数学归纳法——张文根

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数学归纳法上课人：张文根 时间：2014年11月19日

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学习目标1、明白数学归纳法的递推原理 2、合理选择数学归纳法证明问题时的第一个取值 3、明白由n=k成立推导n=k+1成立时，代数式是如何变化的 4、证明不等式时，注意数学归纳法和其它方法的综合应用。

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课前热身n n +1 2 n + 1 1、 求证： 12+22+…+n 2= . 6 证明 (1)当 n=1 时，左边=1, 1· 1+1 2+1 右边= =1,左边=右边，等式成立； 6(2)假设 n=k (k∈N*)时，等式成立， k k+1 2k+1 2 2 2 即 1 +2 +…+k = , 6 则当 n=k+1 时， k k+1 2k+1 2 2 2 2 1 +2 +…+k +(k+1) = +(k+1)2 6 k+1 [ k+1 +1][2 k+1 +1] = 6所以当 n=k+1 时，等式仍然成立.

由(1)、(2)可知，对于 n∈N*等式恒成立.

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2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为

1 n(n-3)条时,第一步检验 n 等于( C 2(A)1 (B)2 (C)3 (D)0

)

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3.用数学归纳法证明 1+2+3+…4 2 n n +n2= ,则当 n=k+1 时左端 2

应在 n=k 的基础上加上(

D2

)

(A)k +12

2

(B)(k+1)

(C) ( k 1) 4 ( k 1) 2 (D)(k +1)+(k +2)+(k +3)+… 2 +(k+1)2 2 2

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要点梳理数学归纳法

忆一忆知识要点

一般地，数学归纳法是用来证明关于正整数命题的一种方法，若

n0 是起始值，则 n0 是使命题成立的最小正整数，所以对于某些与正整数有关的数学命题，我们可以用数学归纳法：其基本步骤为：

(1)当n取第一个值n0 (n0∈N*)时，结论正确； 归纳奠基 注：n0是否一定为1? (2)假设当n=k (k∈N*,且n≥n0)时结论正确， 归纳推理 证明当n=k+1时结论也正确. 那么，命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.

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典例剖析证明:1 +

1 3

+…+

1 ≤ 2n 1

2n 1 .

证明：①当n=1时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当n=2时,左边<右边,所以命题成立. ②假设 n=k(k≥2,k N )时命题成立,*

即 1+

1 3

+… +

1 2k 1

≤

2k 1 ,

当 n =k+1 时 左边= 1+

1 3

+… +

1 2k 1

+

1 2k 1

≤

2k 1 +

1 2k 1

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<

2k 1 +

2 2k 1

2k 1

=

2k 1 +

2(

2k 1 2

2k 1)

=

2k 1 =

2( k 1) 1 .

命题成立. 由①、②可知,对一切 n N 都有 1+*

1 3

+…

+

1 2n 1

≤

2 n 1 成立.

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课堂小结：本节课你有什么收获？1、数学归纳法证明问题的原理

2、数学归纳法证明问题的步骤3、从n=k成立证明n=k+1成立时代数式 的变化特征 4、注意数学归纳法与其他证明方法 的综合应用

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清

学

稿

n 3n +1 1.用数学归纳法证明：(n +1)+(n + 2)+…+(n +n )= (n ∈ 2 N*) 的第二步中，当 n = k + 1 时等式左边与 n = k 时的等式左边的差 等于________.

2、 求证:1+ (n N ).*

1 2

+

1 1 +… + <2 n 3 n

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(2)证明:只

需证:1+

1 1 + …+ ≤ 3 2n 1

2n 1 .①当 n=1 时,左边=1,右边=1,所以命题成立. 当 n=2 时,左边<右边,所以命题成立.

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②假设 n=k(k≥2,k N )时命题成立,*

即 1+

1 1 +…+ ≤ 2k 1 , 3 2k 1

当 n=k+1 时,

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左边=1+

1 3

+…+

1 + 2k 1

1 2k 1

≤

2k 1 +

1 2k 1

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<

2k 1 +

2 2k 1 2k 1

=

2( 2k 1 2k 1) 2k 1 + 2

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=

2k 1 = 2(k 1) 1 .

命题成立. 由①、②可知,

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探 究 提 高1 在各项为正的数列 {an}中，数列的前 n 项和 Sn 满足 Sn= 2 1 an+ . an (1)求 a1, a2, a3; (2)由 (1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你 的猜想.

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规范解答 解 1 1 (1)S1= a1= a1+ 得 a2 1= 1. 2 a1

∵ an>0,∴ a1= 1, 1 1 由 S2= a1+ a2= a2+ , 2 a2 得 a2 2+ 2a2- 1= 0,∴ a2= 2- 1.

1 1 又由 S3= a1+ a2+ a3= a3+ 2 a3 得 a2 3+ 2 2a3- 1= 0,∴ a3= 3- 2.(2)猜想 an= n- n-1 (n∈N*) 证明：①当 n=1 时，a1=1= 1- 0,猜想成立.

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②假设当 n=k (k∈N*)时猜想成立， 即 ak= k- k-1,则当 n=k+1 时，ak+1=Sk+1-Sk 1 1 1 1 a = k+1+ - ak+ , 2 ak+ 1 ak 2 1 1 1 1 k- k- 1+ a + 1+ 即 ak+1= - k 2 ak+ 1 k- k- 1 2 1 1 = ak+ 1+ - k, 2 ak+ 1

∴ a2 k+ 1+ 2 kak+1- 1= 0, ∴ ak+1= k+ 1- k.即 n=k+1 时猜想成立. 由①②知，an= n- n-1 (n∈N*).

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dkiq.html