第二章 随机变量及其分布_17517

第二章随机变量及其分布

一、选择题

1．假设连续函数F(x)是分布函数且F(0)=0，则下列函数可以作为分布函数的是

(A)

(B)

(C)

(D)

2．下列p

n

能成为概率分布的是

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

3．设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，且满足P{X＜ρ}＞P{X＞σ}，则比值μ/σ

(A) 小于1． (B) 等于1． (C) 大于1． (D) 不确定．

4．假设随机变量X的概率密度f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则

(A) F(x)是偶函数． (B) F(x)是奇函数．

(C) F(x)+F(-x)=1． (D) 2F(x)-F(-x)=1．

5．假设随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度函数f(x)=af

1(x)+b

2

(x)，其

中f

1(x)是正态分布N(0，σ2)的密度函数，f

2

(x)是参数为A的指数分布的密度

函数，已知，则

(A) a=1，b=0． (B) ．

(C) ． (D) ．

6．假设随机变量X的密度函数f(x)是偶函数，分布函数为F(x)，则对任意实数a有

(A) (B) ．

(C) F(-a)=F(a)． (D) F(-a)=2F(a)-1．

7．假设F(x)是随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是

(A) 如果F(a)=0，则对任意x≤a有F(x)=0．

(B) 如果F(a)=1，则对任意x≥a有F(x)=1．

(C) 如果，则．

(D) 如果，则．

8．假设X为随机变量，则对任意实数a，概率P{X=a}=0的充分必要条件是(A) X县离散型随机变量． (B) X不是离散型随机变量．

(C) X的分布函数是连续函数． (D) X的密度函数是连续函数．

9．假设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则随机变量Y=min(X，2)的分布函数

(A) 是连续函数． (B) 是阶梯函数．

(C) 恰好有一个间断点． (D) 至少有两个间断点．

10．假设随机变量X服从参数为p(0＜p＜1)的两点分布，Y服从参数为λ的指数分布，X与Y相互独立，则随机变量Z=XY，的分布函数

(A) 是连续函数． (B) 是阶梯函数．

(C) 存在唯一间断点． (D) 至少存在二个间断点．

11．假设X是只可能取两个值的离散型随机变量，Y是连续型随机变量，则随机变量X+Y的分布函数

(A) 是连续函数． (B) 是阶梯函数．

(C) 恰有一个间断点． (D) 至少有二个间断点．

12．假设随机变量X的分布函数为F(x)，密度函数f(x)是x的连续函数．如果X与-X有相同的分布函数，则

(A) F(x)=F(-x)． (B) F(x)=-F(-x)．

(C) f(x)=f(-x)． (D) f(x)=-f(-x)．

13．假设随机变量X与Y相互独立且都服从参数为λ的指数分布，则下列随机变量中服从参数为2λ的指数分布的是

(A) X+Y． (B) X-Y．

(C) max(X，Y)． (D) min(X，Y)．

14．已知X为随机变量Y=kX(k＞0，k≠1)，则下列结论不成立的是

(A) 如果X服从正态分布N(μ，σ2)，则Y服从正态分布N(kμ，k2σ2)．

(B) 如果X服从参数为λ的指数分布，则Y服从参数为kλ的指数分布．

(C) 如果X在[a，b]上服从均匀分布，则Y在[ka，kb]上服从均匀分布．

(D) 如果X服从二点分布，则Y亦服从二点分布：

．

15．假设X

1，X

2

为两个相互独立的随机变量，则下列结论正确的是

(A) 如果X

i ～B(n

i

，p)(i=1，2)，则X

1

+bX

2

仍服从二项分布．

(B) 如果X

i ～P(λ

i

)(i=1，2)，则X

1

+bX

2

仍服从泊松分布．

(C) 如果X

i ～(i=1，2)，则X

1

+bX

2

仍服从正态分布．

(D) 如果X

i ～χ2(n

i

)(i=1，2)，则X

1

+bX

2

仍服从χ2分布(其中b≠0或1)．

16．假设X与Y是随机变量，其分布函数分别为F

X (x)，F

Y

(y)，如果它们的期

望和方差都存在，现在有四个结论①X=Y；②P{X=Y}=1；

③F

X (x)=F

Y

(y)；④EX=EY，D

X

=DY．

如果用“P Q”表示由结论P可以推出结论Q，则下列正确的是

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

17．假设一个设备在任何长为t的时间内发生故障次数N(t)服从参数为λt的泊松分布(λ＞0)，T表示相继两次故障之时间间隔，则对任意t＞0，概率P{T ＞t}等于

