中级微观经济学复习题及答案

一、简述题

1.如果我们看到在（y1，y2）可以同时得到的情况下，消费者却选择了（x1，，那么，（x1，x2）?（y1，y2）的结论是否正确？(第二章，题1) x2）

答：不正确，因为也可能是消费者恰好在这两个消费束之间无差异。也就是说，根据题目的已知条件我们只能断定（x1，x2）?（y1，y2），这是弱偏好。对本题加上什么样的假设前提，题目中的断定就是正确的？如果加上消费者的偏好是严格凸的这一限制条件，断定（x1，x2）?（y1，y2）就是正确的。因为严格凸性条件下，最优解若存在则只有一个。

22.若某个消费者的偏好可以由效用函数u(x1,x2)?10(x12?2x1x2?x2)?50来描

述，那么对消费者而言，商品1和商品2是完全替代的吗？为什么？（第二章，题5）

答：两种商品完全替代即它们的边际替代率为常数。边际替代率是在消费者保证效用相等的条件下，用一种商品替代另一种商品的比率。因此有： 商品1的边际效用为MU1=du /dx1=10(2x1 +2 x2) 商品2的边际 效用为MU2= du /dx2=10(2x1 +2 x2)

商品1对商品2的边际替代率MRS12= MU1 / MU2 =1。满足完全替代品的效用函数特征，因此这个说法是正确的。

3.假定消费者购买x和y两种商品，起初，

MUxPx，若Px下降，Py保持?MUyPy不变，再假定x的需求价格弹性大于1，则y的购买量会不会发生变化？（第三章，题3）

答：原来消费处于均衡状态。设消费者花在x商品上的支出为m1，则

m1?pxx。对该式求px的导数有，

?dm1dxdxpx??px?x?x?1??，因x的需求dpxdpx?dpxx?dm1?0，即随着价格下降，消费者花在xdpx价格弹性大于1（绝对值），所以有

商品上的支出会增加。那么，消费者花在y商品上的支出会减少，从而y的购买

1

量会减少。

4.生产函数为Q=F (K, L)＝K（第五章，题2）

答：?t?1，F(tK,tL)?(tK)0.25?(tL)0.25?t0.5K0.25L0.25?tK0.25L0.25?tF(K,L)，故规模报酬递减。

5．柯布-道格拉斯生产函数为f(x1,x2)?Ax1x2。其规模报酬的情况取决于???的大小。问与不同规模报酬相应的???的值分别是多少？（第五章，题3）

答：?t?1，f(tx1,tx2)?t????????Ax1x2?t????f(x1,x2)，故柯布-道格拉斯

0.250.25L，问生产过程中呈现何种规模报酬？

??生产函数f(x1,x2)?Ax1x2的规模报酬性质取决于???值的大小 （1) ????1,f(tx1,tx2)?t??????????f(x1,x2)?tf(x1,x2)，规模报酬递增； ?f(x1,x2)?tf(x1,x2)，规模报酬递减； ?f(x1,x2)?tf(x1,x2)，规模报酬不变。

（2）????1,f(tx1,tx2)?t（3）????1,f(tx1,tx2)?t6.要素报酬递减和规模报酬递减有什么区别？能否用生产函数

Q?L0.6K0.3 为例加以说明（L表示劳动、K表示资本）。（第五章，题5）

解：（1）要素报酬递减是指在一定技术水平条件下，若其他生产要素不变，连续地增加某种生产要素的投入量，在达到某一点后，总产量的增加会递减。而规模报酬递减是指当各种要素同时增加一定比例时，产出量的增加会出现递减的现象。

