2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案
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2020—2021年西城区高三数学文科期末试题及答案
北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末试卷
高三数学(文科) 2020.1
第Ⅰ卷(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.设集合1,0,1,2{}A -=,2
{|}B x x x =>,则集合A B =( )
(A ){1,0,1}-
(B ){1,2}-
(C ){0,1,2}
(D ){1,1,2}-
3.在锐角?ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . 若2a b =
,sin 4
B =
,则( ) (A )3
A π= (
B )6
A π=
(C
)sin 3
A =
(D )2sin 3
A =
4.执行如图所示的程序框图,输出的x 值为( ) (A )4 (B )5 (C )6 (D )7
2.设命题p :2log 0,2x
x x ?>>,则p ?为( ) (A )2log 0,2x
x x ?>< (B )2log 0,2x
x x ?>≤ (C )2log 0,2x
x x ?><
(D )2log 0,2x
x x ?>≥
5.设函数()y f x =的定义域为R ,则“(0)0f =”是“函数()f x 为奇函数”的( ) (A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件
6. 某天,甲要去银行办理储蓄业务,已知银行的营业时刻为9:00至17:00,设甲在当天 13:00至18:00之间任何时刻去银行的可能性相同,那么甲去银行恰好能办理业务的概率是( )
(A )13 (B )34 (C )58 (D )45
8. 如图,在空间四边形ABCD 中,两条对角线,AC BD 互相垂直,且长度分别为4和6,平行于这两条对角线的平面与边,,,AB BC CD DA 分别相交于点,,,E F G H ,记四边形EFGH 的面积为y ,设
BE
x AB
,则( )
(A )函数()y f x 的值域为(0,4] (B )函数()y f x 的最大值为8
(C )函数()y f x 在2
(0,)3上单调递减
(D )函数()y f x 满足()
(1)f x f x
7. 设抛物线2
:4W y x 的焦点为F ,过F 的直线与W 相交于A ,B 两点,记点F 到直线l :
1x 的距离为d ,则有( )
(A )2||d AB ≥ (B )2||d AB (C )2||d AB ≤ (D )2||d AB
A B
E C
D G
H F
第Ⅱ卷(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9. 复数i 1i
z =
+,则||z =______.
10.设平面向量,a b 满足||3=a ,||2=b ,3?=-a b ,那么,a b 的夹角θ=____.
11.一个四棱锥的三视图如图所示,那么那个四棱锥最
长棱的棱长为_____.
12.设12,F F 为双曲线C :22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点,且直线2y x =为双曲线C 的一条渐近线,点P 为C 上一点,假如12||||4PF PF -=,那么双曲线C 的方程为____;离心率为_____.
13. 某小学教师预备购买一些签字笔和铅笔盒作为奖品,已知签字笔每支5元,铅笔盒每个6元,花费总额不能超过50元. 为了便于学生选择,购买签字笔和铅笔盒的个数均不能少于3个,那么该教师有_______种不同的购买奖品方案.
14. 设函数3
||, 1,()log , 1.x a x f x x x -?=?>?≤ (1)假如(1)3f =,那么实数a =___;
(2)假如函数()2y f x =-有且仅有两个零点,那么实数a 的取值范畴是___.
侧(左)视图 正(主)视图 俯视图
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解承诺写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分) 已知函数2π()12sin ()4f x x =--,x ∈R .
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期;
(Ⅱ)判定函数()f x 在区间ππ[,]66
-
上是否为增函数?并说明理由.
16.(本小题满分13分)
已知数列{}n a 满足25a =,且其前n 项和2n S pn n =-.
(Ⅰ)求p 的值和数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ)设数列{}n b 为等比数列,公比为p ,且其前n 项和n T 满足55T S <,求1b 的取值范
畴.
17.(本小题满分14分)
如图,在四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1⊥底面ABCD ,90BAD ∠=,BC AD //,且122A A AD BC ===,1AB =. 点E 在棱AB 上,平面1A EC 与棱11C D 相交于点F . (Ⅰ)求证:1A F ∥平面1B CE ;
(Ⅱ)求证: AC ⊥平面11CDD C ;
(Ⅲ)写出三棱锥11B A EF -体积的取值范畴. (结论不
要求证明)
18.(本小题满分13分) 最近,张师傅和李师傅要将家中闲置资金进行投资理财. 现有两种投资方案,且一年后投资盈亏的情形如下: B C A 1 D 1
D A B 1 C 1
E F
(1) 投资股市:
(2) 购买基金:
(Ⅰ)当2
p 时,求q 的值; (Ⅱ)已知“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小,求p 的取值范畴; (Ⅲ)已知张师傅和李师傅两人都选择了“购买基金”来进行投资,假设三种投资结果显现的可能性相同,求一年后他们两人中至少有一人获利的概率.