(A) 0．(B) λt． (C) e-λt． (D) 1-e-λt．

18．设随机变量X与Y相互独立且都服从标准正态分布N(0，1)，则

(A) ． (B) ．

(C) ． (D) ．

19．设随机变量X与Y相互独立且分别服从参数为2和3的泊松分布，则

P{X+Y=0}等于

(A) e-5． (B) e-3． (C) e-2． (D) e-1．

20．已知随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则随σ的增大，概率P{|X-μ|＜σ}

(A) 单调增大． (B) 单调减少．

(C) 保持不变． (D) 增减不定．

二、填空题

1．设随机变量X的分布函数且

，则a=______；b=______．

2．设f(x)=ke-|x|(-∞＜x＜+∞)是一概率密度，则k=______．

3．设X的概率密度若常数。，使得P{X＞a}=P{X ＜a}，则a=______．

4．设随机变量X的密度函数且P{1＜X＜2}=P{2＜X＜3}，则常数A=______；B=______；概率P{2＜X＜4}=______；分布函数

F(x)=______．

5．设X服从参数为λ的泊松分布，P{X=1}=P{X=2}，则概率P{0＜X2＜

3}=______．

6．已知X的概率密度且aX+b～N(0，1)(a＞0)，则

A=______；a=______；b=______．

7．已知随机变量Y服从[0，5]上的均匀分布，则关于x的一元二次方程

4x2+4Yx+Y+2=0有实根的概率α=______．

8．已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且方程x2+x+Y=0有实根的概率为，则未知参数μ=______．

9．一枚硬币连续投掷8次正反面出现的次数分别为X，Y，则一元二次方程

t2+Xt+Y=0有实根的概率α=______；有重根的概率β=______．

10．设随机变量X服从参数为1的指数分布，已知事件A={a＜X＜5}与B={0＜X ＜3}相互独立，则a=______(0＜a＜3)．

11．已知随机变量X的概率密度则P{|X|＞5X-2}=______．

12．已知随机变量X的概率分布为，当X=k时随机变量Y在(0，k)上服从均匀分布，即

则P{Y≤2.5}=______．

13．袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则

P{X=k}=______(k=1，2，…)，

14．已知随机变量X的分布函数为F(x)，概率密度为f(x)，当x≤0时f(x)连续且f(x)=F(x)，若F(0)=1，则F(x)=______；f(x)=______。

三、解答题

1．(Ⅰ)10件产品中有3个次品，现逐个取出直至取到正品为止，试求抽取次数X的概率分布；

(Ⅱ)10件产品中有3个次品，每次从中取出一个产品同时放入一个正品，直至取到正品为止，试求抽取次数X的概率分布．

2．抛掷一枚不均匀的硬币，出现正面的概率为p(0＜p＜1)，以X表示一直掷到正、反面都出现时所需要投掷的次数，求X的概率分布．

3．已知厂家生产每台仪器为合格品的概率为80%，为提高产品的合格率，决定对不合格品进行调试．假设不合格品调试后为合格品的概率是70%，现生产100台这种仪器，试求经调试后100台产品至多有一台不合格品的概率α，并用泊松分布近似计算结果．

4．假设有10台设备，每台的可靠性(无故障工作的概率)为0.92，每台出现故障时需要由一人进行调整．问为保证在95%的情况下当设备出现故障时都能及时得到调整，至少需要安排几个人值班?

