概率论与数理统计电子教案

第一章 随机事件及其概率

概率论与数理统计是从数量化的角度来研究现实世界中一类不确定现象（随机现象）规律性的一门应用数学学科，本章介绍的随机事件与概率是概率论中最基本、最重要的概念之一.

§1.1 随机事件

一、随机试验

1确定性现象:必然发生或必然不发生的现象。

在正常的大气压下，将纯净水加热到100℃时必然沸腾,向上抛一石子必然下落，异性电荷相互吸引，同性电荷相互排斥等

2随机现象:在一定条件下我们事先无法准确预知其结果的现象，称为随机现象.

掷一颗骰子，可能出现1，2，3，4，5，6点,

抛掷一枚均匀的硬币，会出现正面向上、反面向上两种不同的结果. 3随机现象的特点：人们通过长期实践并深入研究之后，发现这类现象在大量重复试验或观察下，它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科.

4. 随机试验 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 并简称为试验，记为E. 5.随机试验具有下列特点:

1. 可重复性: 试验可以在相同的条件下重复进行; 2. 可观察性: 试验结果可观察,所有可能的结果是明确的;

3. 随机性(不确定性): 每次试验出现的结果事先不能准确预知. ，但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.

二、随机事件

1.样本点：随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个 样本点,记作?.

2样本空间：全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间，记为

?.(或S)．即????1,?2,?,?n,??

1

例1:E1：投掷一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况， 则样本空间为?1??H,T?．

E2：将一枚硬币连抛两次，观察正面H，反面T出现的情况， 则样本空间为?2??HH,HT,TH,TT?．

E3：将一枚硬币连抛两次，观察正面Ｈ出现的次数， 则样本空间为?3??0,1,2?．

E4：记录某电话台在一分钟内接到的呼叫次数， 则样本空间为?4??0,1,2,??．

E5：已知某物体长度在10与20之间，测量其长度， 则样本空间为?5??l10?l?20?．

E6：在一大批灯泡中任取一只，测试其使用寿命， 则样本空间为?6??tt?0?．

注：：1)在E4 中，虽然一分钟内接到电话的呼叫次数是有限的，不会非常大，但一般说来，人们从理论上很难定出一个次数的上限，为了方便，视上限为∞，这种处理方法在理论研究中经常被采用．

2)样本空间的元素是由试验的目的所确定的，如E2和E3中同是将一枚硬币连抛两次，由于试验的目的不一样，其样本空间也不一样．

3随机事件：我们称试验E的样本空间?的子集为E的随机事件，简称事件，在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性.一般用A,B,C,，?等大写字母表示事件．设A为一个事件，当且仅当试验中出现的样本点??A时，称事件A在该次试验中发生．

如：在抛掷一枚均匀硬币的试验中，“正面向上”是一 个随机事件，可用A?｛正面向上｝表示．掷骰子，“出现偶数点”是一个随机事件，试验结果为2，4或6点， 可用B＝｛2，4，6｝表示．

2

注: 要判断一个事件是否在一次试验中发生，只有当该次试验有了结果以后才能知道．

1)基本事件 ：仅含一个样本点的随机事件称为基本事件.

如:抛掷一颗骰子，观察出现的点数，那么“出现1点”、“出现2点”,...,“出现6 点”为该试验的基本事件．

2)必然事件：．样本空间?本身也是?的子集，它包含?的所有样本点，在每次试验中?必然发生，称为必然事件．即必然发生的事件.

如：“抛掷一颗骰子，出现的点数不超过6”为必然事件.

3)不可能事件：．空集?也是?的子集，它不包含任何样本点，在每次试验中都不可能发生，称为不可能事件．不可能发生的事件是不包含任何样本点的.

如：“掷一颗骰子，出现的点数大于6”是不可能事件.

三、事件间的关系与运算

研究原因：希望通过对简单事件的了解掌握较复杂的事件

研究规则：事件间的关系和运算应该按照集合之间的关系和运算来规定 事件间的关系及运算与集合的关系及运算是一致的.

记号??概率论样本空间,必然事件不可能事件基本事件事件A的对立事件事件A发生导致B发生事件A与事件B相等集合论全集空集元素子集A的余集A是B的子集A与B的相等A与B的并集A与B的交集A与B的差集A与B没有相同的元素3

?AAA?BA?BA?B事件A与事件B至少有一个发生AB事件A与事件B同时发生A?B事件A发生而事件B不发生AB??事件A和事件B互不相容

1 子事件、包含关系A?B

事件A是事件B的子事件 含义：事件A发生必然导致事件B发生, ??A??

2相等事件A?B:若事件Ａ发生必然导致事件B发生，且若事件B发生必然导致事件A发生， 即B?A且A?B ? A=B 注：事件A与事件B含有相同的样本点

例如：在投掷一颗骰子的试验中，事件“出现偶数点”与事件“出现2，4或6点”是相等事件。 3和事件或并事件

A?B?{xx?A或x?B}，事件A?B是事件A和事件B的和事件

事件A?B发生?事件A发生或事件B发生?事件A与B至少有一个发生

称?Ak为n个事件A1，A2，?，An的和事件k?1?n

称?Ak为可列个事件A1,A2,?,An,?的和事件

k?14、积事件或交事件

A?B?{xx?A且x?B}，事件A?B是事件A与事件B的积事件

事件A?B发生?事件A与事件B同时发生 积事件A?B可简记为AB

称?Ak为n个事件A1，A2，?，An的积事件；k?1?n

称?Ak为可列个事件A1,A2,?,An,?的积事件.

k?15、事件的差

A?B?{xx?A且x?B}，事件A?B称为事件A与事件B的差事件

事件A?B发生?事件A发生而事件B不发生.

注：A?B?A?AB

4

例如，在例1的E2中，若记A?{HH,TT}，B?{HH,HT}，则

A?B?{HH,HT,TT}， A?B?{HH}｝A?B?{TT}

6、互斥或互不相容

A?B??则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的. A?B???事件A和随机B不能同时发生.

注：任一个随机试验E的基本事件都是两两互不相容的. 推广：设事件A1，A2，?，An满足AiAj??(i,j?1,2,?,n,i?j)称事件

A1，A2，?，An是两两互不相容的. 7对立事件或互逆事件

若事件A和事件B中有且仅有一个发生，即A?B??,AB?? 则事件A和事件B为互逆事件或对立事件。记A的对立事件为A

事件A发生?事件A不发生 A?A??,A?A??

故在每次试验中事件A，A 中必有一个且仅有一个发生,A也是A的对立事件，所以称事件A与A互逆

注:互逆事件必为互斥事件，反之，互斥事件未必为互逆事件 事件的关系与运算可用图来直观的表示．

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dkg3.html