19.(本小题满分14分)
已知椭圆C :22
11612
x y +=的右焦点为F ,右顶点为A ,离心率为e ,点(,0)(4)P m m >满足条件||||
FA e AP =. (Ⅰ)求m 的值;
(Ⅱ)设过点F 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点,记PMF ?和PNF ?的面积分别为1S ,2S ,若122S S =,求直线l 的方程.
20.(本小题满分13分)
关于函数(),()f x g x ,假如它们的图象有公共点P ,且在点P 处的切线相同,则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切,称点P 为这两个函数的切点.
设函数2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.
(Ⅰ)当1a =-,0b =时, 判定函数()f x 和()g x 是否相切?并说明理由; (Ⅱ)已知a b =,0a >,且函数()f x 和()g x 相切,求切点P 的坐标;
(Ⅲ)设0a >,点P 的坐标为1(,1)e -,问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ,使得它们在点P 处相切?若点P 的坐标为2(e ,2)呢?(结论不要求证明)
北京市西城区2020 — 2020学年度第一学期期末
高三数学(文科)参考答案及评分标准 2020.1
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.B 2.B 3.A 4.C
5.B 6.D 7.A 8.D
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.2 10.2π3
11. 12.221416
x y -= 13.9 14.2-或4 (1,3]- 注:第12,14题第一问2分,第二问3分.
三、解答题:本大题共6小题,共80分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分.
15.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:因为2π()12sin ()
4f x x =-- πcos 2()4x =-
……………… 3分
sin 2x =, (5)
分 因此函数()f x 的最小正周期2ππ2T =
=. ……………… 7分 (Ⅱ)解:结论:函数()f x 在区间ππ[,]66-上是增函数. ……………… 9分
理由如下: 由ππ2π22π22k x k -
+≤≤, 解得ππππ44k x k -+≤≤, 因此函数()f x 的单调递增区间为ππ[π,π]44k k -+,()k ∈Z . ……………… 12分
当0=k 时,知)(x f 在区间ππ
[,]44
-上单调递增, 因此函数()f x 在区间ππ
[,]66
-上是增函数. ……………… 13分
16.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:由题意,得11S p =-,242S p =-,
因为 25a =,212S a a =+, 因此 24215S p p =-=-+,
解得 2p =. ……………… 3分
因此 2
2n S n n =-.
当2n ≥时,由1n n n a S S -=-, ……………… 5分 得 22(2)[2(1)(1)]43n a n n n n n =-----=-. ……………… 7分 验证知1n =时,1a 符合上式,
因此43n a n =-,*n ∈N . ……………… 8分
(Ⅱ)解:由(Ⅰ),得11(12)
(21)12
n n n b T b -=
=--. ……………… 10分
因为 55T S <,
因此 52
1(21)255b -<?-,
解得 145
31
b <
. ……………… 12分 又因为10b ≠,
因此1b 的取值范畴是45
(,0)(0,
)31
-∞. ……………… 13分
17.(本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:因为1111D C B A ABCD -是棱柱,
因此平面ABCD ∥平面1111A B C D .
又因为平面ABCD
平面1A ECF EC =, 平面1111A B C D 平面11A ECF A F =,
因此 1A F ∥CE . …………………3分 又 1A F ?平面1B CE ,CE ?平面1B CE ,
因此 1A F ∥平面1B CE . …………………6分
(Ⅱ)证明:在四边形ABCD 中,
因为 90BAD ∠=,BC AD //,且BC AD 2=,2AD =,1AB =,
因此 222112AC =+=,222112CD =+=.
因此 222AC CD AD +=,
因此 90ACD ∠=,即AC CD ⊥. …………………7分
因为 1A A ⊥平面ABCD AC ?,平面ABCD ,
因此 1A A AC ⊥.