5．设随机变量X服从参数为λ的指数分布，求：

(Ⅰ)的分布函数；

(Ⅱ)的分布函数．

6．已知X在(0，1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度．

7．已知X的概率密度，求的概率密度．

8．已知Y=lnX～N(μ，σ2)，求X的概率密度．

9．已知X为随机变量，Y=X2+X+1．

(Ⅰ)已知X的概率分布为P{X=-1}=P{X=0}=P{X=1}=，试求Y的分布函数

F

Y

(y)；

(Ⅱ)已知X的分布函数F

X (x)，求Y的分布函数F

Y

(y)；

(Ⅲ)已知X在(0，1)上服从均匀分布，求Y的概率密度f

Y

(y)．

10．已知随机变量X的概率密度

求分布函数F(x)；若令Y=F(X)，求Y的分布函数F

Y

(y)．

11．设随机变量X的绝对值不大于1，且P{X=0}=，已知在X≠0的条件下，X 在其取值范围内服从均匀分布，求X的分布函数F(x)．

一、选择题

1．C

[分析] 应用分布函数充要条件判断．由G

i

(x)的形式是分段函数，x=1是分界点，于是立即想到要判断是否成立，易计算

由此可判断正确选项是(C)．如果需要证明G

3

(x)是分布函数，那就需要按充要条件逐条加以验证：

①若x

1＞x

2

＞1，则

所以

即G

3(x

1

)≥G

3

(x

2

)．同理当x

1

＞1≥x

2

时，

当1≥x

1＞x

2

时，G

3

(x

1

)=G

3

(x

2

)=0，

故G

3

(x)是x单调不减函数．

②G

3

(x)是右连续函数．

若x

＜1，则；

=1，则；

若x

＞1，则

若x

(-∞)=0，

③G

3

2．B

[分析] p

能成为分布列且．由于发散，，故

n

(A)、(C)不能选．

而

所以应选(B)

3．A

[分析] 由于连续型随机变量为任何给定值的概率等于0，则

P{X＜σ}+P{X＞σ}=1-P{X=σ}=1，

P{X＜σ}=1-P{X＞σ}＞1-P{X＜σ}．

因此

由此可见σ＞μ，因此μ/σ＜1．故选(A)．

4．C

[分析] 由分布函数充要条件知，(A)、(B)、(D)都不成立，因此选择(C)．事实上，由于F(x)是x单调不减的非负函数，故(A)、(B)不成立．又F(+∞)=1，F(-∞)=0，所以2F(+∞)-F(-∞)=2≠1，(D)不成立．因为f(x)是偶函数，所以

故应选(C)．

5．D

[分析] 由，知四个选项均符合这个要求，因此只好通过确定正确选项．由于

，正确选项为(D)．

6．B

[分析] 方法1° 特殊值法应用，即知正确选项是(B)．事实上，此时相应的四个选项为

因此正确选项为(B)．

方法2° 图形法由于f(x)是偶函数，，应用几何图形知正确选项为(B)．

方法3° 计算法由于f(x)是偶函数，又

所以

选择(B)．

7．D

[分析] 由于F(x)是单调不减且0≤F(x)≤1，F(x)=P{X≤x}，因此(A)、(B)、(C)都成立，而选项(D)未必成立，因此选(D)．

事实上，已知F(a)=0，则对任意x≤a有0≤F(x)≤F(a)=0，从而有F(x)=0；若F(a)=1，则对任意x≥a有1≥F(x)≥F(a)=1，从而有F(x)=1；当

时，F(a)=P{X≤a}=．又P{X≥a}=1-p{X＜a}=1-F(a-0)，如果

在x=a处连续，此结论未必成立，例如

8．C

[分析] 对任意实数a有P{X=a}=0是连续型随机变量的必要条件但不充分，因此(B)、(D)不能选．而对离散型随机变量，必有P{X=a}≠0，(A)不能选，故正确选项是(C)．事实上，P{X=a}=0F(a)-F(a-0)=0对任意实数a，

