8寒-函数综合复习（学生版）-朱俊

初中数学 备课组 日期 教师 上课时间 班级 初三 学生 教学内容：函数综合复习 知识精要 一、函数 1.变量与常量 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做变量，保持数值不变的量叫做常量。 函数的定义 2.定义：在某个变化过程中有两个变量x和y，如果在x的允许取值范围内，变量y随着x的变化而变化，它们存在确定的依赖关系，那么变量y叫做变量x的函数，x叫做自变量。 3.函数的定义域与函数值 函数的自变量允许取值的范围叫做这个函数的定义域。 如果y是x的函数，那么对于x在定义域内取定的一个值a，变量y的对应值叫做当x?a时的函数值。 符号“y?f(x)”表示y是x的函数，f表示y随x变化而变化的规律。 例题解析 例1：下列两个变量之间存在函数关系（ ） ① 圆的面积S与圆的周长C； ②等腰三角形的周长L与它的底边长a； ③2x?3y?1； ④三角形的一个内角?与它的内角和为180 ?A、1个； B、2个； C、3个； D、4个 例2：求下列函数的定义域 (1)y?2x; (2)y?2?2x?6 x?5(3)y? x?13?x（4）y?； 5xx?1例3：已知x?5y?2 3y?4

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（1） 将它改写成y?f?x?的形式；（2）求：x的取值范围；（3）求：f??3?,f?2? 课后练习 1.已知：f?x??2.函数y?x?1，则f?2?= ； 3x?21的定义域是 x3?8y?23.将3x?1?化为y?f?x?的形式是 x4.下列各式中，y是x的函数是（ ） A、x?y?1； B、y?x； C、x?y； D、y??x 5、求下列函数的定义域。 （1）y?22223x?11 （2）y?2 x?2x?2x?2（3）y? x1 （4）y?1?3x? 33?x2x?3二：正比例函数 1、正比例：如果两个变量的每一组对应值的比值都是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成正比例.用数学式子表示两个变量x和y成正比例，就是常数. y?k，或表示为y?kx，其中k是不等于零的x 例题解析 例1：试判断下列两个变量之间是否成正比例关系 （1）除数一定时，被除数与商； （2）长方形面积一定时，它的长和宽； （3）圆柱体的底面积一定时，它的体积与高； （4）等腰三角形的底边一定时，它的周长与腰长

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2、正比例函数 （1）、概念：解析式形如y?kx(k?0)的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 （2）、定义域：一切实数 （3）、解析式的求法：待定系数法（只需一组非零的对应值或已知经过一个点的坐标） （4）、图像（直线）的画法：两点法：（0，0）和（1，k） （5）、性质：（1）当k＞0，直线经过第一、三象限，y随x的增大而增大； （2）当k＜0，直线经过第二、四象限，y随x的增大而减小。 例题解析 例1、下列函数中，哪些是正比例函数？为什么？ (1)y??xx2; (2)y?; (3)y=3-x; (4)y?2x （5）y?kx 55 例2：已知y是x的正比例函数，当x＝2时，y?1，求当x＝－3时的函数值。 2 例3：已知y=(k-1)x+k2-1是正比例函数，求k的值并画出图像； 例4.已知y-1与2x成正比例，当x=-1时，y=5,求y与x的函数解析式。 巩固练习： 1．下列关系中的两个量成正比例的是（ ） A．从甲地到乙地，所用的时间和速度； B．正方形的面积与边长 C．买同样的作业本所要的钱数和作业本的数量； D．人的体重与身高

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2．下列函数中，y是x的正比例函数的是（ ） A．y=4x+1 B．y=2x C．y=-5x D．y=x 23．下列说法中不成立的是（ ） A．在y=3x-1中y+1与x成正比例； B．在y=-x中y与x成正比例 2 C．在y=2（x+1）中y与x+1成正比例； D．在y=x+3中y与x成正比例 4．若函数y=（2m+6）x2+（1-m）x是正比例函数，则m的值是（ ） A．m=-3 B．m=1 C．m=3 D．m>-3 5．已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2?的大小关系是（ ） A．y1>y2 B．y10——与y轴交与正半轴；b=0——交于原点； b<0——与y轴交于负半轴； （2）k的作用： （Ⅰ）决定一次函数的增减性：k>0——y随x增大而增大；k<0——y随x增大而减小。 （Ⅱ）决定一次函数的经过的象限：k>0——始终经过一、三象限；k<0——始终经过二、四象限； （Ⅲ）决定函数的大致走向：k>0——图象从左下到右上逐渐上升；k<0——图象从左上到右下逐渐递减； 4、直线的位置关系： （1）若k1≠k2时，两直线相交；