（2）二者的区别可以用生产函数K保持不变，只有L发生变化，则

为例加以说明。设在此函数中，，

。所

以，L的边际产量递减，说明在此生产函数中要素的边际报酬是递减的。当L、K同时以的比例增加时，

。可见

产量增加的比例要小于生产要素增加的比例，生产函数呈现为规模报酬递减。

2

7.分析企业短期成本函数图形中边际成本曲线通过短期平均成本曲线最低点的原因；（第六章，题1）

答：设企业的成本函数为成本。平均成本函数为

要使平均成本值达到最小，则必要条件为

，其中

为可比成本、为固定

即。

表明当短期平均成本达到最小时，短期平均成本等于边际成本。即边际成本曲线从下而上穿过短期平均成本曲线最低点。

8.简要说明企业的短期平均成本曲线和长期平均成本曲线均成U型的原因。（第六章，题2）

答：虽然企业的短期平均成本曲线和长期平均成本曲线均成U形，但二者的原因是不同的。短期平均成本（SAC）曲线呈U形源于要素的边际报酬递减规律。边际报酬递减规律是指，假定其他投入品固定不变，当某种投入品增加时，这种增加过程达到一定程度之后，便会出现边际报酬递减的现象。这一规律意味着企业的短期生产中，随着可变要素投入量的增加，其边际报酬（边际上增加的产量）并非从始至终都递减，而是先有一个递增的过程。从而企业的平均可变成本（AVC）恰好反过来，表现为先递减后递增的过程。另一方面，短期中企业的平均固定成本（AFC）是始终递减的。当企业产量增加使得平均可变成本的上升幅度超过平均固定成本的下降幅度时，短期平均成本就会增加，从而短期平均成本呈现为先递减后递增的过程。

长期平均成本（LAC）曲线呈U形源于企业长期生产中随着资本规模的扩大而呈现出的先规模经济后规模不经济的特征。在规模经济阶段，长期平均成本是递减的，而在规模不经济阶段，长期平均成本是递增的。

3

9.分析在企业短期生产中，它即使亏损也将仍然继续生产的原因。（第七章，题1）

答：对完全竞争厂商而言，最优供给量由

决定。即在每一个给定的

成立。这意味

价格水平P，完全竞争厂商应该选择最优产量Q，使得

着在价格P和厂商的最优产量Q之间存在一一对应的关系。而厂商的SMC曲线恰好准确地表明了这种商品的价格和厂商的短期供给量之间的关系。

结合成本曲线图形分析，在企业短期生产中： 当市场价格P> P0时，平均成本小于市场价格，所以企业是盈利的，定然提供供给；

当市场价格P1

（1）若不生产。利润=R-TC＝0-FC=-FC，即企业亏损额度为固定成本； （2）若继续生产。利润＝R-TC=P*Q-(AVC+AFC)*Q=(P-AVC)*Q-FC，而此时P>AVC,所以企业生产要比不生产时的利润大，即企业仍然亏损但亏损额度小于固定成本。为此，企业将继续生产并根据边际成本等于边际收益（市场价格）的原则来确定生产数量。

当P< P1时，企业将停止生产，因为此时产品销售收入尚不足以弥补可变成本的投入。

4

P MC AC AVC P0 P1 Q 所以，完全竞争厂商的短期供给曲线是SMC曲线上等于和高于AVC曲线最低点的部分。在企业短期生产中，它即使亏损也将仍然继续生产。

10.重复博弈是实现博弈合作均衡的充分条件吗？为什么？（第十一章，题1）

答：重复博弈不是实现合作均衡的充分条件。在重复博弈中，各方能够展开合作的前提是尽管合作博弈的单次收益低于一次违约所得，但长期合作的总收益要大于违约所得。因此，重复博弈若要实现合作均衡还须满足三个条件：（1）博弈必须是重复无穷次或博弈方不知到博弈何时结束。设想博弈重复次数为有限的N次，那么在第N次博弈中是不会有合作均衡的，因为没有未来合作的可能，博弈双方都将根据当次博弈的支付矩阵来做出决策，从而陷入囚徒困境的格局之中。进一步分析，第N-1次博弈也不会有合作的均衡，因为在进行第N-1次博弈时，博弈双方预期到第N次博弈不会有合作的结果，故他们将仅根据第N-1次博弈的支付矩阵来做出决策，该次博弈同样陷入囚徒困境的格局。依此类推，第N-2次、N-3次，直至第1次博弈都不会有合作的均衡结果出现。（2）博弈双方都采取“冷酷战略”。即博弈双方从选择合作开始，只要对方一直合作，另一方也会一直合作下去，若发现对方偷偷采取了不合作的策略，便由此采取不合作的策略直至永远。采取“冷酷战略”将极大的提高对违约行为的惩罚，迫使博弈方采取合作的态度。（3）贴现因子