F(a)=F(a-0)F(x)是x的连续函数．

9．C

[分析] 选项(B)肯定不能选，否则(C)、(D)至少有一个成立，因此该题是问：Y=min(X，2)的分布函数F

Y

(y)有几个间断点．由于

F Y (y)在y=a间断F

Y

(a)-F

Y

(a-0)≠0

P{Y=a}=F

Y

(a)-F

Y

(a-0)≠0，

因此我们可以通过计算概率P{Y=a}或求Y的分布函数来确定正确选项．方法1° 概率法由全概率公式知，有

P{Y=a}=P{min(X，2)=a}

=P{min(X，2)=a，X≥2}+P{min(X，2)=n，X＜2}

=P{2=a，X≥2}+P{X=a，X＜2}=P{2=a，X≥2}

所以Y的分布函数在x=2处间断，选择(C)．

方法2° 分布函数法 Y的分布函数

F

Y

(y)=P{min(X，2)≤y}=1-P{min(X，2)＞y}=1-P{X＞y，2＞y}

由此可知Y的分布函数存在唯一间断点y=2，选择(C)．

10．C

[分析] 方法1° 概率法已知

所以由全概率公式得

P{Z=a}=P{XY=a}=P{XY=a，X=0}+P{XY=a，X=1}

=P{a=0，X=0}+P{Y=a，X=1}

Z=XY分布函数F

Z

(a)存在唯一间断点a=0且为非阶梯函数，故选(C)．

方法2° 分布函数法由全概率公式可得Z=XY的分布函数

F

Z

(t)=P{Z≤t}=P{XY≤t}=P{XY≤t，X=0}+P{XY≤t，X=1}

=P{0≤t，X=0}+P{Y≤t，X=1}

由此可知F

Z

(t)在t=0处间断，故选(X)．

11．A

[分析] 已知X的概率分布为P{X=a}=p，P{X=b}=1-p，Y的概率密度为f(y)，

要讨论X+Y的分布函数F(t)是否连续，即是否存在t

0∈R，使F(t

)-F(t

-

0)≠0．若存在，则F(t)在t

处间断；若不存在，则F(t)是t连续函数．而

F(t

0)-F(t

-0)=P{X+Y=t

}，因此我们通过计算概率P{X+Y=t

}来确定正确选

项．对任意实数t，由全概率公式及概率性质得

0≤P{X+Y=t}=P{X+Y=t，X=a}+P{X+Y=t，X=b}

=P{Y=t-a，X=a}+P{Y=t-b，x=b}

≤P{Y=t-0}+P{Y=t-b}=0

(因为P(AB)≤P(A)，又Y是连续型随机变量，所以对任意实数c，有

P{Y=c}=0)．故对任意实数t，P{X+Y=t}=0X+Y的分布函数是连续函数，选(A)．

12．C

[分析] 由分布函数与密度函数充要条件知，F(x)不能是偶函数，也不能是奇函数；f(x)不能是奇函数，即(A)、(B)、(D)都不成立，故选(C)．

事实上，由题设知F'(x)=f(x)，又

F(x)=P{X≤x}=P{-X≤x}=P{X≥-x}=1-P{X＜-x}=1-F(-x)，

F'(x)=f(x)=f(-x)，即f(x)为偶函数．

13．D

[分析] 显然我们不能通过计算每个选项中随机变量的分布来确定正确选项，只能利用服从指数分布的充要条件或必要条件来判断．由于

由此立即可以判断选项(A)、(B)、(C)都不成立，只能选择(D)．这是因为

E(X-Y)=EX-EY=0，

所以(A)、(B)不成立．又max(X，Y)的分布函数

所以选项(C)不成立．由排除法应选择(D)．事实上，min(X，Y)的分布函数为

P{min(X，Y)≤x}=1-P{min(X，Y)＞x}=1-P{X＞x，Y＞x}

=1-P{X＞x}·P{Y＞x}=1-[1-F(x)]2

即min(X，Y)～E(2λ)

14．B

[分析] 由于Y=kX(k》0)，因此应用基本结果知，选项(A)、(C)、(D)是成立的，不成立的结论是(B)．

方法1° 数字特征法由于

所以Y=kX不服从参数为kλ的指数分布．

方法2° 分布函数法 Y=kX的分布函数

事实上，若X～F(x)(或f(x))则

或

如果X～N(μ，σ2)，则

Y～N(kμ，k2σ2)，即(A)成立．

如果X～U[a，b]，则

Y=kX～U[ka，kb]，即(C)成立．

如果，则Y=kX可取ka，kb值，且P{Y=ka}=P{kX=ka}=P{X=a}=p

P{Y=kb}=P{kX=kb}=P{X=b}=1-p

即，选项(D)成立．

15．C

[分析] 应用正态分布性质知正确选项应该是(C)．我们知道如果X服从某种分布，那么kX未必还服从这种类型的分布(如果服从，其分布中的参数一般说来是改变了)，而正态分布却具有这种性质，因此由“分布的可加性”，选项(C)成立，其他选项不成立．我们可以应用数字特征来验证：

