4章答案

习题

4.1求相干BPSK接收器连续工作一天出现的期望误比特数。已知数据速率为5000比特/秒，输入信号波形为s1(t)=Acosω0t和s2(t)=-Acosω0t，其中A=1mV，单边带噪声功率谱密度为N0=10-11W/Hz。假定信号功率和单位比特能量已经归一化到1Ω的单位负载上。 解; PB?Q(2EbN01x2?15000)?Q(ATN0x22)

这里Q(x)?exp(?2)

A?1mV,T?s,N0?10?11W/Hz

PB?Q(10?6?115000?10)?Q(20)?4.47Q

PB?140?e?10?4.05?10?6

一天中平均错误比特数=5000bit/s?86400s?4.05?10?6?1750bit

4.2假定相干BPSK系统连续工作一天平均产生100个错误。已知数据速率为1000比特/秒，

-10

单边带噪声功率谱密度为N0=10W/Hz。

（a）如果系统是各态遍历的，求平均误比特率。

（b）如果接收的平均信号功率调整到10-6W，则此接收功率能否使系统维持（a）中所得的错误概率？

解：（a）每天遍历的比特总数=1000bit/s?86400s?8.64?10bit

PB?1008.64?1077?1.16?10?6 2ST（b）PB?Q(?62EbN0)?Q(1100010?10)

这里S?10W,T?2?10?6s

PB?Q(1000?10?10)?Q(20)?4.47Q

4.3假定用误比特率作为衡量系统的主要性能指标，则以下两种调制方式中的哪种可选用于AWGN信道？列出计算过程。

Eb/N0=13dB的二进制非相干正交FSK

Eb/N0=8dB的二进制相干PSK 解：非相干BFSK:：Eb/N0?13dB?19.95

PB?12exp(?Eb/2N0)??512exp(?19.95/2)

PB?2.32?10

2EbN0相干BPSK：PB?Q(Eb/N0?8dB?6.31

)

PB?Q(2?6.31)?3.35Q?12??12.6exp(?12.6/2)?2.07?10?4

所以无法维持（a）中的错误概率，应选择非相干的BFSK。

4.4以DPSK调制方式发送比特流101010111101010100001111。给出能表示上述数据流的4种不同的差分编码序列，并说明产生每种序列的算法。

解：根据方程4.43 当是比特1时 1001100101001100111110101

当是比特0时 0110011010110011000001010 上一序列取反 根据方程4.44 当是比特1时 1100110000011001101011111 当是比特0时 0011001111100110010100000

4.5 （a）计算非相干正交二进制FSK系统所需的最小带宽。最高调制频率为1MHz，码元持续时间为1ms。

（b）求相同码元周期的非相干MFSK系统所需的最小带宽。 解：（a） f?f12??f?1T?110?3?1000Hz

B=2fm?f2?f1 最小带宽=

1T?2T=1kHz+2kHz=3kHz

M?1T?1??(M?1)???M?1 kHz T?T?2 （b） 非相干MFSK的最小带宽=

?4.6考虑发送波形为等概s1(t)=cosω0t和s2(t)=-cosω0t的BPSK系统。假定接收到的

Eb/N0=9.6dB，在同步性能良好时引起的误比特率为10-5。由于通过PLL恢复出的载波其相位估计中有固定的相位误差Ф，故参考信号可表示为cos(ω0t+Ф)和-cos(ω0t+Ф)。注意固定

的相位偏差产生的误差性能恶化程度可由本章中的关系式计算得到。但是，若相位误差是随机的，则计算它的误差性能下降程度需要用到统计方法。（见第10章） （a）当Ф=25°时，误比特率变化了多少？

-3

（b）多大的相位误差会使误比特率达到10？ 解：Ai(t)?2EbTicosw0t

Z(t)= A(t)+M a1?t??2T2Tb0?t?

dtTEb0tco0??t??sw?cosw0T =Eb?012?cos??cos(2wt??)?dt

0 =Ecos? a?t?= ?Ecos?