足够大。这里的代表利率水平。这个

条件是说，将来的收益贴现之后还比较值钱。即人们对时间比较有耐心，而不是只图眼前利益。

11.某博弈的报酬矩阵如下：

（1）如果（上，左）是占优策略均衡，那么a、b、c、d、e、f、g之间必须满足哪些关系？尽量把所有必要的关系式都写出来。

5

（2）如果（上，左）是纳什均衡，（1）中的关系式哪些必须满足？ （3）如果（上，左）是占优策略均衡，那么，它是否必定是纳什均衡？为什么？（第十一章，题2）

答：（1）如果（上，左）是占优策略均衡，则“上”是甲的上策，有而且“左” 也是乙的上策，有

，

。

、

成立。

，

；

（2）如果（上，左）是纳什均衡，则只需

（3）因为从（上，左）是占优策略均衡的条件可以看出，它必定是纳什均衡。

12.厂商的要素使用原则是什么？它与厂商的利润最大化产量原则有何联系？（第十二章，题2）

答：厂商在生产要素的使用上遵循边际成本等于边际收益的原则，做到要素给企业带来的“边际收益产出”等于企业额外使用一单位要所带来的“边际支出”。这一要素使用原则与企业利润最大化的产量原则相一致。

以竞争性要素市场为例展开分析，在竞争性要素市场中，企业额外使用一单生产要素的边际支出为要素的市场价格。设企业的厂商函数为短期中设资本规模不变

。则有

其中，为劳动要素市场的工资率，即额外雇用一单位劳动的边际成本。利润最大化原则要求

。从而，

，变形后得到

，，在

表明要素使用原则与利润最大化产量原则是一致的。

13.假设两家厂商分别生产X产品和Y产品，且生产Y产品的厂商对生产X产品的厂商产生了负的外在性。请结合经济学理论并运用数理工具分析这一外在性对社会资源配置带来的影响。（第十四章，题1）

答：为简单起见，假定厂商只使用劳动这一种生产要素。根据题意可设X厂商的生产函数为有

，由于Y厂商对X厂商产生了负的外在性，故

。

。同时，设Y厂商的生产函数为

6

从社会的角度看，市场实现资源有效配臵的条件是。

劳动被用于X商品的生产时，由于不存在外在性，其社会边际收益产出为：

劳动被用于Y商品的生产时，由于存在负的外在性，其社会边际收益产出为：

在竞争性的要素市场中，企业将根据劳动的边际收益产出等于工资率的原则来决定劳动雇用的最优数量，但劳动的边际收益产出不是从社会角度而是从企业（私人）角度进行计算的。

对于X厂商而言，决定劳动最优雇用量的条件式为

；

对于Y厂商而言，决定劳动最优雇用量的条件式为由于X厂商的生产不存在外在性，故有所以

，从而

，又因为

。 ，。这意

味由于外在性的存在，竞争性市场将导致劳动要素被过度配臵到Y商品的生产上

14.简述对污染企业征收庇古税的经济机理以及庇古税具体实施中存在的问题？（第十四章，题2）

答：“庇古税”方案是庇古在1920年出版的《福利经济学》一书中阐释的。按照庇古的观点，导致市场配臵资源失效的原因是经济当事人的私人成本与社会成本不一致，从而私人的最优导致社会非最优。因此，纠正外在性的方案是政府通过征税来矫正经济当事人的私人成本。

假定Y商品的生产对其他商品存在负的外在性，那么私人成本低于社会成本。以PMC和SMC分别表示生产Y的私人和社会边际成本。如下图所示，假定该商品的市场需求决定的边际收益为MR，那么市场自发作用的结果是

所决定的所决定的

，而社会实现资源有效配臵所应该有的产量则是。为了使Y产品的产量达到

，可行的方案是政府征收

7

税收，比如从量税，以便使PMC曲线上移至SMC曲线的位臵，从而所决定的产量恰好等于

。

15.若通过市场机制来提供公共产品，它能够在竞争性市场中以有效率的方式进行生产吗？（第十四章，题4）

答：在竞争性市场中，公共品不能以有效率的方式进行生产。

假设市场是完全竞争的，消费者消费的商品中有一种是公共品X，另一种是私人物品Y。假定消费者1和2消费X的边际效用分别为的边际效用分别为分别为

和

和

和

，消费Y

。因而，两个消费者关于X对Y的边际替代率

如果生产是有效率的并且市场是完全竞争的，那么在市场均衡状态下将有

从社会的角度来看，根据公共品的非排他性特征，对增加一单位公共品X而言，社会由此得到的边际效用为

因此，社会关于X对Y的边际替代率为

同样地，社会实现帕累托效率的条件是两种商品的社会边际替代率等于这两种商品的边际转换率，即

8

当生产处于帕累托最优状态时，社会关于这两种商品的边际转换率等于私人的产品转换率，即

从上述分析，不难看出

共品的供给数量将导致供给相对不足

。这意味着由竞争性市场来决定公

。故有

二、图解题

1.假定面粉的供应是配给的，政府商品以每公斤1元的价格向消费者供应面粉，每人顶多可以买5公斤，不足部分可以在自由市场购买，价格是每公斤5元。请做图画出一个货币购买力是30元的消费者的预算约束线。假定现在面粉的供应放开，免费的市场价格为一公斤2元。请在图中画出这个消费者的新的预算约束线。如果前后两种情况对这个消费者是无差异的，你怎样把这个事实在图中表现出来？（第二章，题6）

