高考数学一轮复习 变量的相关关系和统计案例基础知识检测 文

a

变量的相关关系与统计案例

基础热身

1．对于自变量x和因变量y，当x取值一定时，y的取值带有一定的随机性，x，y之间的这种非确定性关系叫( )

A．函数关系 B．线性关系

C．相关关系 D．回归关系

2．分类变量X和Y

Y1Y2总计

X1a b a＋b

X2c d c＋d

总计a＋c b＋d a＋b＋c＋d

A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱

B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强

C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强

D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强

3．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图K56－1)，以下结论中正确的是( )

图K56－1

A．直线l过点(x，y)

B．x和y的相关系数为直线l的斜率

C．x和y的相关系数在0到1之间

D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同

4．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下表：

温度(x)010205070

溶解度(y)66.776.085.0112.3128.0若y与x

能力提升

5．工人月工资y(元)关于劳动生产率x(千元)的回归方程为y＝650＋80x，下列说法中正确的个数是( )

①劳动生产率为1000元时，工资为730元；

②劳动生产率提高1000元，则工资提高80元；

③劳动生产率提高1000元，则工资提高730元；

④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：

a

a

6万元时销售额为( )

A．63.6万元 B．65.5万元

C．67.7万元 D．72.0万元

7．在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是( )

A．若χ2＝6.635，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病

B．从独立性检验可知，有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时，我们说某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病

C．若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关系，是指有5%的可能性使得推断出现错误

D．以上三种说法都不正确

8．变量X与Y相对应的一组数据为(10,1)，(11.3,2)(11.8,3)，(12.5,4)，(13,5)；变量U与V相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4)，(11.8,3)，(12.5,2)，(13,1)，r1表示变量Y与X之间的线性相关系数，r2表示变量V与U之间的线性相关系数，则( ) A．r2

C．r2<0

9．已知x、y

如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为y＝bx＋

2

，则b＝( )

A.1

3

B．－

1

2

C.

1

2

D．1

10．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4

________度．

11．对一些城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(元)统计调查后知，y与x具有相关关系，满足回归方程y＝0.66x＋1.562.若某被调查城市居民人均消费水平为7.675(千元)，则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为________%(保留两个有效数字)．

12．为了探究电离辐射的剂量与人体的受损程度是否有关，用两种不同剂量的电离辐射照射小白鼠，在照射后

a

合计203050

进行统计假设是________________________________________________________________________．

13．为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y之间的关系：

时间x12345

命中率y0.40.50.60.60.4

小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．

14．(10分)某中学采取分层抽样的方法从应届高三学生中按照性别抽出20名学生作为样

男女

文科25

理科103

(1)3人中既有男生也有女生的概率；

(2)用假设检验的方法分析有多大的把握认为该中学的高三学生选报文理科与性别有

关？参考公式和数据：χ2＝n ad－bc2

.

P(χ2≥K0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 K0 2.07 2.71 3.84 5.02 6.647.8810.83

15．(13分)以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：

房屋面积(m2)11511080135105

销售价格(万元)24.821.618.429.222

(1)

(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；

(3)根据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．

难点突破

a

16．(12分)某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表： 推销员编号 1 2 3 4 5

工作年限x /年 3 5 6 7 9

推销金额y /万元 2 3 3 4 5

(1)求年推销金额

(2)求年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程；

(3)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．

(参考数据： 1.04≈1.02；由检验水平0.01及n －2＝3，查表得r 0.01＝0.959)

答案解析

【基础热身】 1．C [解析] 由相关关系的概念可知，C 正确．故选C.

2．C [解析] 因为χ2＝n ad －bc 2

a ＋

b a ＋

c b ＋

d c ＋d

，当(ad －bc )2越大时，χ2越大，说明X 与Y 关系越强．故选C.

3．A [解析] 由题设给出的图像知两变量负相关，则相关系数为负值，则C 错，相关系数r 是研究相关性大小的，b 为直线的斜率，则B 错，回归分析得到的直线为与所有点距离和最小的，与点在直线两边的个数无关，D 错，故答案为A.

4．0.8809 [解析] x ＝30，y ＝93.6，∑i ＝15

x 2i ＝7900，∑i ＝1

5x i y i ＝17035，

所以回归直线的斜率b ＝

∑i ＝1

5

x i y i －5x y

∑i ＝1

5x 2

i －5x 2

＝17035－5×30×93.67900－4500

≈0.8809. 【能力提升】

5．C [解析] 将数据代入方程计算可判断①②④正确．故选C.