2b 当??0

a1和a2代表了匹配滤波器的信号响应，无相位失真。

P?Q?BN0?a1?a2?2 其中 ?0= ?22?0???? =Q?????Eb?Eb??2Eb?Q????2N02N02?2????Q????????2Eb? ??N0?当?不为0时

匹配滤波器的输出信号响应变为

a1?Ebcos?

a1??Ebcos?

（A） 当接收端出现相位错误，匹配滤波器信号响应为acos?和acos?

12此时，P?QB?2EbN0cos?

?因为EPB?QBN0=9.6dB=9.12 cos250=0.9063

?18.24?0.9063?Q?3.87?

?当X> 3IN Q（x）我们可以用近似值 PB?1X??x2???(3.87)2?1?3exp?exp?????5.8?10

22??2?3.872???b（B） 当?多大时，P=10?3?

?3PB?10?1X2???x2?ex?p?2??X?3.11525

2EbN0cos??3.11525

cos??3.11525?18.240.729567??43

o

4.7求相干匹配滤波器检测等概二进制FSK信号的误比特率PB。s1(t)=0.5cos2000πt，s2(t)=0.5cos2020πt，其中双边带AWGN信道的噪声功率谱密度为N0/2=0.0001。假定码元周期T=0.01s。 解：Eb?ST?1Eb1EbT02?0.5?2?0.01??0.00125

?????1?t??2?t?dt

?T00.5cos?2?1000t?0.5?2?1010t?dt

?0.250.00125?0.01012?cos2?10t?cos2?2010t?dt

0.01?sin2?10tsin2?2010t??100???20?4020???0

???0.935?0.005??0.94

?PB?Q????Eb?1??????Q???N0??0.00125?0.06??? ?0.0002? ?Q?0.161? 2PB?0.27

如果是连续正交双边带信号，频率由10Hz变为20Hz，那么误差也会大大增加。

4.8在AWGN信道中，采用图4.7b的相关接收机检测等概信号 s1(t)?s2(t)?122ETcos?0t和

ETcos(?0t??) ，求最优（具有最小错误率）门限值γ0。假定参考信号为

?1(t)?2Tcos?0t 。

解：

S1?t??S2?t??2ETcos?0tE2Tcos??0t???

由公式（4.21）到（4.23），我们可以使用基函数?1?t??2Tcos?0t描述这些波形。

?1?t???2?t??12E?1?t?

E?1?t?

?0?a1?a22??1E????22?E???E4

?0?

E2 4.9 在AWGN信道上，系统采用匹配滤波器检测等概BPSK信号，s1(t)?122ETcos?0t

和s2(t)?ETcos(?0t??)，接收信号的Eb/N0为6.8dB。假定E?z(T)???E。

（a）求上述信号集在已知的Eb/N0下最小误比特率。 （b）已知判决门限为??0.1E，求PB。

（c）最优门限值??0.1E是在特定的先验概率P(s1)和P(s2)下得到的，试求P(s1)和P(s2)。

?解：(a) PB?Q???2Eb?? N0??EbN0?6.8dB?4.786

PB?Q?2?4.786?Q?3.09?

??3由表B.1 PB?10

(b)

PB?112?0.1E??p?z|R1?dz?112??0.1Ep?z|R2?dz??20.1E???02??1?z?E??dzexp??????2??2??0????

2??1?11?z?E??dz??exp??????0.12?02??2??0????

令 u1?z?E;?0du1?dz ，令u2?0.9Ez?E?0?0u122;?0du2?dz

u222PB?1?2??012???e?du1?1?2?12?1.1Ee?du2

?0由对称高斯公式

??x??e?u22du??1?xe?u22du，得：

2Eb?1?2Eb?Q?1.1??N0?N0?2?? ????PB?Q?0.92??EbN0?6.8dB?4.786

PB?12Q?0.9?3.09??12Q?1.1?3.09?

PB???121212Q?0.9?3.09??121212Q?1.1?3.09?Q?2.78??Q?3.4?