答：假设其他商品的价格为P，在消费者购买面粉少于5公斤的情况下，预算约束方程为：

式中，X为其他商品的购买量，Y为面粉的购买量； 当消费者购买面粉多于5公斤的情况下，预算约束方程为：

即

其预算约束线如下图所示的预算约束线1。 当面粉价统一为每公斤2元时，预算约束方程为：

其预算约束线如下图所示的预算约束线2。

如果两种情况下对消费者无差异，则消费者的无差异曲线同时相切于两条预算线。如图无差异曲线U0同时与预算线1和预算线2相切。

9

2.用无差异分析方法分析免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，哪一种给消费者带来的效用更高？（第二章，题7）

答：免费发给消费者一定量的实物与发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，根据无差异曲线位置的不同，给消费者带来的效用不同。

如下图所示，消费者初始的预算线为AB，当免费发给消费者AC量的实物Y时，消费者的预算线为CD，如果发给消费者按市场价格计算的这些实物折算的现金，则消费者的预算线为CF。

当无差异曲线和CD段的预算线相切，如U2，无论发放现金还是发放实物给消费者带来的效用是相同的，

当无差异曲线和DF段的预算线相切，如U4，而发放实物的预算线为CD

10

线段，所以消费者的最大效用只能达到U3，此时发放现金比发放实物给消费者带来的效用大。

3.某消费者原来每月煤气开支为50元，煤气的某些用途如取暖等可用电替代。现在煤气价格上涨100％。其他商品价格不变，政府给予消费者50元作价格补贴，请作图分析该消费者处境是改善了还是恶化了？（第二章，题8）

答：该消费者的处境改善了，因为该消费者得到50元的补贴后可以多消费电来替代煤气，由于电价未变，他完全可以籍此改善自己的处境。

如图所示，MN代表原来的预算线，MN1代表煤气涨价100%，但未给补贴的预算线，AB代表给了50元补贴后的预算线。由于消费者原来消费煤气50元，煤气价上涨100%后，政府补贴50元恰好使消费者能消费原数量的煤气，故AB线通过初始的消费均衡点E1，并与MN1线平行。从图可以看出，面对新的预算线AB，消费者的最优消费组合是E2。在此消费组合，消费者得到的效用水平U2大于煤气涨价前的效用水平U1，表明消费者通过少消费煤气、多消费电的方式改善了自己的处境。

4.政府对居民征税一般有两种办法，一种是征消费税，另一种是征所得税，不论采取哪一种办法征税，政府征收的税额都是一样的，那么哪一种征税办法对居民更为有利些？（第二章，题9）

答：假定该消费者只消费两种商品，征税前，消费者的预算约束为

。对商品1征收消费税后，消费者的预算约束变为

。消费税的效果如下图所示。

11

商品2

征消费税时的消费 初始消费 征所得税时的消费 商品1

。现在

如果用（，）表示税后消费水平，则征税所能得到的税收为

假定改换税种，但征收同样数额的所得税。消费者的预算约束变为

。这是条斜率为

并通过（

，

）的直线。所以，尽管

征收同样数量的税，但相对于消费税而言，消费者缴纳所得税能获得更高的效用水平。

5. 某消费者的收入为M，用来消费商品X和Y（X、Y均为正常商品）。初始，X的价格为PX1、Y的价格为PY1。现在商品X的价格下降为PX2，而Y的价格仍维持不变。请作图并分析价格变化给消费者带来的收入效应、替代应及总效应。（第三章，题4）

答：在收入水平维持在M、商品Y的价格仍维持在PY1不变的情况下，商品X的价格从PX1下降为PX2将导致预算线以其与纵轴的交点为原点发生逆时针旋转（如下图所示）。从而，消费者对两种商品的需求量均发生变化，这种变化可以分解为替代效应和收入效应。

