数学建模-安全跳伞的研究

2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)：

日期：2010年6月28日

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2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛

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安全跳伞的研究

摘要

本文从建立跳伞安全的数学模型开始，从跳伞运动员在下落过程中各个时刻的速度和达到第一收尾速度的时刻出发，分别通过对这两个方面的深入研究从而制定出跳伞运动员打开降落伞的最佳时机，最后再综合考虑这两个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。

模块Ⅰ中，我们将焦点锁定运动的独立性上。我们通过建立数学模型，并利用MATLAB软件编程求得的v—t图中可比较直观地了解到速度的变化特点。我们可以发现发现跳伞运动员在空气中下落时，由于受到的摩擦力正比于速度v的一次方或二次方，故当经过一段时间后，竖直方向所受的力会达到平衡，之后跳伞运动员的速度将通过一个极小值vmin，随后开始增加，逐渐趋于速度vt，我们称之为第一收尾速度。跳伞运动员必须等待这个速度极小值以减小开伞时的震动。开伞后，经过一段时候后，竖直方向所受的力会达到第二次平衡，之后跳伞运动员的速度将通过另一个极小值，随后也会逐渐增加，直到趋于第二收尾速度。跳伞时应该有足够的高度，以确保张伞后能有充分时间达到第二收尾速度。最后，我们通过题中所给出的数据和利用公式

kmv0233kg??2t??2tm1?e?e??mg???4g?3kg?k??2tm?1?e???kgm??kv0t?m??0。求出w和vmin。但我们通过计

算发现，当v0?125m?s?1时，本方程无解，说明此模型不太合理，我们采用模块Ⅱ。

在模块Ⅱ中，我们从运动的迭加性出发，利用跳伞运动员受到与v的平方成正比的阻力和运动的合成与分解建立相关数学模型，我们发现跳伞者在一个方向的运动状态必然影响到另一个方向的运动。因此，这两个分运动彼此交叉关联，不能独立，即跳伞运动员离机后的动力学方程在x、y轴方向的投影不是模块Ⅰ中的（3）、（4）式，而是本模块的（3）、（4）式。由此可见运动的合成和分解时普遍的。无条件的，运动的独立性只有在特定条件下才成立。所以，所谓“运动的独立性”不是运动本身的特征。利用MATLAB软件编程求得的a—v图中可比较直观地了解到加速度的变化特点，我们发现加速度逐渐减小到零。说明在此模块中，当其加速度将为零时，即为运动员开伞的最佳时刻，此外，我们从图中也可以看出：当初速度大于125m/s时，就不会出现极小值。我们发现当跳伞运动员速度降为44.72m.s-1时，就可以打开降落伞，以实现安全降落。

最后，我们从本论文研究方向考虑，为优化安全跳伞指出了一些参考性意见，如：适当增加飞机高度，把握好打开降落伞的时间等。 【关键词】第一收尾速度 运动的独立性 雷诺数

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一、 问题提出

安全跳伞事关跳伞运动员的生命安全，因此组织方、跳伞运动员及社会各方面的广泛关注。安全跳伞的一个核心指标是确定打开伞的时间后，能安全地完成软着陆。跳伞属于一项惊险、刺激、挑战自我的运动，优秀的跳伞运动员能在空中做各种惊险动作，从而给人以深刻的印象。除此之外，自从苏联1930年建立世界上第一支正式伞兵部队以来，各国相继建立了自己的伞兵部队。作为国防中的重要力量，我国对伞兵部队的训练和投入也在加大，伞兵的安全面临着新的挑战。

随着我国经济的发展，跳伞运动逐渐在民间兴起，跳伞的安全也面临着严重的矛盾。跳伞安全涉及每一个跳伞运动员和伞兵的生命安全以及其引起的一系列社会问题。由于跳伞在对很多国人还比较陌生，缺乏经验，民间并没有完全掌握其中的规律，且缺乏一些紧急处理方案。因此，跳伞安全问题将来可能会逐渐出现在人们的视野中。