6．B [解析] x ＝4＋2＋3＋54＝3.5，y ＝49＋26＋39＋544

＝42，由于回归方程过点(x ，

a

y)，所以42＝9.4×3.5＋a，解得a＝9.1，故回归方程为y＝9.4x＋9.1，所以当x＝6时，y＝6×9.4＋9.1＝65.5.

a

7．C [解析] 根据独立性检验的思想知，选项C 正确．

8．C [解析] 对于变量Y 与X 而言，Y 随X 的增大而增大，故Y 与X 正相关，即r 1>0；对于变量V 与U 而言，V 随U 的增大而减小，故V 与U 负相关，即r 2<0.

∴r 2<0

9．B [解析] 因为x ＝3，y ＝5，又回归直线过点(x ，y )，所以5＝3b ＋132，所以b ＝－12. 10．70 [解析] 气温的平均值x ＝14(18＋13＋10－1)＝10，用电量的平均值y ＝14

(24＋34＋38＋64)＝40.因为回归直线必经过点(x ，y )，代入得40＝－2×10＋a ，解得a ＝60.故线性回归方程为y ＝－2x ＋60.

当x ＝－5时，y ＝－2×(－5)＋60＝70，所以预测当气温为－5℃时，用电量度数约为70度．

11．83 [解析] 将y ＝7.675代入回归方程得x ＝9.262，所以估计该城市人均消费额占

人均工资收入的百分比约为7.6759.262

≈0.83.

12．小白鼠的死亡与电离辐射的剂量无关 [解析] 根据独立性检验的基本思想，可知类似反证法，即要确认“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立．对本题进行统计分析时的统计假设应是“小白鼠的死亡与剂量无关”．

13．0.5 0.53 [解析] y ＝0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.45＝2.55

＝0.5；x ＝1＋2＋3＋4＋55

＝3. b ＝x 1－x

y 1－y

＋…＋x 5－x y 5－y x 1－x 2＋…＋x 5－x 2＝0.01，a ＝y －b x ＝0.5－

0.01×3＝0.47，所以回归方程为：y ＝0.47＋0.01x ，所以当x ＝6时，y ＝0.47＋0.01×6＝0.53.

14．[解答] (1)设样本中两名男生分别为a ，b,5名女生分别为c ，d ，e ，f ，g ，则基本事件空间为：(abc )，(abd )，(abe )，(abf )，(abg )，(acd )，(ace )，(acf )，(acg )，(ade )，

(adf )，(adg )，(aef )，(aeg )，(afg )，(bcd )，(bce )，(bcf )，(bcg )，(bde )，(bdf )，(bdg )，

(bef )，(beg )，(bfg )，(cde )，(cdf )，(cdg )，(cef )，(ceg )，(cfg )，(def )，(deg )，(dfg )，

(efg )共35种，其中既有男又有女的事件为前25种．

故“抽出的3人既有男生又有女生”的概率为P ＝2535＝57

. (2)χ2＝20×50－627×13×12×8

≈4.43>3.84，对照参考表格，结合考虑样本是抽取分层抽样抽取的，可知有95%以上的把握认为学生选报文理科与性别有关．

15．[解答] (1)省略：

(2)x ＝15∑i ＝15

x i ＝109，∑i ＝1

5 (x i －x )2＝1570，

a

y ＝23.2， i ＝1

5

(x i －x )(y i －y )＝308.

设所求回归直线方程为y ＝bx ＋a ，

则b ＝3081570

≈0.1962，

a

a ＝y －

b x ＝23.2－109×3081570≈1.8166. 故所求回归直线方程为y ＝0.1962x ＋1.8166.

(3)据(2)，当x ＝150 m 2时，销售价格的估计值为 y ＝0.1962×150＋1.8166＝31.2466(万元)．

【难点突破】 16．[解答] (1)由∑i ＝15 (x i －x )(y i －y )＝10，∑i ＝15

(x i －x )2＝20，∑i ＝1

5 (y i －y )2＝5.2，

可得r ＝∑i ＝15

x i －x

y i －y

∑i ＝15 x i －x

2∑i ＝1

5

y i －y 2＝10

104≈0.98.

即年推销金额y 与工作年限x 之间的相关系数约为0.98.

(2)由(1)知，r ＝0.98＞0.959＝r 0.01，

所以可以认为年推销金额y 与工作年限x 之间具有较强的线性相关关系．

设所求的线性回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，

则b ^＝∑i ＝1

5

x i －x

y i －y ∑i ＝1

5 x i －x

2＝1020

＝0.5，a ^＝y －b ^x ＝0.4. 所以年推销金额y 关于工作年限x 的线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4.

(3)由(2)可知，当x ＝11时，y ^＝0.5x ＋0.4＝0.5×11＋0.4＝5.9万元．

所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．

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