对于X商品来说，替代效应为X2－X1，收入效应为X3－X2，总效应为X3－X1；

对于Y商品来说，替代效应为Y2－Y1，收入效应为Y3－Y2，总效应为Y3－Y1。

12

6.政府为了提高农民收入对收购粮食采取保护价（即高于市场出清的价格），并按保护价敞开收购。请作图并分析政府的粮食价格支持政策对农民的生产者剩余、消费者剩余的影响和政府为此所付出的成本及社会总福利的变化。（第八章，题1）

答：

上图是对政府农产品价格支持政策福利损益的描绘。在支持价格PS下，消费者购买了Q1数量的产品，生产者生产了Q2数量的产品。政府要维持 PS的价格，就必须买入 Qg数量的产品。由此，生产者的剩余变化为?PS?A?B?D；消费者的剩余变化为?CS??A?B；政府购买农产品以维持价格PS的成本为

(Q2?Q1)PS；总剩余变化为?PS??CS?政府成本=D－(Q2－Q1)PS

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7.结合供求曲线图形分析从量税对社会福利的影响。（第八章，题4） 答：如下图所示，对每单位产品征收t的从量税，使得市场供给曲线向上平移t个单位，即从S上移至S’，由此形成的均衡为（Pb，Q1）。故消费者剩余的变化为△CS＝－A－B；

对生产者而言，虽然产品卖出的价格为Pb，但他们实际得到的价格为Pa，因为每单位产品要缴纳t的从量税。图形显示Pb－Pa=t，故生产者剩余的变化为：

△PS =－C－D；

政府的税收为：(Pb－Pa) t=A+D。

故总剩余的变化为：△CS +△PS +政府税收=－B－C。

8.简述寡头垄断厂商之间进行价格博弈时，它们的需求曲线呈现折拗形状的原因；（第十章，题1）略

9.相对于完全竞争的产品市场而言，为什么垄断竞争的产品市场会导致经济缺乏效率？（第十章，题2）略

10.结合图形推导简要说明为个体劳动供给曲线向后弯曲的原因。（第十二章，题5）

答：当投入品是劳动要素时，决定劳动供给的是效用最大化原则。在劳动者的效用函数中，不仅仅收入是一个重要的变量，闲暇也是一个重要的变量。劳动者总是在收入与闲暇之间进行权衡以达到效用最大化。从下图可以看出，当工资率从每小时10元提高到20元后，闲暇时间从16小时每天上升到了18小时每天，即劳动者每天的工作时间随着工资率的提高不仅没有增加反而减少了。其中原因

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是工资率提高给劳动者带来的收入效应（闲暇时间增加4小时）不仅抵消了它所带来的替代效应（工作时间增加2小时），而且还导致了工作时间减少2小时。

三、计算题

1.假设某消费者的消费预算为 24 美元，他的效用函数为

U(x1,x2)?x1*x2，起初商品1和商品2的价格分别为1美元和2美元。后来，

在其他条件不变的情况下，商品2的价格上升为3美元。请在下列各相应的括号里填写正确的答案。

（1）该消费者对商品1的需求函数为( )：对商品2的需求函数为( )。 （2）价格变化之前，对商品1的需求量为( )；对商品2的需求量为( )。 （3）当商品2的价格上升为3美元后，如果要保持原来的两种商品的消费水平不变，那么他的消费预算应调整为( )；根据他的新消费预算该消费者对商品2的最佳消费量应为( )；价格变化对商品2所带来的替代效应为( )。

（4）如果消费者并没有改变自己的消费预算，仍旧将24美元都用于消费这两种商品，那么他对商品2的消费实际上将是( )；价格变化对商品2所带来的收入效应为( )。（第三章，题5）

解：（1）设商品1和2的价格分别为p1，p2，则消费者的问题为：

maxx1x2

st. p1x1?p2x2?24 构造的拉格朗日函数为：

L?x1x2??(p1x1?p2x2?24)

将拉格朗日函数分别对x1和x2求偏导，令偏导值为零

?L?x2??p1?0 ?x1?L?x1??p2?0 ?x2所以

x2x1?，即p1x2?p2x2，从而2p1x1?24，2p2x2?24 p1p21212，x2?

p2p115

可解出x1?

