金融工程复习题及参考答案

远期习题

1、交易商拥有1亿日元远期空头，远期汇率为0.008美元/日元。如果合约到期时汇率分别为0.0074美元/日元和0.0090美元/日元，那么该交易商的盈亏如何？

2、当前黄金价格为500美元/盎司，1年远期价格为700美元/盎司。市场借贷年利率（连续复利）为10%，假设黄金的储藏成本为0，请问有无套利机会？如果存在套利机会，设计套利策略。

3、每季度计一次复利的年利率为14%，请计算与之等价的每年计一次复利的年利率和连续复利年利率。

4、假设连续复利的零息票利率如下：

期限（年） 年利率（%） 1 2 3 4 5 12.0 13.0 13.7 14.2 14.5 请计算第2、3、4、5年的连续复利远期利率。

5、假设连续复利的零息票利率分别为：

期限（月） 年利率（%） 3 6 9 12 15 18 8.0 8.2 8.4 8.5 8.6 8.7 请计算第2、3、4、5、6季度的连续复利远期利率。

6、假设一种无红利支付的股票目前的市价为20元，无风险连续复利年利率为10%，求该股票3个月期远期价格。

7、某股票预计在2个月和5个月后每股派发1元股息，该股票日前市价等于30，所有期限的无风险连续复利年利率均为6％，某投资者刚取得该股票6个月期的远期合约空头，

1

请问：1）该远期价格等于多少?若交割价格等于远期价格，则远期合约的初始值等于多少? 2）3个月后，该股票价格涨到35元，无风险利率仍为6％，此时远期价格和该合约空头价值等于多少?

8、假如英镑与美元的即期汇率是1英镑＝1.6650美元，远期汇率是1英镑＝1.660美元，6个月期美元与英镑的无风险连续复利年利率分别是6％和8％，问是否存在套利机会？如存在，如何套利?

9、假设某公司计划在3个月后借入一笔为期6个月的1000万美元的浮动利率债务。根据该公司的信用状况，该公司能以6个月期的LIBOR利率水平借入资金，目前6个月期的LIBOR利率水平为6%，但该公司担心3个月后LIBOR会上升，因此公司买入一份名义本金为1000万美元的3X9的远期利率协议。假设现在银行挂出的3X9以LIBOR为参照利率的远期利率协议报价为6.25%。设3个月后6月期的LIBOR上升为7%和下降为5%，则该公司远期利率协议盈亏分别为多少？该公司实际的借款成本为多少？

参考答案

1、如果到期时即期汇率为0.0074美元/日元，则交易商盈利（0.008-0.0074）x1亿=6万美元；如果到期时即期汇率为0.0090美元/日元，则交易商亏损（0.0090-0.008）x1亿=10万美元。

2、理论远期价格F?500*e0.1*1?500*1.105?552.5美元/盎司，由于市场的远期价格大于理论远期价格，存在套利机会。套利策略为期借款500美元，买入一盎司黄金现货，同时卖出一盎司远期黄金。一年后进行交割黄金远期，得到700美元，偿还借款本息552.5美元，获利147.5美元。

3、由(1?由(1?0.14440.144r)?1?rA，可得rA?14.75%

4)?ec，可得rc?13.76%。

rs(Ts?t)4、由e得rF?erF(TL?TS)?erL(TL?t)

rL(TL?t)?rS(TS?t)TL?Ts

13.0%*2?12.0%*1因此，第二年的远期利率rF?2第三年的远期利率rF?32?113.7%*3?13.0%*23?214.2%*4?13.7%*34?314.5%*5?14.2%*45?4?14.0%

?15.1% ?15.7% ?15.7%

第四年的远期利率rF?4第五年的远期利率rF?5 2

5、由rF?rL(TL?t)?rS(TS?t)TL?Ts

第二季度的远期利率为rF?28.2%*0.5?8.0%*0.250.25?8.4%

第三、四、五、六季度远期利率略。

6、F?Ser(T?t)?20e0.1*0.25?20*1.025?20.5

7、1）F(0,6)?(S?I)er(T?t)?(30?e?0.06*2/12?e?0.06*5/12)e0.06*6/12?28.89 交割价格等于远期价格时，远期合约价值为0。

2）三个月时，远期价格F(3,6)?(S?I)er(T?t)?(35?e?0.06*2/12)e0.06*3/12?35.03

三个月时空头方的价值为

F(0,6)e(?0.06*3/12)?(35?I)?28.89*e(?0.06*3/12)?(35?e?0.06*2/12)??5.55

8、F?Se(r?rf)(T?t)?1.665*e(0.06?0.08)*0.5?1.6567

存在套利机会。套利者借入1.665美元，换成1英镑，投资于英镑市场六个月，同时以1英镑=1.660的价格卖出远期英镑e0.08*0.5，则六个月后，套利者获得1.660*e0.08*0.5美元，归还1.665*e0.06*0.5美元，套利者可以获利1.660*e0.08*0.5?1.665*e0.06*0.5?0美元。

