnn?Ann?; ?A1n（5）Anm?1?Anm?mAnm?1.

(6) 1!?2?2!?3?3!???n?n!?(n?1)!?1. 153.组合数公式

Cmn=

AnAmmm=

n(n?1)?(n?m?1)1?2???m=

(n∈N*，m?N，且m?n).

m！?(n?m)！n！154.组合数的两个性质 (1)Cnm=Cnn?m ; (2) Cnm+Cnm?1=Cnm?1. 注:规定Cn0?1. 155.组合恒等式 （1）Cn?（2）Cn?（3）Cnmmmn?m?1mnmCnm?1;

n?mnm?1?Cn?1; mCn?1;

n （4）?Cnr=2n;

r?0rrrrr?1（5）Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1. 012rnn(6)Cn?Cn?Cn???Cn???Cn?2. 135024n?1(7)Cn?Cn?Cn???Cn?Cn?Cn??2. 123nn?1 (8)Cn?2Cn?3Cn???nCn?n2. r0r?110rrr(9)CmCn?CmCn???CmCn?Cm?n. 021222n2n(10)(Cn)?(Cn)?(Cn)???(Cn)?C2n.

156.排列数与组合数的关系

An?m！?Cn .

mm157．单条件排列

以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列. （1）“在位”与“不在位”

m?1mm?1①某（特）元必在某位有An?1种；②某（特）元不在某位有An?An?1（补集思想）

?An?1An?1（着眼位置）?An?1?Am?1An?1（着眼元素）种.

1m?1m1m?1（2）紧贴与插空（即相邻与不相邻）

km?k①定位紧贴：k(k?m?n)个元在固定位的排列有AkAn?k种.

②浮动紧贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有An?k?1Ak种.注：此类问题常用捆绑法；

③插空：两组元素分别有k、h个（k?h?1），把它们合在一起来作全排列，k个的一

17

n?k?1k组互不能挨近的所有排列数有AhhAhk?1种.

（3）两组元素各相同的插空

m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法？ 当n?m?1时，无解；当n?m?1时，有

Am?1Annn?Cm?1种排法.

nn（4）两组相同元素的排列：两组元素有m个和n个，各组元素分别相同的排列数为Cm. ?n158．分配问题

（1）(平均分组有归属问题)将相异的m、n个物件等分给m个人，各得n件，其分配方

nnnnn法数共有N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n???C2n?Cn?(mn)!(n!)m.

（2）(平均分组无归属问题)将相异的m配方法数共有 N?Cmn?Cmn?n?Cmn?2n...?C2n?Cnm!nnnnn·n个物体等分为无记号或无顺序的m堆，其分

?(mn)!m!(n!)m.

（3）(非平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其

nnn分配方法数共有N?Cp?Cp?n...Cn?m!?12m1mp!m!n1!n2!...nm!.

（4）(非完全平均分组有归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分给m个人，物件必须被分完，分别得到n1，n2，?，nm件，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，则其分配方法数有N?mCp1?Cp2?n1...Cnm?m!nnna!b!c!... ?p!m!n1!n2!...nm!(a!b!c!...).

+n+?+n)个物体分为任意的n1，（5）(非平均分组无归属问题)将相异的P(P=n12mn2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数彼此不相等，则其分配方法数

有N?p!n1!n2!...nm!.

（6）(非完全平均分组无归属问题)将相异的P(P=n1+n2+?+nm)个物体分为任意的n1，

n2，?，nm件无记号的m堆，且n1，n2，?，nm这m个数中分别有a、b、c、?个相等，

p!n1!n2!...nm!(a!b!c!...)则其分配方法数有N?.

（7）(限定分组有归属问题)将相异的p（p?n1+n2+?+nm）个物体分给甲、乙、丙，??等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得n1件，乙得n2件，丙得n3件，?时，则无论n1，

n2，?，nm等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

mN?Cp1?Cp2?n1...Cnm?nnnp!n1!n2!...nm!.

159．“错位问题”及其推广

贝努利装错笺问题:信n封信与n个信封全部错位的组合数为

18

f(n)?n![112!?3!?14!???(?1)n1n!].