（2）因为p1?1，p2?2，所以x1?12，x2?6。

（3）消费水平不变即消费效用不变，故要维持U?x1x2?72。消费者问题为：

min(x1?3x2)

st. x1x2?72 构造的拉格朗函数为：

L?x1?3x2??(x1x2?72)

将拉格朗日函数分别对x1和x2求偏导，令偏导值为零

?L?1??x2?0 ?x1?L?3??x1?0 ?x22所以x1?3x2，从而3x2?72，可解出x2?26，x1?66，预算应调整为

126。对商品2带来的替代效应为26?6

（4）如果预算仍为24，则消费者对商品2的需求为x2?给其带来的收入效应为4?26。

2. 假定某消费者的效用函数为U?q0.5?3M，其中，q为某商品的消费量，M为收入。求：

（1）该消费者的需求函数；

1（2）当价格p?，q?4时的消费者剩余。（第三章，题11）

12解：（1）消费者收入的边际效用为： ???U?3 ?M12?4，价格变化p2 该消费者最优消费量应满足的条件为

?U?qp?1?1/q22p???3

所以消费的需求函数为：

16

q?1/2?6p?q?1 236p （2）当p?11144时，有q???4 1236p236 消费者剩余为：

444?111?1141??dq?q?qq?0? Cs??(p?p(q))dq???00?6q?03123q12???3.某甲拥有财富100万元，明年他有可25%的可能性会丢失一辆价值36万元的小汽车，假设他的效用函数为U?W，W为他的财富。请解答以下问题：

（1）如果他不参加明年的保险，他的期望效用是多少？

（2）如果他参加保险，他最多愿意支付多少保险费用？（第四章，题3） 解：（1）期望效用等于效用的期望值，即EU=0.25×100-36+0.75×100 =9.5 （2）设甲支付的保险费为R，显然R应满足下式： 100 5?R?9.即购买保险后的效用不低于不买保险下的期望效用。可解得

R?9.7 5甲最高愿意支付的保险费为9.75。

4.一个人具有期望效用函数，其效用函数原形为u(w)?w。他的财产初值为4元。他拥有一张奖券，该奖券值12元的概率为0.5，值零的概率为0.5。什么是这个人的期望效用？若要他出让该彩票，其索取的最低价会是多少？（第四章，题6）

解：拥有这张奖券的期望效用为 EU(w)=0.54?12?0.54=3

若让他出让该彩票，他索取的最低价应当使他出让前后效用水平不变，设该价格为p，有U(w+p)=EU(w)，从而4?p?3

解得 p=5．即他索取的最低价是5元。

5.某人有10万元的存款，存入银行可以获取2%的利率。他可以将一部分钱投入股票市场，现在假设股票市场仅仅存在一种股票，收益率和方差服从正态分布N(0.1,1)，他对于均值和方差的偏好为U(?,?)?10???2，他应该将多少

17

钱投入到股票市场上？（第四章，题8）

解：设投资者将x比例的钱投放到股票市场上，则他存入银行的比例为（1-x）。这样，可以把其投资看成是含有一种风险资产的投资组合。其中，无风险利率

rf?2%，风险资产的期望收益率rm?10%，标准差?m?1。

则投资组合的期望收益率

rx?xrm?(1?x)xf?x?10%?(1?x)?2%?0.08x?0.02 标准差?x?x?m?x

则对投资组合的偏好可表示为：

U(rx,?x)?10(0.08x?0.02)?x2

x?0. ??x2?0.8 2U?(rx,?x)??2x?0.8?0 得：x?0.4

即投资者应将10×0.4=4（万元）的钱投放到股票市场上。 6.厂商的生产函数为Q?24LK3123 ，生产要素L和K的价格分别为??4，

r?8。求厂商的长期成本函数。（第六章，题4）

解：厂商长期中的最优化问题为：

min(4L?8K)

st. Q?24L3K3 拉格朗日方程为：

V?4L?8K??(24LK312312?Q)

2?V?2?4?8?L3K3?0 ?L1?1?V?8?16?L3K3?0 ?KQ 24Q所以LTC(Q)?4L?8K?

2

从而有L?K，即L?K? 18

7.已知某厂商的生产函数为Q?L38K58，又假设w?3，r?5，试求： （1）产量Q?10时的最低成本和使用L与K的数值。

（2）总成本为160美元时厂商均衡的Q、L与K的数值。（第六章，题8）

35解：(1)由生产函数Q?L38K58，有MPL?L?58K58，MPK?L38K?38，既

88定产量下成本最小的要素投入比例应满足的条件是

MPLw3?? MPKr5583?58LK8从而

538?LK83K3K3???，即?1

L585L所以，当Q?10时，有K?L?10，最低成本为TC?80 (2)最优投入时有K?L，所以Q?L38K58?K?L 故企业才长期成本函数为TC(Q)?rK?wL?5Q?3Q?8Q 当TC(Q)?160时，有Q?20