?0.0027???0.0003??3?1.4?10 (c) 由公式（8.8）到（8.12）

p?g|S1??P?S2?p?g|S2??P?S1?H2H1z?a1?a2??02??a1?a222??2?02?P?S2??ln??

PS???1??H2H1z2EN2????P?S2??ln??PS???H10H2P1B?2Q(0.9E?)?1(1.1E

02Q?)0因为E?EN0b，?20?2

PB?12Eb2Q(0.9N)?1(1.12Eb02QN)0EbN?6.8dB?4.786

0P11B?2Q(0.9?3.09)?2Q(1.1?3.09)PB?12Q(2.78)?12Q(3.4)

?12(0.0027)?12(0.0003) ?1.4?10?3

从等式8.8到8.12

H1p(z|s1)?p(s2)p(z|s2)?p(s1)

H2H1z(a1?a2)?(s2)?2

0?ln[PP(sH1)]2H1z(2E)?(s2)N02?ln[PP(s]

H1)2?1?

H1zH22ln[P(s2)]??

P(s1)?2EN04EP(s2)P(s1)?N0??0.1E?ln[]

ln[P(s2)P(s1)]?0.4EN0?0.4?4.786?1.914

P(s2)1?P(s2)?exp(1.914)?6.782

P(s2)?6.782?6.782P(s2) P(s2)?6.7827.782?0.87

P(s1)?1?P(s2)?0.13

4.10 （a）描述检测图P4.1所示离散信号的匹配滤波器的冲激响应。画出滤波器在此输入信

号下，输出的信号函数。忽略噪声的影响，最大输出值是多少？

图P4.1

（b）在匹配滤波器（MF）中，信号与信号的时间反转函数相卷积，得到匹配滤波器的冲激响应。卷积运算中时间反转函数再进行一次反转，这样通过MF就得到信号和它本身的相关（虽然认为MF是卷积运算）。假设实现MF时，我们设计的电路是为了获得信号和它时间反转函数的相关，画出其输出的时间函数，并求最大输出值。注意（a）中最大输出发生的时刻和（b）中是不一样的。

（c）观察（b）错误电路的滤波器输出值，并与（a）的正确值比较，你能找出预测输出序列是有效的匹配滤波器输出的依据吗？

（d）如果信号中加入噪声，比较相关器和卷积器的信噪比。然后在输入仅有噪声的情况下比较相关器和卷积器的信噪比。

解：（a）

匹配滤波器被定义为是冲击响应好h（t）是一个时间轴可翻转，并根据输入信号的延时而延

时的相匹配的滤波器。因此，对于一个接收到的忽略了噪声信号的信号s(t),冲击响应h(t)的形式是h(t)=s(T-t),这里，T是信号波形匹配的时间。为了让滤波器可以实现，输出也必须延时整个输入信号被接收的时间T。如图4.1中的离散信号波形，被分析性地描述为

s(k)?0?(0)?10?(1)?20?(2)?30?(3)。因为信号s(k)的延时是三倍的时间间隔，我们

现在用离散的形式重现和s(k)匹配的滤波器的脉冲响应

h(k)?s(3?k)?0?(3?0)?10?(3?1)?20?(3?2)?30?(3?3)

?30?(0)?20?(1)?10?(2)?0?(3)

对于连续波形，它的形式是z(t)?s(t)*h(t)??t0s(?)h(t??)d?当滤波器是匹配滤波器时，卷积积分如下

h?t????s?T??t?????s?T?t??? 且 z?t???s???s?T?t???d?

0t在积分时，时间t相当于一个常量，我们对虚拟变量?做积分。这个卷积表示了在匹配滤波器检测过程中的第二个时间反转步骤。对z?t?在t?T时刻进行采样，我们得到与检测信号z?T??卷积的离散形式可以被写成

?s???s???d?0T。噪声已被忽略。

z?k??s?k??h?k??在这个问题中，对匹配滤波器来说

?s?n?h?k?n?

n?0N?1h?k??s?3?k??30??0??20??1??10??2??0??3?