推广: n个元素与n个位置,其中至少有m个元素错位的不同组合总数为 f(n,m)?n!?C1234m(n?1)!?Cm(n?2)!?Cm(n?3)!?Cm(n?4)!???(?1)pCp(n?p)!???(?1)mCm

mm(n?m)!234m?n![1?C1mA1?Cm?Cm?Cm?(?1)pCpm???(?1)mCmnA2nA2nA4??nApnAm].

n160．不定方程x1+x2+?+xn?m的解的个数

(1)方程xn?11+x2+?+xn?m（n,m?N?）的正整数解有C个. m?1(2) 方程xn?11+x2+?+xn?m（n,m?N?）的非负整数解有 C个.

n?m?1(3) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的非负整数解有Cn?1m?1?(n?2)(k?1)个.

(4) 方程x1+x2+?+xn?m（n,m?N?）满足条件xi?k(k?N?,2?i?n?1)的

正整数解有Cn?1?C1n?2n?2n?1n?m?1n?2Cn?1m?n?k?2?C2n?2Cn?1m?n?2k?3???(?1)Cn?2C个. m?1?(n?2)k161.二项式定理

(a?b)n?C0nna?C1?122rnanb?Cnan?2b???Cnan?rbr???Cnnnb ;

二项展开式的通项公式

Trn?rr?1?Crnab(r?0，1，2?，n).

162.等可能性事件的概率

P(A)?mn.

163.互斥事件A，B分别发生的概率的和

P(A＋B)=P(A)＋P(B)．

164.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A1＋A2＋?＋An)=P(A1)＋P(A2)＋?＋P(An)． 165.独立事件A，B同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B).

166.n个独立事件同时发生的概率

P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An)． 167.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率

Pn(k)?Ckkn?knP(1?P).

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 （1）Pi?0(i?1,2,?); （2）P1?P2???1.

169.数学期望

E??x1P1?x2P2???xnPn?? 170.数学期望的性质

（1）E(a??b)?aE(?)?b. （2）若?～B(n,p),则E??np.

19

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则E??171.方差

D???x1?E???p1??x2?E?21p.

?2?p2????xn?E??2?pn??

172.标准差

??=D?. 173.方差的性质

(1)D?a??b??aD?；

2(2）若?～B(n,p)，则D??np(1?p).

(3) 若?服从几何分布,且P(??k)?g(k,p)?qk?1p，则D??qp2.

174.方差与期望的关系

D??E???E?2?.

?x???26222175.正态分布密度函数 f?x??1?2?6个体的平均数与标准差.

176.标准正态分布密度函数

e,x????,???，式中的实数μ，?（?>0）是参数，分别表示

f?x??12?6e?x22,x????,???.

177.对于N(?,?2)，取值小于x的概率

?x???F?x?????.

???P?x1?x0?x2??P?x?x2??P?x?x1?

?F?x2??F?x1?

?x????x1??????2?????.

??????178.回归直线方程

n???xi?x??yi?y???b?i?1n??2y?a?bx，其中???xi?x??i?1??a?y?bx179.相关系数

n?xyii?1ni?nxy2?i?1xi?nx2.

20

nni??x r?i?1n?x??yi?y?n??x ?i?1n22i?1i?x??yi?y?.

n222i?1?(xi?1i?x)2?(yi?1i?y)(?xi?nx)(?yi?ny)|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大；|r|越接近于0，相关程度越小. 180.特殊数列的极限 ?0|q|?1（1）limn??qn???1q?1.

??不存在|q|?1或q??1?0(k?tkk?)（2）limaa?1kn?k?1n???a0??n??b?at(ktnt?bt?1?t). t?1n???b0?bk??不存在 (k?t)（3）S?a1?1?qn?nlim??1?q?a1（S无穷等比数列1?q?a11qn??181. 函数的极限定理

limx?xf(x)?a?lim?f(x)?lim?f(x)?a.

0x?x0x?x0182.函数的夹逼性定理

如果函数f(x)，g(x)，h(x)在点x0的附近满足： （1）g(x)?f(x)?h(x);

（2）limg(x)?a,lim?xh(x)?a（常数）,

x?x0x0则limx?xf(x)?a.

0本定理对于单侧极限和x??的情况仍然成立. 183.几个常用极限 （1）lim1?0，limann???0（n??n|a|?1）；

（2）lim1x?xx?x0，lim0x?x?10xx.

0184.两个重要的极限 （1）limsinx?1x?0x；

（2）lim?1???1??x?x??e(e=2.718281845?).

x?185.函数极限的四则运算法则

若limx?xf(x)?a，limg(x)?b，则

0x?x0(1)lim??f?x??g?x????a?b；

x?x0 |q|?1)的和）.