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b，0）。 k

（2）若k1=k2，且b1≠b2时，两直线平行； 5、直线的平移： （1）上下平移：上加下减，直接在b后面进行加减 ★（2）左右平移：左加右减，在x后面进行加减， 6、待定系数法求一次函数的解析式： （1）设函数的解析式为：y=kx+b（k、b是常数，k≠0）； （2）由已知条件得出关于k、b的二元一次方程组； （3）解出k、b的值； （4）把k、b的值代入y=kx+b，得到一次函数的关系式。 7、比较两个函数值的大小： 方法点拨：（1）根据函数的表达式列出不等式，求出自变量的取值范围； （2）根据图象，一个函数图象在另一个函数图象的上方，则该函数对应的值就比另一个函数值大，对应的取x的范围即可。 ★例题分析 1、已知一次函数y?(2m?1)x?(n?3),求: ① 当m为何值时,y的值随x的增大而增大; ② 当n为何值时,此一次函数也是正比例函数; ③ 若m?1,n?2,求函数图像与x轴和y轴的交点坐标; ④ 若m?1,n?2,写出函数关系式,画出图像,根据图像求x取什么值时,y?0. 2．已知一个一次函数，当自变量x=2时，函数值y=-1；当x=1时，y?出当x=0时，y的值； 3、求一次函数y1??3x?1、y2?2x?4图像的交点坐标及当x取何值时，y1?y2；

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1。求这个函数解析式，并求2

14、已知一次函数y=kx+b的图象经过点(-1, -5)，且与正比例函数y= x的图象相交于点(2,a)，求 2（1）a的值；（2）k，b的值． 5.如图，在下面图像中，不可能是关于x的一次函数y?mx??m?3?的图像是（ ） yyyyOxOxOxOx A B C D 6．已知直线y=2x与直线y=kx+3互相平行，则k的值为（ ） A、-2； B、2； C、?2； D、无法确定k的值； 7．A、B、C、D四市经济协作，沿海地区A、B两市分别把库存某种机器12台和6台，支援西部C市10台、D市8台。从A市运一台机器到C市、D市运费分别为400元和800元，从B市运一台机器到C市、D市的运费分别为300元和500元。 1) 设从A市运往C市x台机器，写出总费用y(元)和x(台)之间的函数关系式及自变量x的取值范围； 2) 如何安排调运可使运费最低，此时总费用为多少？ 3) 如果要求总运费不超过9000元，有几种调运方案？

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巩固练习 1、已知一次函数y?(k?1)x+3,则k= . 2．点?x1,y1?、?x2,y2?和?x3,y3?在直线y??2x?b上，且x1?x2?x3．则y1、y2和y3的大小关系是（ ） A. y1?y2?y3 B. y3?y2?y1 C. y2?y3?y1 D. y2?y1?y3 3．直线m：y?kx?b和n：y?bx?k的大致图像是（ ） mAyOnxnBymOxnCDOxmyynOxkm 4. 某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制定了每月每户用水的收费标准：①当用水量不超过8立方米时，每立方米收费0.8元，并加收每立方米0.2元的污水处理费；②当用水量超过8立方米时，则在①的基础上，超过8立方米的部分，每立方米收费1.6元，并加收每立方米0.4元的污水处理费．设某户一个月的用水量为x立方米，应交水费y元． （1）当某户一个月的用水量超过8立方米时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域； （2）如果某户今年4月份应交水费为28元，求该户4月份的用水量为多少立方米？ 5.已知直线y??3x?1和x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限内作等边△ABC。3 7

如果第一象限内有一点P（m, 1）,且S?ABP?S?ABC，求m的值。 2 考点三：反比例函数 1．反比例：如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例 例1.下列关系中，y与x成反比例的是（ ） A、正方形的面积y与它的边长x B、矩形的周长一定，它的长x和宽y C、匀速直线运动中，路程y与时间x D、被除数一定，除数y与商x 2.反比例函数 （1）．反比例函数：y?k (k?0) k为常数。其定义域是x?0的一切实数 x（2）、解析式的求法：待定系数法（同上） （3）、图像（双曲线）的画法：描点法（多个点） （4）、性质： ①当k＞0，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小； ②当k＜0，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。 ③双曲线的两支都无限地接近x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。 （5）反比例函数的面积不变性.即过反比例函数y?k（k?0）上任意一点(x,y)分别向x轴和y轴x做垂线，则这两条垂线与两条坐标轴围成一个矩形，其中一个顶点为坐标原点(0,0)，那么这个矩形的面积就是xy?k.由于k是个定值，则不论这个点在函数图像的任何位置，所围成的矩形的面积也是个定值，就是k. （6）对称性： ①反比例函数即是中心对称图形，对称中心为坐标原点；同时也是轴对称图形，对称轴为直线y?x（当k?0时）或直线y??x（当k?0时）； ②反比例函数的图象关于原点中心对称，故反比例函数与正比例函数的交点也关于原点对称．