从跳伞安全的探索出发，通过建立数学模型，就跳伞者打开降落伞的时间的标准进行定量分析，并从中得出明确、有说服力的结论。

二、 问题分析

(一) 关于跳伞运动员离机后的运动的讨论

跳伞运动员在下落过程中，究竟做什么运动，需要我们进行讨论。人教版物理必修1的第1章“运动描述”第1节中，为了说明选择不同的参考系观察同一物体的运动结果会不同，绘制了一幅图片。图片内同为一跳伞运动员跳伞的过程，飞机做匀速直线运动，运动员从飞机上跳下做平抛运动。但是这幅图片是不妥的，因为实际生活中永远不可能看到这样的景象。看过跳伞运动的人都应该注意到，人从飞机中跳出后，很快就落到了飞机的后面，而不是像图中画的那样。以前这类图片是以炸弹为例面的，将炸弹换成人，就从正确走向了错误，因为炸弹都是流线型的，在空中运动阻力较小，炸弹的运动可看成平抛运动。但由于人的身体构造复杂，加上背上的背包和自身密度较小，所以阻力对运动的影响很大。这就导致了炸弹和人的运动规律完全不同[1]。本论文为了说明问题的简便性，我们假设跳伞员动员在降落过程中做平抛运动。

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(二) 跳伞运动员离机后的下降过程

在高空中从飞机上跳伞后，下降的第一阶段是在阻尼介质中做平抛运动，持续一段时间后，跳伞者打开降落伞完成软着陆。对于跳伞者来说至关重要的是打开降落伞的时机，显然不能打开太晚，否则着陆时速度过大，会造成伤害乃至致命。另一方面，由于高空空气稀薄，下落速度迅猛，能大大增强跳伞的乐趣，有时可能由于跳伞者与飞机或其他跳伞者太近，以致无法打开降落伞。我们需要考虑跳伞运动员的重量，准确估计空气阻力及打开伞后空气阻力的明显变化，着陆速度，讨论打开伞的最佳位置。因受到与速度v的平方成正比的阻力，其竖直方向所受的力会逐渐达到平衡，速度将随时间减小，再通过一个极小值后，逐渐达到稳定的收尾速度。跳伞者须在该速度极小值到来之时张开降落，以减小伞的震动，我们称之为第一收尾速度[2]。打开降落伞后，会逐渐达到另一个稳定的速度值，我们称为，第二收尾速度。我们采用MATLAB编程画出的图形得的v—t和a—v图中可比较直观地了解到速度和加速度的变化特点.

(三) 雷诺数

雷诺数就是表征流体流动特性的一个重要参数，雷诺数的大小取决于三个参数，即流体的速度、流束的定型尺寸以及工作状态下的粘度。实验表明，外部条件几何相似时（几何相似的管子，流体流过几何相似的物体等），若它们的雷诺数相等，则流体流动状态也是几何相似的（流体动力学相似）。这一相似规律正是流量测量节流装置标准化的基础。可见，雷诺数确切地反映了流体的流动特性是流量测量中常用的参数。在本次跳伞安全研究中，我们使用公式

N??vD/?，来估算雷诺数的大小。

错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。

三、 模型假设

1、假设本次模型结果不受跳伞运动员主观因素影响； 2、假设跳伞运动员下降过程中不受其他外力作用； 3、假设不考虑题中假设数据所带来的影响。

3

四、 定义与符号说明

N——雷诺数 ?——介质密度

S——物体垂直运动方向的横截面积 ?——在工作状态，流体的动力粘度

k——常数

vmin——速度极小值 vt——第一收尾速度

w——开伞最佳时刻

v0——跳伞运动员离开飞机时的初速度

a——加速度

五、 模型的建立与求解

（一）基于运动的独立性的跳伞安全标准——模块Ⅰ 1. 动力学特征

跳伞员的跳伞过程可视作在阻尼介质空气中的平抛运动，在此过程中，动力学方程为：

ma?mg?f?v? 公式1- 1

为了确定空气阻力f(v)与速度v的关系，我们先估算雷诺数的大小由：

N??vD/?