9、当利率上升到7%时，远期利率协议的盈利为：

(7%?6.25%)*1000*0.51?7%*0.5(6.25%?5%)*1000*0.51?5%*0.5?36231.88

当利率下降到5%时，远期利率协议的亏损为：

?60975.61

该公司的实际借款成本为6.25%。因为，假设3个月后利率上升到7%，该公司将获得36231.88美元的结算金，他可按当时的即期利率7%将结算金贷出6个月。9个月后，该公司收回37500美元的本息，刚好抵消掉多支付的37500美元的利息，从而公司的实际借款利率固定在6.25%的水平上。3个月后利率下降到5%时（分析略），该公司的实际借款成本也为6.25%。

期货习题

1、设2007年10月20日小麦现货价格为1980元/吨，郑州商品交易所2008年1月小麦期货合约报价为2010元。面粉加工厂两个月后需要100吨小麦，为了规避小麦价格上升的风险，面粉加工厂可以怎样进行套期保值？（假设一单位小麦现货正好需要1单位小麦期货进行套期保值，小麦期货合约规模为10吨）。假设2007年12月20日小麦现货价格变为2020元，2008年1月小麦期货价格变为2040元/吨。则2007年10月20日和2007年12月20日小麦基差分别为多少？套期保值后，面粉加工厂获得的小麦的有效买价为多少？

2、活牛即期价格的月度标准差为1.2每分/磅，活牛期货合约价格的月度标准差为1.4

3

每分/磅，期货价格与现货价格的相关系数为0.7，现在是10月15日，一牛肉生产商在11月15日需购买200000磅的活牛。生产商想用12月份期货合约进行套期保值，每份期货合约规模为40000磅，牛肉生产商需要采取何种套期保值策略。

3、假设2007年10月20日大连商品交易所大豆商品08年1月，3月，5月的期货合约的期货价格分别为4400，4520，4530，投机者预测大豆08年大豆期货价格应该大致在１月和５月的中间位置，则其应该怎样投机？假设11月20日时，大豆商品08年1月，3月，5月的期货合约的期货价格分别变为4500，4580，4630，则投机者获利或亏损多少？

参考答案

1、 买入10份08年1月的小麦期货合约来避险。 07年10月20日的基差为1980-2010=-30元/吨 07年12月20日的基差为2020-2040=-20元/吨 有效买价为：2020-（2040-2010）=1990元/吨。 2、h????S?F?0.7?1.21.4?0.6

需要买进的期货合约数?h?需保值现货的面值每份期货和约的面值?0.6?20000040000?3份

3、10月20日：投机者卖出2份08年3月份的期货合约，买入一份08年1月份的期货合约，买入一份08年5月份的期货合约。

11月20日，由于投机者预测正确，其能够获利。获利为：（4520-4400）-（4580-4500）+（4630-4580）-（4530-4520）=80。

期权习题

1、期权价格的主要影响因素有哪些？与期权价格呈何种关系？ 2、何谓欧式看跌看涨期权平价关系？

3、6个月后到期的欧式看涨期权的价格为2美元，执行价格为30美元，标的股票价格为29美元，预期2个月和5个月后的股利均为0.5美元，无风险利率为10%，利率期限结构是平坦的。6个月后到期的执行价格为30美元的欧式看跌期权的价格为多少？

rT4、证明d?1?rf?u 或d?e?u

5、假设某种不支付红利的股票市价为42元，无风险利率为10%，该股票的年波动率为20%，求该股票协议价格为40元，期限为6个月的欧式看涨期权和看跌期权价格分别为多少？ 6、某股票目前价格为40元，假设该股票1个月后的价格要不42元，要不38元。无风险年利率（年度复利）为8%，请问一个月期的协议价格等于39元的欧式看涨期权的价格等于多少？

7、三种同一股票的看跌期权具有相同的到期日，其执行价格分别是55美元、60美元、65美元，市场价格分别为3美元、5美元和8美元。解释怎样构建蝶式价差。用图表表示这一策略的利润。股价在什么范围内该策略将导致损失呢？

8、假设你是一家负债率很高的公司的唯一股东，该公司的所有债务在1年后到期。如果到时公司的价值V高于债务B，你将偿还债务。否则的话，你将宣布破产并让债权人接管公司。

1）请将你的股权E表示为公司价值的期权；

4

2）请将债权人的债权表示为公司价值的期权。

9、标的股票价格为31元，执行价格为30元，无风险年利率为10%，3个月期的欧式看涨期权价格为3元，欧式看跌期权价格为2.25元，如何套利？如果看跌期权价格为1元呢？

参考答案

1、

影响因素 基础资产的市场价格 期权的敲定价格 基础资产价格的波动性 期权合约的有效期限 利率 期权有效期基础资产的收益 看涨期权 + - + 美式+（欧式不确定） + - 看跌期权 - + + 美式+（欧式不确定） - + 2、欧式看跌-看涨平价关系（put-call parity）是指看跌期权的价格与看涨期权的价格，必须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系。如果该价格关系被打破，则在这两种价格之间存在着无风险套利机会。如果期权的有效期内标的资产不产生收益时，欧式看跌-看涨之间满足c+ Ke-r(T-t)=p+S的平价关系；如果期权有效期内标的资产产生收益的现值为D，欧式看跌-看涨之间满足c+ D+Ke