此时K?L?20

8.一项生产技术为Q??min(2L,2K)?，劳动和资本的价格均为1。某厂商若购买此项专利技术，则在专利的有效期内可垄断该产品市场，有效期过后，任何厂商都可以生产该产品。市场对该产品的需求函数为p?1000?1.5Q。

（1）该产品的要素需求函数和成本函数。 （2）该厂商最多愿意出多少钱购买此项技术？

（3）若政府对该产品征收50%的从价税，该厂商愿意出多少钱购买此项技术？（第六章，题9）

解：（1）由题中给出的生产函数，可得厂商在最优生产时，满足：

12Q?2L?2K 1L?K?Q2即为要素需求函数。

211所以成本函数为C?1?Q2?1?Q2?Q2

22（2）厂商出钱买此技术必须至少不出现亏损。设专利技术费用为T，厂商

19

购买此技术后其利润为：

??pQ?C?T?(1000?1.5Q)Q?Q2?T??2.5Q2?1000Q?T，且??0

d???5Q?1000?0，得Q*?200，此时C?Q2?40000，??100000?T?0 dQ所以Tmax?100000

厂商最多愿意支付100000用于购买此技术。

（3）如果政府征收50%的从价税，此时价格为1.5p，市场需求变为

Q?1(1000?1.5p)，仍设其购买专利技术费用为T，此时，厂商的利润函1.5数为：

?????1000??Q?Q?Q2?T，且???0 ?1.5?d??1000??4Q?0，得Q*?167 dQ1.5此时???55555?T?0，故Tmax?55555

9.某竞争行业所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，当用最优的企业规模生产600单位产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，市场需求函数为Q=70000-5000P，供给函数为Q=40000+2500P，求解下列问题：

（1）市场均衡价格是多少？该行业处于短期均衡还是长期均衡？ （2）当处于长期均衡时，该行业有多少厂商？答案：100家

（3）如果市场需求变化为Q=100000-5000P，求行业与厂商新的短期均衡价格与产量，在新的均衡点，厂商盈利还是亏损？（第七章，题3）

解：(1) 由于市场需求函数为QD=70000-5000P，供给函数为QS=40000+2500P，所以市场均衡价格应满足QS?QD，从而，均衡价格为P?4。由于该价格等于长期平均成本的最低值，所以该行业中的企业获得零经济利润，实现了长期均衡。

(2)当P?4时，QE?QS?QD?50000。又因为所有厂商的规模都相等，都是在产量达到500单位时达到长期平均成本的最低点4元，所以企业数为100。

(3) 如果市场需求变化为Q=100000-5000P，则由QS?QD，可得均衡价格

20

为P?8。此时，每家企业的产量为

60000?600。用最优企业规模生产600单位100产量时，每一个企业的短期平均成本为4.5元，所以均衡价格高于短期平均成本，企业是盈利的。

10.已知某完全竞争的成本不变行业中的单个厂商的长期总成本函数LTC(Q)= Q3-8Q2＋30Q （第七章，题4）

（1）求该行业长期均衡时的价格和单个厂商的产量。

（2）求市场的需求函数为Qd=870－5P时，行业长期均衡时的厂商数目。

解:（1）因为LTC?Q??Q3?8Q2＋30Q，所以LAC?Q??Q2?8Q＋30 由

?LAC(Q)?0，得Q?4，minLAC?Q2?8Q＋30?14 ?Q即单个厂商的产量为4，价格为14。

（2）因为Qd?870－5P，P?14，所以Q总?870－5P=800 所以行业长期均衡时的厂商数目为200个。

11.完全竞争行业中某厂商的成本函数为STC?Q3?6Q2?30Q?40，成本用美元计算，假设产品价格为66美元。

（1）求利润极大时的产量及利润总额；

（2）由于竞争市场供求发生变化，新的均衡价格为30美元，在新的价格水平下，厂商是否会发生亏损？如果会，最小的亏损额是多少？

（3）该厂商在什么情况下才会退出该行业？（第七章，题6） 解：（1）厂商的短期成本函数为STC?Q3?6Q2?30Q?40 则 SMC?dSTC dQ即 SMC?3Q2?12Q?30

又知P=66美元，而利润极大化的条件为P=SMC。 即66?3Q2?12Q?30 解得：Q=6，Q=?2

显然，产量不应是负值，故Q=6 因此利润极大值为：π=TR?TC

?PQ?(Q3?6Q2?30Q?40)