因为在四棱柱1111D C B A ABCD -中,11//A A C C ,
因此 1C C AC ⊥. …………………9分 又因为 1,CD C C ?平面11CDD C ,1CD C C C =,
因此 AC ⊥平面11CDD C . …………………11分
(Ⅲ)解:三棱锥11B A EF -的体积的取值范畴是12[,]33
. …………………14分
18.(本小题满分13分) B C A 1 D 1
D A B 1 C 1
E F
(Ⅰ)解:因为“购买基金”后,投资结果只有“获利”、“不赔不赚”、“亏损”三种
且三种投资结果相互独立,
因此 p +13
+q =1. ……………… 2分
又因为 12
p , 因此 q =6
1. ……………… 3分
(Ⅱ)解:由“购买基金”亏损的概率比“投资股市”亏损的概率小, 得 38
q , ……………… 4分 因为 p +13
+q =1, 因此 2338q p ,解得 724p . ……………… 7分 又因为 113p
q ,0q ≥, 因此 23p ≤. 因此 7224
3p ≤. ……………… 8分 (Ⅲ)解:记事件A 为 “一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利”, ………… 9分
用a ,b ,c 分别表示一年后张师傅购买基金“获利”、“不赔不赚”、“亏损”,用x ,
y ,z 分别表示一年后李师傅购买基金“获利”
、“不赔不赚”、“亏损”, 则一年后张师傅和李师傅购买基金,所有可能的投资结果有339?=种, 它们是:(,)a x ,(,)a y ,(,)a z ,(,)b x ,(,)b y ,(,)b z ,(,)c x ,(,)c y ,(,)c z , ……………10分
因此事件A 的结果有5种,它们是:(,)a x ,(,)a y ,(,)a z ,(,)b x ,(,)c x .
…………… 11分
因此这一年后张师傅和李师傅两人中至少有一人获利的概率5()9P A =
. …………13分
19.(本小题满分14分)
(Ⅰ)解:因为椭圆C 的方程为 22
11612
x y +=, 因此 4a =
,b =
,2c ==, ………………2分
则 12
c e a =
=,||2FA =,||4AP m =-. ………………3分 因为 ||21||42FA AP m ==-, 因此 8m =. ………………5分
(Ⅱ)解:若直线l 的斜率不存在,则有 21S S =,不合题意. ………………6分
若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为)2(-=x k y ,),(11y x M ,),(22y x N .
由 ?????-==+),
2(,112162
2x k y y x 得 2222(43)1616480k x k x k +-+-=, ……………… 7分
可知 0>?恒成立,且 3
41622
21+=+k k x x ,3448162221+-=k k x x . ……………… 8分
因为PMF ?和PNF ?的面积分别为111||||2S PF y =
?,221||||2S PF y =?, 因此2||||2
12121=-==y y y y S S . ……………… 9分 即 212y y -=.
因此 221y y y -=+,2212221)(22y y y y y +-=-=, (11)
分
则 22121)]2()2([2)2()2(-+--=-?-x k x k x k x k ,
即 2212121)4(24)(2-+-=++-x x x x x x ,
即 222
2222)43
416(2434162344816-+-=++?-+-k k k k k k , 解得 25±=k . ……………… 13分
因此直线l 的方程为 )2(25-=x y 或 )2(2
5
--=x y . ……………… 14分 20.(本小题满分13分)
(Ⅰ)解:结论:当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………1分 理由如下:
由条件知2()f x x =-, 由()ln g x x =,得0x >,
又因为 ()2f x x '=-,1()g x x '=, …………………2分
因此当0x >时,()20f x x '=-<,1()0g x x '=>,
因此关于任意的0x >,()()f x g x ''≠.
当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …………………3分 (Ⅱ)解:若a b =,则()2f x ax a '=-,1()g x x
'=
, 设切点坐标为(,)s t ,其中0s >,
由题意,得 2ln as as s -=, ① 1
2as a s
-=, ② …………………4分 由②,得 1
(21)a s s =
-,
代入①,得 1
ln 21
s s s -=-. (*) (5)
分
因为 1
0(21)a s s =>-,且0s >,
因此 12
s >
. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--,1
(,)2
x ∈+∞, 则 2
(41)(1)
()(21)
x x F x x x ---'=-. …………………6分
令()0F x '= ,解得1x =或1
4
x =
(舍). …………………7分
当x 变化时,()F x '与()F x 的变化情形如下表所示,
…………………8分
因此当1x =时,()F x 取到最大值(1)0F =,且当1(,1)(1,)2x ∈+∞时()0F x <.
因此,当且仅当1x =时()0F x =.
因此方程(*)有且仅有一解1s =.
因此 ln 0t s ==,
因此切点P 的坐标为(1,0). …………………9分 (Ⅲ)解:当点P 的坐标为1(,1)e
-时,存在符合条件的函数()f x 和()g x ,使得它们在点P 处相切; …………………11分 当点P 的坐标为2(e ,2)时,不存在符合条件的函数()f x 和()g x ,使得它们在点P 处相
切. …………………13分
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