08 第8章 平面向量

第8章 平面向量

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向量的概念 向量的加、减法 向量 向量的运算 实数与向量的积 向量的数量积 平面向量的基本定理及坐标表示 几何中的运用 向量的运用 物理学中的运用 两点间的距离 向量的夹角 两向量平行的充要条件 向量的坐 标运算 两向量垂直的充要条件 向量的模

第1讲 向量的概念与线性运算

★ 知 识 梳理 ★

1．平面向量的有关概念：

（1）向量的定义：既有____大小又有方向_________的量叫做向量.

（2）表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的____长度_____表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a，b，?或用AB，BC，?表示.

特别提醒：

1) 模：向量的长度叫向量的模，记作|a|或|AB|. 2) 3) 4) 5)

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确定. 单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线. 相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

用心 爱心 专心

2．向量的线性运算 1.向量的加法：

（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.

????????如图，已知向量a，b，在平面内任取一点A，作AB?a，BC?b，则向量AC叫做a????????????与b的和，记作a+b，即 a+b?AB?BC?AC

Caa+bbBDbab三角形法则Aa平行四边形法则a+bCB(1)特殊情况：

aba?bA

aba?bAB(2)CCA(3)B

对于零向量与任一向量a，有 a?0?0? a ? a

（2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______

（3）运算律：____ a+b=b+a；_______，____（a+b）+c=a+（b+c）._______ 2.向量的减法：

（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法. 已知向量a、b，求作向量

∵(a?b) + b = a + (?b) + b = a + 0 = a 减法的三角形法则作法：在平面内取一点O， 作OA= a, OB= b, 则BA= a ? b

即a ? b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意：

1) AB表示a ? b强调：差向量“箭头”指向被减数

2) 用“相反向量”定义法作差向量，a ? b = a +

(?b)

显然，此法作图较繁，但最后作图可统一

a∥b∥c a ? b = a + (?b) a ? b

a a?b O B A B’ O

b a?b

A B

用心 爱心 专心

a b O

a?b

A ?b B

B

a?b O A

（2）法则：____三角形法则_______ 3.实数与向量的积：

（1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：|λa|=|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ=0时，λa与a平行.

（2）运算律：λ（μa）=（λμ）a， （λ+μ）a=λa+μa， λ（a+b）=λa+λb.

特别提醒：

1) 向量的加、减及其与实数的积的结果仍是向量。 2) 重要定理：

向量共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使得b=λa，即b∥a?b=λa（a≠0）.

★ 重 难 点 突 破 ★

1.重点：理解向量及与向量相关的概念，掌握向量的几何表示，掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则．

2.难点：掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算． 3.重难点：.

问题1: 相等向量与平行向量的区别

答案：向量平行是向量相等的必要条件。

问题2:向量平行（共线）与直线平行（共线）有区别

答案：直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况。 问题3：对于两个向量平行的充要条件：

a∥b?a=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件. 问题4；向量与有向线段的区别：

（1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点一： 向量及与向量相关的基本概念 题型1. 概念判析

[例1]判断下列各命题是否正确

(1)零向量没有方向 (2)若a?b,则a?b (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段

用心 爱心 专心

??????(5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (6)若a?b，b?c，则a?c； ??????(7)若a//b，b//c，则a//c (8)若四边形ABCD是平行四边形,则

AB?CD,BC?DA

??????(9) a?b的充要条件是|a|?|b|且a//b；

[解题思路]：正确理解向量的有关概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明。

解析：解：(1) 不正确，零向量方向任意, (2) 不正确，说明模相等,还有方向 (3) 不

正确，单位向量的模为1,方向很多 (4) 不正确，有向线段是向量的一种表示形式 (5)正确， （6）正确，向量相等有传递性 （7）不正确，因若b?0，则不共线的向量a,c也有a//0，0//c。(8) 不正确, 如图

?AB?CD,BC?DA （9）不正确，

??????当a//b，且方向相反时，即使|a|?|b|，也不能得到a?b；

【名师指引】对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从通过举出反例

而排除或否定相关命题。

【新题导练】

1． 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB＝DC ⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量AB、AC在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.

④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC共线，虽起点

不同，

但其终点却相同.

评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.

2．下列命题正确的是（ ）

用心 爱心 专心

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

考点二: 向量的加、减法

题型1: 考查加加、减法运算及相关运算律

[例2] 化简(AB?CD)?(AC?BD)

[解题思路]：考查向量的加、减法，及相关运算律。

解法一（统一成加法）

(AB?CD)?(AC?BD)=AB?CD?AC?BD?AB?DC?CA?BD

=AB?BD?DC?CA?0 解法二（利用OA?OB?BA）

(AB?CD)?(AC?BD)=AB?CD?AC?BD

=(AB?AC)?CD?BD =CB?CD?BD?DB?BD?0 解法三（利用AB?OB?OA）

设O是平面内任意一点，则(AB?CD)?(AC?BD)=AB?CD?AC?BD =(OB?OA)?(OD?OC)?(OC?OA)?(OD?OB) =OB?OA?OD?OC?OC?OA?OD?OB?0

【名师指引】掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识．在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律．

题型2: 结合图型考查向量加、减法

[例3] (20082广州市一模)在?ABC所在的平面上有一点P，满足

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