①如果X

i ～B(n

i

，p)，X

1

与X

2

独立且X

1

+bX

2

～B(n，p)，则

E(X

1+bX

2

)=EX

1

+bEX

2

=n

1

p+bn

2

p．

np=n

1p+bn

2

p．

又 D(X

1+bX

2

)=DX

1

+b2DX

2

npq=n

1

pq+b2n

2

pq，

与已知矛盾．所以(A)不成立．

②如果X

i ～P(λ

i

)，X

1

与X

2

独立，且X

1

+bX

2

～P(λ)，则

与已知矛盾，(B)不成立．

③如果X

i ～χ2(n

i

)，X

1

与X

2

独立且X

1

+bX

2

～χ2(n)，则

b2=b b=0或1，

与已知矛盾，选项(D)不成立．

16．B

[分析] 具有相同分布的随机变量并不意味着这两个随机变量相等或以概率1相等，即③①与③②不一定成立，故(C)、(D)不成立．又P{X=Y}=1，并不

意味着对一切样本点ω都有X(ω)=Y(ω)，即②①不一定成立，因此选项(A)不成立，由排除法可知，正确选项是(B)．

事实上，如果P{X=Y}=1，则

P{X≠Y}=0，

F

X

(x)=P{X≤x}=P{X≤x，X=Y}+P{X≤x，X≠Y}

=P{X≤x，X=Y}=P{Y≤x，X=Y}=P{Y≤x}=F

Y

(x)，

即②③．分布相同，相应的数字特征(只要它们存在)就应该相等，所以

③④成立．因此正确选项是(B)：②③④．其他选项不成立，我们通过一

个例子即可明白．将一枚硬币随意投掷一次，记ω

1=“掷出正面”，ω

2

=“掷

出反面”，则样本空间Ω={ω

1，ω

2

}，令随机变量

显然

X与Y同分布，因而EX=EY，DX=DY；然而

X(ω

1)=1≠Y(ω

1

)=0，

并且P{ω：X(ω)=Y(ω)}=P()=0，

故①与②都不成立．

17．C

[分析] 事件{T＞t}意味着“相继两次故障之时间间隔超过t”，它等价于“在时间间隔为t内不发生故障”，所以{T＞t}={N(t)=0}，其中N(t)～P(λt)，故

选(C)．

18．D

[分析] 由题设X与Y独立，且X～N(0，1)，Y～N(0，1)，故X+Y～N(0，2)，

X-Y～N(0，2)，因此选项(A)，(B)不正确(因为P{X+Y≥0}=P{X-Y≥0}=)．由于

P{max(X，Y)≥0}=1-P{max(X，Y)＜0}=1-P{X＜0，Y＜0}

P{min(X，Y)≥0}=P{X≥0，Y≥0}=P{X≥0}P{Y≥0}，选(D)．

19．A

[分析] 已知

又X与Y独立，于是

P{X+Y=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=e-3·e-2=e-5，

故选(A)．

20．C

[分析] 由于X～N(μ，σ2)，，所以概率

P{|X-μ|＜σ}=Ф(1)-Ф(-1)=2Ф(1)-1

为一定值，与σ无关，故选(C)．

二、填空题

1．，

[分析] 应用分布的充要条件与已知条件，写出两个含未知参数a，b的方程，解方程求得a，b．

已知，即，由F(x)得

．

①

又F(x)在x=-1处右连续，所以有F(-1)=F(-1+0)，即

．

②

联立①与②解得．

2．1/2

[分析] 由概率密度的性质，有

因此k=1/2．

3．

[分析] 由概率密度计算出相应事件的概率，从而求得未知参数．由于P{X＞a}=P{X＜a}，故

，即1-a4=a4，解得

4．

[分析]由于，又P{1＜X＜2}=P{2＜X＜3}，即，解得，且

且

5．2e-2

[分析] 已知，由于P{X=1}=P{X=2}，即，解得λ=2．故P{0＜X2＜3}=P{X=1}=2e-2．

6．

[分析] 由于，根据正态分布概率密度知X～N(-1，2)，故A=．又aX+b～N(aEX+b，a2DX)，而题设aX+b～N(0，1)，所以即解得．

7．

[分析] 按条件写出相应事件并用分布计算其概率，进而可求得未知参数．

已知

所求的概率为α=P{方程有实根}=P{判别式△≥0}=P{16Y2-16(Y+2)≥0} =P{16(Y2-Y-2)=16(Y-2)(Y+1)≥0}

=P{(Y≥2)∪(Y≤-1)}=P{Y≥2}+P{Y≤-1}=．

8．

[分析] 已知Y～N(μ，σ2)，且P{方程有实

根}=，即

9．

[分析] 由题设知，Y=8-X，所以

α=P{A≥0}=P{X2-4Y≥0}=P{X2+4X-32≥0}

10．

[分析] 已知A与B独立，X的概率密度故有

P(AB)=P(A)P(B)，其中

P(B)=P{0＜X＜3}=1-e-3，

P(AB)=P{a＜X＜3}=e-a-e-3，

所以．

11．

[分析] 显然我们需要将事件{|X|＞5X-2}转换为用X取值范围表示的等价事件，而后应用概率密度计算其概率，为此需要将X绝对值符号去掉，由于{X≥0}∪{X＜0}=Ω，根据全概率公式得

P{|X|＞5X-2}=P{|X|＞5X-2，X≥0}+P{|X|＞5X-2，X＜0}

=P{X＞5X-2，X≥0}+P{-X＞5X-2，X＜0}

12．

[分析] 由题设知，根据全概率公式得

13．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dkkq.html