21

((2)lim??f?x??g?x????a?b;

x?x0(3)limf?x?g?x?x?x0?ab?b?0?.

186.数列极限的四则运算法则 若liman?a,limbn?b，则

n??n??(1)lim?an?bn??a?b；

n??(2)lim?an?bn??a?b；

n??(3)limanbnn???ab?b?0?

n??n??(4)lim?c?an??limc?liman?c?a( c是常数).

n??187.f(x)在x0处的导数（或变化率或微商）

f?(x0)?y?x?x0?lim?y?x?x?0?limf(x0??x)?f(x0)?x.

?x?0188.瞬时速度 ??s?(t)?lim?s?t?v?t?0?lims(t??t)?s(t)?tv(t??t)?v(t)?t?y?x.

?t?0189.瞬时加速度

a?v?(t)?lim?t?0?t190.f(x)在(a,b)的导数

?t?0?lim.

f?(x)?y??dydx?dfdx?lim?x?0?limf(x??x)?f(x)?x.

?x?0191. 函数y?f(x)在点x0处的导数的几何意义

函数y?f(x)在点x0处的导数是曲线y?f(x)在P(x0,f(x0))处的切线的斜率

f?(x0)，相应的切线方程是y?y0?f?(x0)(x?x0).

192.几种常见函数的导数 (1) C??0（C为常数）.

'n?1(2) (xn)?nx(n?Q).

(3) (sinx)??cosx. (4) (cosx)???sinx. (5) (lnx)??x1xx；(loga)??xxx1xlogea.

(6) (e)??e; (a)??alna. 193.导数的运算法则

'''（1）(u?v)?u?v. （2）(uv)?uv?uv.

''' 22

（3）()?(v?0). 2vv194.复合函数的求导法则

设函数u??(x)在点x处有导数ux'??'(x)，函数y?f(u)在点x处的对应点U处有导

'''数yu'?f'(u)，则复合函数y?f(?(x))在点x处有导数，且yx?yu?ux，或写作

u'uv?uv''f'x(?(x)?)f'(u?)'(x. )195.常用的近似计算公式（当x充小时） (1)1?x?1?12x;n1?x?1?1nx； (2)(1?x)??1??x(??R)； 11?x?1?x；

(3)ex?1?x； (4)ln(1?x)?x；

(5)sinx?x（x为弧度）； (6)tanx?x（x为弧度）； (7)arctanx?x（x为弧度）

196.判别f(x0)是极大（小）值的方法 当函数f(x)在点x0处连续时，

（1）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极大值； （2）如果在x0附近的左侧f?(x)?0，右侧f?(x)?0，则f(x0)是极小值. 197.复数的相等

a?bi?c?di?a?c,b?d.（a,b,c,d?R）

198.复数z?a?bi的模（或绝对值）

|z|=|a?bi|=a2?b2.

199.复数的四则运算法则

(1)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (2)(a?bi)?(c?di)?(a?c)?(b?d)i; (3)(a?bi)(c?di)?(ac?bd)?(bc?ad)i; (4)(a?bi)?(c?di)?ac?bd?adc2?d2?bcc2?d2i(c?di?0).

200.复数的乘法的运算律 对于任何z1,z2,z3?C，有 交换律:z1?z2?z2?z1.

结合律:(z1?z2)?z3?z1?(z2?z3). 分配律:z1?(z2?z3)?z1?z2?z1?z3 . 201.复平面上的两点间的距离公式 d?|z21?z2|?(x2?x1)?(y22?y1)（z1?x1?y1i，z2?x2?y2i）.

向量的垂直

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202.

??????????非零复数z1?a?bi，z2?c?di对应的向量分别是OZ1，OZ2，则 ??????????z OZ1?OZ2?z1?z2的实部为零?2为纯虚数?|z1?z2|2?|z1|2?|z2|2

z1222?|z1?z2|?|z1|?|z2|?|z1?z2|?|z1?z2|?ac?bd?0?z1??iz2 (λ为非

零实数).

203.实系数一元二次方程的解

实系数一元二次方程ax2?bx?c?0， ①若??b?4ac?0,则x1,2?2?b?b?4ac22ab②若??b2?4ac?0,则x1?x2??;

2a?b??(b?4ac)i2a2;

③若??b2?4ac?0，它在实数集R内没有实数根；在复数集C内有且仅有两个共轭复数根x?

(b?4ac?0).

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