并且在卷积和里

h?k?n??s?3?(k?n)??s(3?k?n)c

所以，

z?k???s?n?s?n??3?k??

n?0N?1我们重申：这个卷积代表了在匹配滤波器检测过程中的第二个时间反转。所以假如当我们画出s?n??3?k??在k=0和k=1的点时，我们能识别出这个反转手段导致函数s?n?3?和函数s?n?2?（如下所示）与输入s?k?有一个相似的外形。

我们为了画出输出z?k?我们需要计算一些点。其中k表示输入和输出时间，n是虚拟时间变量。 z?k???s?n?s?n??3?k??

n?0N?1

当k=0时：

z?0??s?0?s?3??s?1?s?4????0

当k=1时：z当k=2时：z当k=3时：z当k=4时：z当k=5时：z?1??s?0?s?2??s?1?s?3??s?2?s?4????300?2??s?0?s?1??s?1?s?2??s?2?s?3??s?3?s?4????800?3??s?0?s?0??s?1?s?1??s?2?s?2??s?3?s?3????1400?4??s?1?s?0??s?2?s?1??s?3?s?2????800

?5??s?2?s?0??s?3?s?1??s?4?s?2????300

?6??s?3?s?0??s?4?s?1????0

当k=6时：z下面是z?k?—k图，最大输出值是1400。

（b）

一个相关器和卷积器的表达式是如此相似以致于很容易混淆这两种函数。 卷积和相关过程如下：

卷积：

z?k???s?k?h?kn?0?N?1?n?

相关：

z?k???s?k?h?k?n?

n?0N?1观察这两函数之间的不同，通过检查和的虚拟变量“n”可以看出变量n指向所有数据样值和在所有系数（包含系数样值，这些系数样值将会与被选择的数据样本共同作用）中的位置。如下是一张说明这种绘图的表。我

们开始时将数据指针指向地址“k”。然后分别在过去时刻?k?n?和未来时刻?k?n?对数据样值指针进行补偿。

当我们逐渐减少数据指针一直到过去的样值时（与地址“k”相关），我们完成了卷积。当我们逐步增加数据指针到未来样值（与地址“k”相关）时我们完成了相关。

假如我们偶然的建立了一个电路。该电路使信号和它自己的时间反转信号进行卷积，输出将这种卷积的形式：

z?k???s?k?h?k?n?。就这个例子来说，输入序列是：

n?0?N?1sk??0??0??10??1??20??2??30?(3)并且时间反转序列是：s

z(t)计算如下：

k=0时：z(0)=s(0)s(0)+...=0

k=1时：z(1)=s(1)s(0)+s(0)s(1)+...=0 k=2时：z(2)=s(2)s(0)+s(1)s(1)+...=100

??k??30???3??20???2??10???1??0?(0)

k=3时：z(3)=s(3)s(0)+s(2)s(1)+s(1)s(2)+...=400

k=4时：z(4)=s(4)s(0)+s(3)s(1)+s(2)s(2)+s(1)s(3)+...=1000 k=5时：z(5)=s(5)s(0)+s(4)s(1)+s(3)s(2)+s(2)s(3)+...=1200 k=6时：z(6)=s(3)s(3)+...=900

(c) 一个有效的匹配滤波器具有对称性。在上述(b)部分中，我们发现卷积器不具有对称性。

(d)在峰值点，相关器的信噪比通常比卷积器的信噪比高。使用匹配滤波器是在加性高斯白噪声中检测信号的最佳方法。如果输入仅由噪声构成，那么两个输出是相同的。

有关卷积与相关的差异有一些其它想法。两序列x(n)和h(n)的卷积被描述成连续加重加法，其形成过程如下。一个序列x(n)翻转产生一个新序列x(-n)。然后这个新序列移动k个单位，得到序列x(k-n)。这个时间翻转移动序列与第二个序列h(n)逐点相乘得到一新序列x(k-n)h(n)。结果相加，而求和代表两序列关于偏移量k的卷积值。卷积在正负偏移量k下均可得到。