取?=1.25kg.m-1 ?=1.87ⅹ10-5Pa.s v=125m.s-1 D=2m 可得到：

N≈1.67ⅹ107

4

根据这一结果，可将阻力近似地取为：

12 f?v??c?Sv 公式1- 2

2式中?为介质密度，S为物体垂直运动方向的横截面积，c为阻力系数，与物体的形状大小有关

2. 张伞前的速度变化

1c?S，我们就可以将（2）式写为f(v)?kv2。我2们选取脱离飞机开始跳伞处为坐标原点，竖直向上为y轴正向，沿飞机飞行方向为x轴正向。将（1）式在x、y轴上投影得：

mdvx max???k1vx2

dt为简化计算，我们令k? may?mdvydt?k2vy2?mg

近似地取作k1?k2，则

max?

mdvxdt??kvx2 公式1- 3

may?mdvy/dt?kvy2?mg 公式1- 4

初始条件：t=0时，vx?v0,vy?0，将（3）、（4）两式分离变量后积分可得到vx、vy随t的变化规律为：

vx?mv0 公式1- 5

m?kv0t?2tkgkgmmg1?e vy??k1?e?2t 公式1- 6

m由此可知

v2?vx2?vy2??mvo?mg?1?e?2t????m?kvtk??1?e?2to???2kgkgmm2? 公式1- 7 ????以m=75kg，c=1.20，?=1.25kg.m-3，S=0.5m2，v0=125m.s-1，g=10N.kg-1作为一般值，将以上数据代入公式后，并化简得：

5

??1e?2t0.0?5?375?2 v?? ???2000???2t0.05??3?1.875t???1?e?用v作为纵坐标，t为横坐标，利用MATLAB作图得到图5.1，如下所示（相关程序代码见附录1）：

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图表 五-1 速度v随时间t的变化曲线

我们发现，当跳伞员降落后，其速度减小，经过一段时间后，在w时刻达到极小值vmin，随后开始增加，逐渐趋于速度vt，我们称之为第一收尾速度。显然，根据曲线所反映的规律，我们可以看出w便是开伞的最佳时期。

3. 关于最佳跳伞时刻t 由（7）式可得

dvydvxdv 2v?2 vx?2vydtdvtdvt故：

dvy?dv1?dvx??vx?vy? dxv?dvtdvt?dv?0 dt当v?vmin时，应有

6

即

vxdvdvx?vyy?0 公式1- 8 dtdtkg??2t??2tm1?e?e??mg???4g?3kg?k??2tm1?e????kg将（5）、（6）式代入（8）式得

m?kmv0233?kv0t?m??0 公式1- 9

w便是方程（9）的解，利用利用MATLAB编程求解（相关程序代码见附录2），并且准确地确定vmin及相应的w值。将数据代入公式，并化简得：

390.6251?ee??5??1?e??20t5??20t5t2035 ??0.625t?1?3?32?0

通过解方程，我们发此方程无解，说明当初速度v0?125m?s?1时，不会出现极小值，说明此数学模型的建立不太合理，我们通过采用模块Ⅱ来进行计算

并求解。

（二） 基于运动迭加跳伞安全模型的建立——模块Ⅱ

1. 运动的叠加

跳伞者在跳伞过程中，其动力学方程为：

ma?mg?f?v? 公式2- 1

空气阻力的大小f(v)?kv2，式中k为常数。

选取跳伞者跳离飞机处为坐标原点，竖直向上为y轴正向，飞机飞行方向为x轴正向。则（1）式可写为：

ma?mdvdt?kv2?mg 公式2- 2

（2）式在x、y轴投影为：

mdvx max???kvx2?vy2?vx 公式2- 3

dtmdvy may??kvx2?vy2?vy?mg 公式2- 4

dt（3）式和（4）式中都包含着另一方向的运动参量，也就是说，跳伞者在一个方向的运动状态必然影响到另一个方向的运动。因此，这两个分运动彼此交叉关联，不能独立。

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2. 张伞前的a和v的变化规律

由（3）式和（4）式组成的方程组是有交叉项的一阶非齐次微分方程组，数学上没有解析，但由方程组（3）、（4）式可见，知道了跳伞者任一时刻的速度vx?t?、vy?t?，就可算出该时刻的加速度ax?t?、ay?t?。又根据加速度的定义

[3]

：

v?t??t??vx?t? 公式2- 5 axt?limx?t?t?0

ayt?lim?t?0vy?t??t??vy?t??t 公式2- 6

并做如下近似计算

vx?t??t??vx?t??ax?t???t 公式2- 7 vy?t??t??vy?t??ay?t???t 公式2- 8

进而可知，若知道了跳伞者前一时刻的速度vx?t?、vy?t?和加速度ax?t?、、（8）式可以算得下一时刻速度ax?t??t?、ay?t??t?。这样，ay?t?，由（7）