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★例题分析 1、已知反比例函数y?m?5的图象在第二、四象限，则m的取值范围是（ ） xA、m?5 B、m?5 C、m?5 Dm?5 k2的图象都经过点（2，1），则k1,k2的值分别为 （ ） x1111 A、k1?,k2?2 B、k1?2,k2? C、k1?2,k2?2 D、k1?,k2? 2222k 3、已知点P是反比例函数y??k?0?的图象上任一点，过P点分别作X轴、Y轴的平行线，若两x 2、已知正比例函数y1?k1x和反比例函数y?平行线与坐标轴围成矩形的面积为2，则K的值为 （ ） A、2 B、-2 C、?2 D、4 4.若ab?0，则正比例函数y?ax与反比例函数y? 5、已知反比例函数y?y O A． x O B． y x O C． b在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） xy x O D． y x k的图象经过点(m,3m)，则此反比例函数的图象在（ ） xA、第一、二象限 B、第一、三象限 C、第二、四象限期 D、第三、四象限 6、若点（-1，5）是反比例函数y?k图象上一点，则k= ； x7．（08年）若反比例函数y??x1?x2k(k?0)的函数图像过点P?x1,y1?,T?x2,y2?,Q?x3,y3? x“＝”、“＜”）． ?0?x3?则y1,y2,y3之间的关系是 （选择填“＞” 、k(k?0)的图象在第一、三象限，则直线y?kx?2不经过第 象限。 xk39、在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y?的图象与y?的图象关于Y轴对称，又与直线xx8、若反比例函数y?y?ax?2交于点A（m，3），试确定k，a的值。 10.已知：在矩形AOBC中，OB?4,0A?3,分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立 9

如图所示的平面直角坐标系。F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比k例函数y??k?0?的图像与AC边交于点E。（1）求出满足题意的k的取值范围；（2）记x（3）是否存在这样的实数k，使△OEF与△ECFS?S△OEF?S△ECF,求S关于k的函数解析式；面积相等？若存在，求出点F的坐标；若不存在，说明理由。 课后练习 1、已知函数y?(k2?k)xk2?k?3中，当k= 时是反比例函数 的图像的两个分支在二、四象限，m的值为 2、反比例函数y?(m?)x23m2?2 3、若y与成正比例，x与z成正比例，那么y与z成 比例 4、设反比例函数为y?1x?3，则当3?x?6时，函数的最小值为 x 5、下列四个函数中，当自变量x(x?0)的值增大时，函数y的值也随着增大的函数是（ ） A.y=883 B.y=- C.y=-x D.y=-0.1x xx216、正比例函数y?kx(k?0)与反比例函数y?的图像相交于A、C两点，过A作x轴的垂线交xx轴于B，连结BC，若△ABC的面积为S，则下列说法正确的是（ ） A.S△AOB>S△BOC B.S△AOB

★9：（2007年）如图，在直角坐标平面内，函数y?m（x?0，的图象经过A(1，4)，B(a，b)，m是常数）x其中a?1．过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD，DC，CB． y （1）若△ABD的面积为4，求点B的坐标； （2）求证：DC∥AB； （3）当AD?BC时，求直线AB的函数解析式． 家庭作业： 一、选择题 1. 下列命题中正确的有（ ） ① 函数y?3x(2≤x≤5)的图像是一条直线； ② 若y与?3z成反比例，z与x成正比例，则y与x成反比例； ③ 如果一条双曲线经过点(?a，b)，那么它一定同时经过点(?b，a)； ④ 如果P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，是双曲线y??A D B O C x 4同一分支上的两点，那么当x1>x2时，y1>y2。 xA. 1个； B. 2个； C. 3个； D. 4个. 2. 已知点M (－2，3 )在双曲线y?A. (3，-2 )； k上，则下列各点一定在该双曲线上的是 （ ） x D. (3，2). B. (-2，-3 )； C. (2，3 )； m2?2m?13.若点(3，4)是反比例函数y?图像上一点，则此函数图像必经过点 ( ) xA. (3，－4)； B. (2，－6)； C. (4，－3)； D. (2，6). 4. 已知点A(x1，y1)、B(x2，y2)是反比例函数y?k(k?0)图像上的两点，若x1?0?x2，则有 ( ) xA. y1?0?y2； B.y2?0?y1； C.y1?y2?0； D. y2?y1?0. 5.在同一坐标系中，y?ax?b和y?ab的大致图像是 ( ) x 11

6．函数y?kx?1中，当k?0时，函数图像不经过的象限为 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7.直线y?(1?3k2)x?(2k?2)与已知直线y??2x?1平行，且不经过第三象限，那么k的值为（ ） A. k=1 B. k=-1 C. k=±1 D. -1

后的8分钟内既进水又出水，得到水量y(升)与时间x(分钟)之间的关系如图所示。问： 1) 每分钟进水多少升？ 2) 4?x?12时，y与x之间的关系式； 3) 若x>12时，只放水，不进水，多少分钟可以把水放完？ 4) 写出x>12时，y与x之间的关系式；

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