两序列x(n)和h(n)的相关被描述成连续加重加法，其形成过程如下。一个序列x(n)移动k个单位，得到序列x(k+n)。这一时间移动序列与第二个序列h(n)逐点相乘得到一新序列x(k+n)h(n)。结果相加，而求和代表两序列关于偏移量k的相关值。相关在正负偏移量k下均可得到。

我们发现两运算卷积与相关的差异在于，对于卷积，一个序列在连续加重求和前进行时间翻转，而对于相关，连续加重求和没有执行时间翻转。

在这两种情况下，变化的序列可以看作是转移到了足够远的左边（在时间的负方向上），因此两个序列不会重叠。把转移的序列移到右边进行加权求和作为偏移参数K后产生的效果。

通常，卷积和表示0到N上的累加。这样的限制约束着这两个序列都是从n=0开始的因果序列。

相关和表示从-N到+N上的求和。这样的限制约束着这两个序列都是从-N/2开始扩展到+N/2上的非因果序列。这里的时间起点被认为是任意的，用来表示这样的偏移使两个相同的序列的乘积和达到最大值。

我们可以通过假设两个序列都是因果的，设定变化的序列的时间起点来比较卷积器和相关器这两个过程的差异。想像一个会动的小人在一个静止的平面上推动一个变化的序列。当他推动序列时必须站在一个领先的位置，通常是时间零点。所以如果序列在时间的反方向上，他就要拉序列，如果序列在时间的正方向上，他就要推序列。

4.11在AWGN信道上，一个等概的二进制信号源控制了发送端的发送开关，如图P4.2所示。双边带噪声功率谱密度为N0/2，假定发送信号为对极信号，周期为T秒，能量为E焦耳。系统时钟每T秒产生一个时钟脉冲，因此二进制信号源速率为1/T比特/秒。一般情况下，二进制信号源产生0时开关向上切换，产生1时向下切换。但由于出现故障，T秒间隔内切换发生错误的概率为p。任意两个间隔内出现切换错误是相互独立的。E?z(T)???E

？

图P4.2

（a）绘出条件概率函数p(z|s1)和p(z|s2)。

（b）相关接收器在时间间隔（0,T）内观察r(t)。当已知切换错误概率为p时，画出使误比特率最小的最优接收器的框图。

（c）你会选择以下两个系统中的哪一个？ p=0.1 和Eb/N0＝∞ 和p=0 和Eb/N0＝7dB 解：（a）for p<1/2

P(z|s1)?EE(T)P(z|s2)?EE(T)

P(z|s1)=(p)p(z|s2)+(1-p)p(z|s1)

P(z|s2)=(1-p)p(z|s2)+(p)p(z|s1)

(b)

r(t)?Ψ(t)T0>0

EbN0??，pb?0.1

当p>0.5时判决逻辑相反 P=0以及

EbN0?7dB

pB??Q???2Eb??，pB?Q?3.167??8?10?4 N0??则后一种系统较好

4.12

（a）考虑误码率PE＝10-5的16进制PSK系统，采用格雷码指定码元各比特位，求近似的误比特率。

（b）重复（a）求16进制正交FSK系统。 解：（a）pB?pEk2k?10?54?2.5?10?6

k?1(b) pB? ?

2?1815(pE)??52432?1pE

?10?5.3?10?6

4.13 考虑M＝8的相干正交MFSK系统，其等概发送波形为si(t)=Acos2πfit，i=1,…,M，0≤t≤T，其中T＝0.02ms，载波幅度A=1mV，AWGN信道的双边带噪声功率谱密度为N0/2=10W/Hz。计算误比特率PB。 解：pB?(m?1)Q????Es?? N0??-11

Es?A22T?(10?3)2210?0.2?10?10?11?3?10?10

pE??(8?1)Q???2?10???7Q(2.236) ??根据表格B.1，pE?7?0.0127?8.89?10?2 pB?