只要给出跳伞者离机时的初始速度v0，就可以计算出跳伞者在任一时刻的速度。

参照模型Ⅰ中的雷诺数，我们令k=0.375，此外，以m=75kg，v0=125m.s-1，g=10N.kg-1作为一般值，将以上数据代入公式(2)后，并化简得：

0.375v2?750 a? 公式2- 9

75用a作为纵坐标，v为横坐标，利用MATLAB作图得到图5.2，如下所示（相关程序代码见附录3）

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图表 五-2 加速度a随速度v的变化曲线

3. 关于最佳跳伞时刻

我们发现，当跳伞员降落后，其加速度逐渐减小，直至减少为0。显然，根据曲线所反映的规律，我们可以看出当a=0，速度变为恒定，这时候便是开伞的最佳时期。

当a=0时，v2?2000。利用MATLAB编程（相关程序代码见附录4）对公式（9）的计算得v?20?52?44.72m?s?1。所以，当跳伞运动员速度降为44.72m.s-1时，既可以打开降落伞，以实现安全降落。

1六、 模型的评价

模块Ⅰ：在论证运动独立性上，我们通过建立相关数学模型，并利用

MATLAB软件编程作图，我们可以看出，跳伞运动员的速度会经过一个极小值

vmin，最后速度趋于vw。这时，运动员就可以打开降落伞了。但 “运动的独立性” 不是运动本身的特征，我们通过计算发现此模型建立的方程无解，说明当

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初速度大于一定值时，跳伞运动员在下降过程中就不会出现极小值了。因此，模块Ⅰ的结果的误差可能会比较大，可能不适于跳伞运动员采用。

在模块Ⅱ：首先，我们考虑跳伞运动员下降过程中的两个分运动；接着我们根据动力学方程在x、y轴方向的投影分别计列出出vx、vy的计算公式；最

后利用MATLAB软件编程作出a—v的曲线图，我们根据图形就可以看出加速度一直在减小，说明速度也一直在减小，也就是说跳伞运动员下降过程中不出现极小值。我们通过图形可以看出，当a=0时，跳伞运动员速度达到第一收尾速度。因此，当速度降为44.72m.s-1，就是跳伞运动员打开降落伞的最佳时刻了。

七、 参考文献

[1]徐峥嵘，徐州高等师范学院，跳伞运动员是做平抛运动吗？—对“运动的描述”中插图的质疑，物理教师，第29卷第四期，3，5，2008年

[2]韩振海，魏瑛源，徐州高等师范学院，浅析跳伞过程中的速度变化规律，物理通报，第1期，46，1998年

[3]田杨萌，周学麒，贾金萍，河北科技大学基础部，也谈“跳伞过程过程中的速度变化规律”，物理通报，第11期，24，1998年

八、 附录

附录1：clear clc

ezplot('v.^2-(375/(3+1.875*t)).^2-2000*((1-exp(-2*t*sqrt(0.05)))/(1+exp(-2*t*sqrt(0.05)))).^2',[0,140,10]) axis([0 100 0 140]) arrow([0 0],[0 140]) arrow([0 0],[100 0]) gtext('v-t曲线') gtext('t/s') gtext('v/m.s-1') gtext('w')

saveas(gcf,'jianmo1.jpg')

附录2：clc clear

10

t=solve('32*sqrt(5)*(1-exp(-20*t*sqrt(5)))*exp(-20*t*sqrt(5))/(1+exp(-20*t*sqrt(5)))^3-390.625/(0.625*t+1)^3') t=double(t); A=t==real(t); tt=t(A)

附录3：clear clc

v=linspace(125,0,1000); a=(0.375*v.^2-750)/75; plot(v,a)

axis([0 125 0 70]) arrow([40 0],[130 0]) arrow([40 0],[40 70]) gtext('a-v曲线') gtext('v/m.s-1') gtext('a/m.s-2')

saveas(gcf,'jianmo3.jpg')

附录4：clc clear

v=solve('v^2-2000')

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dke2.html