高等数学7.8空间直线及其方程

§7.8 空间直线及其方程一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量、直线的对称式方程、直线的参数方程

三、两直线的夹角两直线的夹角及夹角余弦、两直线平行与垂直的条件

四、直线与平面的夹角直线与平面的夹角、夹角正弦 直线与平面平行与垂直的条件

五、杂例平面束

一、空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面 1和 2的交线. 如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 A 1x B 1y C 1z D 1 0和A 2x B 2y C 2z D 2 0, z 那么直线L上的任一点的坐标应满足方程组 A1 x B1 y C1 z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0.

1L

2

反过来，如果点M不在直线 L 上， 那么它不可能满足上述方程组.因此， 直线L可以用上述方程组来表示. 上述方程组叫做空间直线的一般方程. x O y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. z s

O x

y

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. 确定直线的条件： 当直线L上一点M 0 (x 0 ,y 0 ,x 0 ) 和它的一方向向量 s {m,n,p} 为已知时，直线L的位置就完全确定了. O x y z s M0

二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量： 如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这 条直线的方向向量. 确定直线的条件： 当直线L上一点M 0 (x 0 ,y 0 ,x 0 ) 和它的一方向向量 s {m,n,p} 为已知时，直线L的位置就完全确定了. O x y z s M0

直线的对称式方程： 设直线L上一点M0(x0 , y0 , x0)和它的一方向向量 s {m, n, p} 为已知， 再设点M (x, y, z) 为直线L上的任一点， 那么向量 M 0 M 与L的方向向量 s 平行.所以两向量的对应坐标成比例，由于M 0 M {x x 0,y y 0,z z 0},

zs M0 M

s {m,n,p}, 从而有x x0 y y0 z z0 , m n p

此方程组就是直线 L 的方程，叫做 直线的对称式方程或点向式方程. x

O

y

方向数： 直线的任一方向向量的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向 数，而向量的方向余弦叫做该直线的方向余弦. 直线的参数方程： 设x x0 y y0 z z0 t, m n p

那么 x x0 mt , y y0 nt , z z pt. 0

这个方程组就是直线的参数方程.

x y z 1 0, 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 2 x y 3z 4 0. y z 2, 解 令x 1,有 y 3z 6. 解此方程组，得y 0,z 2,于是

得直线上的一点(1,0, 2). 平面x + y + z + 1=0和2x y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n1 {1,1,},n2 {2, 1,3} 所求直线的方向向量可取为i j k s n1 n2 1 1 1 4i j 3k. 2 1 3

x y z 1 0, 例1 用对称式方程及参数方程表示直线 2 x y 3z 4 0. y z 2, 解 令x 1,有 y 3z 6. 解此方程组，得y 0,z 2,于是得直线上的一点(1,0, 2). 平面x + y + z + 1=0和2x y + 3z + 4= 0的法线向量分别为 n1 {1,1,},n2 {2, 1,3} 所求直线的方向向量可取为 s n1 n2 4i j 3k.x 1 y z 2 所给直线的对称式方程为 . 4 1 3 x 1 y z 2 令 t, 4 1 3 x 1 4t , 得所给直线的参数方程为 y t , z 2 3t.

三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角. 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1 {m1,n1,p1}和n2 {m2,n2,p2}, 那么L1和L2的夹角j 就是(s1,^s2)和( s1,^s2) p (s1,^s2)两者中的锐 角，因此cos j |cos(s1,^s2)|. 直线L 1和L 2的夹角j可由| m1m2 n1n2 p1 p2 | 2 2 2 m12 n12 p12 m2 n2 p2

cos j 来确定.

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L 1、L 2互相垂直相当于m 1m 2 n 1n 2 p 1p 2 0; 两直线L 1、L 2互相平行或重合相当于m1 n1 p1 . m2 n2 p2

x 1 y z 3 x y 2 z 的夹角. 和L2: 例2 求直线L1: 1 4 1 2 2 1

解 两直线的方向向量分别为 s1 {1, 4,1}和s2 {2, 2, 1}.

设两直线的夹角为j ,则| 1 2 ( 4) ( 2) 1 ( 1) | 1 2 cos j 2 , 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 4) 1 2 ( 2) ( 1)

所以j

p4

.

四、直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹 p 角j(0 j< )称为直线与平面的夹角， 当直线与平面垂直时， 2 p 规定直线与平面的夹角为 . 2

设直线的方向向量和平面的法线向量分别为 s {m,n,p},n {A,B,C}, p 直线与平面的夹角为j ,那么j | (s,^n)|, 因此 2 sin j | cos(s,^n) |. 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 sin j | Am Bn Cp | . A2 B 2 C 2 m 2 n 2 p 2

因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线 向量平行，所以，直线与平面垂直相当于A B C . m n p

因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向 量与平面的法线向量垂直，所以，直线与平面平行或直线在平 面上相当于 A m B n C p 0.

例3方程.

求过点(1, 2,4)且与平面2x 3y z 4 0垂直的直线的

解 平面的法线

向量{2, 3,1}可以作为所求直线的方向向 量. 由此可得所求直线的方程为x 1 y 2 z 4 . 2 3 1

五、杂例例4 求与两平面 x 4z 3 和 2x y 5z 1 的交线平行且过点 ( 3,2,5)的直线的方程. 解 平面x 4z 3和2x y 5z 1的法线向量分别为 n1 {1,0, 4},n2 {2, 1, 5}, 两平面交线的方向向量为 i j k s n1 n2 1 0 4 (4i 3j k), 2 1 5 此向量可作为所求直线的方向向， 于是所求直线的方程为x 3 y 2 z 5 . 4 3 1

x 2 y 3 z 4 例5 求直线 与平面2x y z 6 0的交点. 1 1 2

解 所给直线的参数方程为 x 2 t,y 3 t,z 4 2t, 代入平面方程中，得 2(2 t) (3 t) (4 2t) 6 0.

解上列方程，得t 1. 将t 1代入直线的参数方程，得所求交点的坐标为 x 1,y 2,z 2.

例6 求过点(2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1 垂直相交的直线的方程.

P

L

M

例6 求过点(2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1 垂直相交的直线的方程. 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x 2) 2(y 1) (z 3) 0. 再求所作平面与已知直线的交点，令x 1 y 1 z t 3 2 1 得参数方程 x 1 3t ,y 1 2t ,z t .3 3 t . 将 t 代入参数方程， 将参数方程代入平面方程，得 7 7 2 13 3 x , y , z . 得 7 7 7

例6 求过点(2,1,3)且与直线 x 1 y 1 z 3 2 1 垂直相交的直线的方程. 解 先作一个过已知点且与已知直线垂直的平面，这个平面 的方程为 3(x 2) 2(y 1) (z 3) 0. 2 13 3 再求所作平面与已知直线的交点， 交点的坐标为( , , ). 7 7 7 2 13 3 以点(2,1,3)为起点，以点( , , )为终点的向量为 7 7 7 2 13 3 6 { 2, 1, 3} {2, 1,4}. 7 7 7 7 所求直线的方程为 x 2 y 1 z 3 . 2 1 4

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