4.14 采用相干MPSK调制方式在AWGN信道上以100k比特/秒的速率传送数据，系统误比特率PB＝10-3，系统带宽50kHz。假设系统频域传输函数是滚降因子r=1的升余弦函数，并采用格雷码指定码元各比特位。 （a）已知PB，求所需的Es/N0。 （b）求所需的Eb/N0。

解：滚降因子r=1，则 WDSB?(1?r)Rs 50kHz?2Rs，Rs?25ksymbols k?logM?RRs?100kbitss25ksymbolsss

2kk?12?1pE?2322?1pE?47pE?5?10?2

2?4

?M?16 当使用格雷码时，pB?pElog2M

pE?(log2M)pE?4?10?3

pE???2Q??????2Es????3?sin()??4?10 Nc?M????3Q(x)?2?10

根据表格B.1，x=2.88

????2Es???sin()?2.88?N0?M2EsN0?2.88sin(

?16?)2.880.19509

?14.7EbN0?108.9k?108.44?27.2?14.3dB

4.15 在AWGN信道下的相干MPSK系统，已知Eb/N0＝10dB，发送信号为M=8的等概码元，求系统的误码率。 解：pE???2Q??????2Es??sin(Nc???)? 2M??????2Q?60sin(82??2Q?)? ??60(0.2741)?2Q(2.123)

?查表B.1得，pE?2?0.169?3.38?10?2

4.16 将误比特率作为衡量一个系统的主要性能指标，以下哪种调制方式适用于AWGN信道下的信息传输？

8进制相干正交FSK Eb/N0＝8dB 以及

8进制相干PSK Eb/N0＝13dB （采用格雷码指定码元各比特位，写出计算过程） 解：相干 8-ary FSK :

EbN0=8db=6.31

PE(M)=(M-1)Q(ES/NO), ES/NO=k Eb/NO=3×6.31=18.93 PE(M)=7Q(18.93)=7Q

≈

2

14.352π2

kk-1

exp(-474.352

)=4.98×10-5

PB=

2?1

PE= PE=2.85?10?5

EbN0

相干 8-ary PSK : =13db?20

ES/NO= k Eb/NO=3?20?60

PE(M)=2Q[(

2ESNO)sin(

?M)]=2Q[120sin(

?8)]

=2Q(10.954?0.383)=2Q(4.192)

?24.1922?exp[-

(4.192)22]=2.9?10?5

PB?

?

PEk?9.7?10?6

选择相干8PSK

4.17 假设BPSK解调/检测器有偏差为pT的同步误差，p是码元周期T的一个小数因子（0≤p≤1），也就是说，码元检测起始偏早(晚)从而结束偏早(晚)的时间为pT。已知信号等概，频率和相位同步良好。注意一个固定的偏差带来的误差性能降低程度可由本章提供的关系式计算得到。但是，若相位误差是随机的，则计算它的性能下降程度要用到统计方法。（见第10章）

（a） 用关于p的函数来给出误比特率Pb的一般表达式。

（b） 如果接收信号Eb/N0＝9.6dB，p=0.2，根据时间偏移求Pb的变化值。

（c） 如果不补偿上例的时偏，需要提供多少dB额外的Eb/N0来维持p=0时的Pb。

解：(a) 一个码元检测起始偏早（晚），以及结束偏早（晚）的时间延迟PT

2EbNO2Tcosw1(t)

A1(t)= a1(T)=

cosw1(t)

?T0 y1(T)=a1(T)+no(T)

2EbT?T0cos2w1(t)dt

For the received waveform sequence, asumme that A1(t) is followed by A2(t)=-

2EbNO2EbTcosw1(t). Therefore, for the detection late by an amount Pt.

T?PTa1(T)=

[?cosw1tdt+?2pTTT?cosw1tdt]

2

=

EbT[T-T-(T+Pt-T)]=Eb (1-2p)

If A2(t) had been transmitted followed by A1(t), Then a2(T)=-Eb(1-2p)

Assume that 1/2 the time, A1(t) is followed by A2(t), and 1/2 the time, A1(t) is followed by A1(t), then PB =

(b) 当p?0，和

2EbN0EbN0?9.6dB

12Q(

2EbNO)+

12Q[

2EbNO(1-2p)]

PB?Q()?Q(4.27)?10?5

当p?0.2

PB?1212Q(2EbN0?5?)?Q?2??1122EbN0?(1?2P)?