3、 p?c?D?Ke?2?0.5*e?2.508?rT-r(T-t)

=p+S的平价关系。

?S?0.5*e?0.1*5/12?0.1*2/12?30*e?0.6*6/12?29

4、设1?rf?u，则套利者套利策略为 交易策略 卖出标的资产，价格为S 将S以无风险的利率投资 0时刻 S -S T时刻 标的资产价格为uS 标的资产价格变为dS -uS -dS S(1?rf) S(1?rf) 现金流 0 >0 >0 通过上述交易策略，套利者在0时刻不需要花费成本，而在T时刻可以获得收益。 1?rf?d时的套利策略（略）。

5、d1?ln(42/40)?(0.1?0.2/2)*0.50.20.522?0.7693

d2?ln(42/40)?(0.1?0.2/2)*0.50.20.5?rT?0.6278

且Ke?40*e?0.1*0.5?38.049

查表得：

5

N(0.7693)?0.7791,N(?0.7693)?0.2209N(0.6278)?0.7349,N(?0.6278)?0.2651

因此：c?42N(0.7693)?38.049N(0.6278)?4.76

p?38.049N(?0.6278)?42N(?0.7639)?0.81

6、Cu?max(42?39,0)?3，Cd?max(38?39,0)?0

u?42/40?1.05，d?38/40?0.95

p?(1?rf?d)/(u?d)=（1+0.08/12-0.95）/（1.05-0.95）?0.57

由C?(pCu?(1?p)Cd)/(1?rf)=（0.57*3+0）/（1+0.08/12）=1.70。

7、买一个执行价格为55的看跌，支付3元，买一个执行价格为65的看跌，支付8元，卖两个执行价格为60的看跌，收到10元。其损益图如下：

4 56 -1 64 ST

当股价小于56或大于64时，该策略将亏损（不考虑期权费的时间价值）。

8、1）股权价值E?Max(V?B,0) 2）债券价值为V?E?V?Max(V?B,0)

9、1）当

p?2.25时，c?Xe?r?T?t??32.26,p?S?33.25，所以正确套利方法为买入看涨

期权，卖空看跌期权和股票，将净现金收入30.25元进行3个月的无风险投资，到期时将获得31.02元。如果到期时股票价格高于30元，将执行看涨期权，如果低于30元，看跌期权将被执行，因此无论如何，投资者均将按照30元购买股票，正好用于平仓卖空的股票，因此将获得净收益1.02。 2）当

p?1时，c?Xe?r?T?t??32.26,p?S?32，所以正确套利方法为卖出看涨期权，买入

看跌期权和股票，需要的现金以无风险利率借入，到期时需偿付的现金流将为29.73，如果到期时股票价格高于30元，看涨期权将被执行，如果低于30元，投资者将执行看跌期权，因此无论如何，投资者均将按照30元出售已经持有的股票，因此将获得净收益0.27。

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互换习题

1、甲公司和乙公司各自在市场上的10年期500万美元的投资可以获得的收益率为： 公司 固定利率 浮动利率 甲公司 8.0% LIBOR 乙公司 8.8% LIBOR

甲公司希望以固定利率进行投资，而乙公司希望以浮动利率进行投资。请设计一个利率互换，其中银行作为中介获得报酬为0.2%的利差，而且要求互换对双方具有同样的吸引力。

2、甲公司希望以固定利率借入100万美元，而乙公司希望以固定利率借入1亿日元，现时汇率为1美元=100日元。市场对这两个公司的报价如下： 公司 日元 美元 甲公司 5.0% 9.6% 乙公司 6.5% 10%

请设计一个货币互换，银行获得的报酬为0.5%，而且要求互换对双方具有同样的吸引力，汇率风险由银行承担。

参考答案

1、互换总的收益为（8.8%-8.0%）-( LIBOR- LIBOR)=0.8%

中介银行获得0.2的利差，且要求互换对双方具有同样吸引力，则每一方的收益为（0.8%-0.2%）/2=0.3%。互换合约可设计如下：

LIBOR LIBOR 甲公司 互换中介 乙公司 8.3% 8.5% LIBOR收益率 8.8%收益率

2、互换总的收益为（6.5%-5.0%）-( 10%- 9.6%)=1.1%

中介银行获得0.5的利差，且要求互换对双方具有同样吸引力，则每一方的收益为（1.1%-0.5%）/2=0.3%。

1）货币互换初始现金流图

1亿日元 1亿日元 甲公司 互换中介 乙公司 100万美元 100万美元 借入1亿 借入100万 日 元 美 元

2）货币互换利息支付现金流图

美元利息9.3% 美元利息10%

甲公司 互换中介 乙公司 日元利息5% 日元利息6.2% 支付日元 支付美元 利息5% 利息10%

7

3）货币互换期末本金支付现金流图

100万美元 100万美元 甲公司 互换中介 1亿日元 1亿日元 乙公司 偿还1亿 偿还100万 日元本金 美元本金

注：粗略答案，未经复核，仅供参考。

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