??

??10??3Q(4.27?0.6)

?2.6?10?PB?Q?（c）2??12Eb?1???Q?N0??2??2EbN0??1?2p????

通过反复试验，我们可以得出

EbN0?23.56?或13.7dB?

这就意味着需要提供额外的4.1dB的信噪比，才可以维持p?0时的误比特率

PB?10?5。

EbN0?23.56

检验一下反复测验的的结果

PB?12Q(2?23.56)?12Q?2?23.56?0.6?

?12Q?6.865??1212Q?6.865?0.6??5 ?1.7?10?12??10?5?2?10?

4.18 所有条件同上例，以相干二进制移频键控（BFSK）调制方式为例重新求解题4.17。 解：

2Tcos?1t ?A1?t??2EbTcos?1t??a1?t??n0?t? ?2Tcos?2t?a1?t??2TT2?Eb?cos?1tdt????T??TTcos?1tcos?2tdt??? ??2TT??T?Eb?cos?1tcos?2tdt???T?T??TT2cos?2tdt???

Eb?1?2p?对a2?t?有相似的结果。

当p?0：

PB?Q????Eb???QN0???9.12?Q?3.02??1.3?10??3

当p?0.2：

PB?1?Q?2??Eb?1???Q?N0???2?EbN0

?1?2p???? ???1212?Q?3.02??Q?3.02?0.6???1.3?10?2?3?3.5?10?2?

?1.8?10 为维持PB?1.3?10?3,必须提供额外的Eb/N0。

PB?1.3?10?3 则有

??Q?2??1Eb?1???Q?N0??2??EbN0??0.6???

通过反复试验法，求得

4.19 假设BPSK解调/检测器有偏差为pT的同步误差，p是码元周期T的一个小数因子（0≤p≤1）。同时又有相位估计误差常量φ。已知信号等概且具有良好的频率同步。 （a） 用p和φ的函数给出误比特率Pb的一般表达式。

（b） 如果接收信号Eb/N0＝9.6dB，p=0.2，φ=25°，根据定时误差和相位偏移求Pb的值。 （c） 如果不补偿上例的偏差，需要提供多少dB额外的Eb/N0来维持p=0和φ=0°时的Pb值。 解：(a) PB?1?Q?2??12EbN0?21.8?即13.4d?B，即信噪比Eb/N0增加了3.8dB。

2EbN0?1?cos???Q??2???122EbN0?cos??1?2p????

(b) PB??Q?4.27?0.906??Q?4.27?0.906?0.6?

1212Q?3.869???512Q?2.321? ??5.79?10??1?0.0102?

2?3?5.1?10(c) 为了维持PB?10?5，需要提供额外的误码率Eb/N0。

PB?10?5?1?Q?2??2EbN02EbN0?1?0.906??Q??2???2EbN0?0.544???

2?10?5??Q????21?x/20.544??e?x2????2EbN0

通过反复试验法，解得x???因此，

EbN0?0.544??4.119??

?28.66?14.6dB，比9.6dB增加了5dB

4.20 对已知的巴克码（Barker）序列进行相关是一种常用的同步技术，因为巴克码序列在正确同步时会产生明显的相关峰值，而未同步时只获得很小的相关输出。使用10111这种短的巴克码，最左端为第一个比特位，设计一个与图4.10相似的离散匹配滤波器与该序列匹配。当输入序列为10111，画出输入输出的时间函数并比较，从中了解这种技术对同步的有效性。

解：4．20 对这个离散匹配滤波器，需要指出的是：当输入信号是二进制逻辑符号（1，0），符号?代表一个独立异或门。当输入信号是双极性波形时，此符号代表波形相乘。

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