21

?66?6?(63?6?62?30?6?40)

?176

即利润极大值为176美元。

（2）由于市场供求发生变化，新的价格为P=30美元。根据P=MC所决定的均衡产量计算利润为正还是为负。不论利润极大还是亏损最小，均衡条件都为P=MC，即30=3Q2?12Q+30，∴Q=4，Q=0（没有经济意义，舍去）。利润

π?TR?TC?PQ?(Q3?6Q2?30Q ?40)?30?4?(43?6?42?30?4?40)??8

可见，当价格为30元时，厂商会发生亏损，最小亏损额为8美元。

（3）厂商退出行业的条件是P＜AVC的最小值。

?STC?Q3?6Q2?30Q?20,VC?Q3?6Q2?30Q

∴AVC?VC?Q2?6Q?30 QdAVC?0 dQ要求AVC最低点的值，只要令即2Q?6?0 解得：Q=3

当Q=3时，AVC?32?6?3?30?21

可见，只要价格P＜21，厂商就会停止生产。

12已知成本函数为C(Q)?Q2?5Q?4，求厂商的供给函数和利润函数。（第七章，题7）

dCQ2?5Q?2Q?5，AVC?解：根据短期成本函数，有MC??Q?5。故dQQ当Q?0时，AVC达到最小，且minAVC?5。

所以，企业的短期供给方程为P?2Q?5（P?5）。转化为习惯形式即：

Q?15P? （P?5）。 2222

25???15?5???1?1利润函数为?(P)?PQ?C(Q)?P??P?????P???5?P???4?

2??2?2???2?2??2?化简后为?(P)?1259P?P? 42413.一个垄断厂商拥有两个工厂，两工厂的成本函数分别为：工厂1，

2工厂2，；市场的需求曲线为P?31?Q,TC?5?9Q1?Q12；TC?4?10Q2?0.5Q2求总产量、产品价格以及各个工厂的生产数量。（第九章，题3）

解：该垄断者的利润函数可表述为：

2 ??[31?(Q1?Q2)](Q1?Q2)?(5?9Q1?Q12)?(4?10Q2?0.5Q2)

2 ?22Q1?21Q2?2Q12?2QQ12?1.5Q2?9

由

?????0，?0，得： ?Q1?Q222?4Q1?2Q2?0 21?2Q1?3Q2?0 故有Q1?3，Q2?5 从而，Q总?8，P?23

14.某垄断竞争市场中一厂商的长期总成本函数为：

LTC?0.001Q3?0.425Q2?85Q

假设该市场中不存在进入障碍，产量由该市场的整个产品集团调整。如果产品集团中所有厂商按同样比例调整它们的价格，出售产品的实际需求曲线为：

Q?300?2.5P

（1）计算厂商长期均衡产量和价格。（第十章，题3） （2）计算厂商主观需求曲线上长期均衡点的弹性。

（3）若厂商主观需求曲线是线性的，导出厂商长期均衡时的主观需求曲线。 解：（1）由LTC?0.001Q3?0.425Q2?85Q，得：

LAC?0.001Q2?0.425Q?85

同时，由Q?300?2.5P，得P?120?0.4Q

23

长期均衡时，实际需求曲线必然和LAC曲线在均衡点相交。令LAC=P，则有：

0.001Q2?0.425Q?85?120?0.4Q

Q2?25Q?35000?0

解得Q?200，所以P?120?0.4?200?40。

（2）长期均衡时，主观需求曲线必然和LAC曲线相切，且MR=MC 由LTC?0.001Q3?0.425Q2?85Q，得LMC?0.003Q2?0.85Q?85 当Q?200时，LMC?0.003?40000?0.85?200?85?35 因此，达到长期均衡时，可得MR?35 运用公式MR?P(1?解得ed??8

（3）假定主观需求曲线为P?a?bQ，这里a，b均为常数。

11)，即35?40(1?) ededdQ因为ed?所以

QPdP?dQP???8，Q?200，P?40 dPQdQ1??40，即主观需求曲线的斜率b????0.025 dP40故有40?a?0.025?200，解得a?45 从而主观需求曲线为P?45?0.025Q

15.在某些垄断竞争市场中，实现长期均衡时的均衡价格Pe，此时的均衡点是代表性厂商的需求曲线与其长期平均成本（LAC）曲线相切之点。因而

Pe?LAC。已知代表性厂商的长期成本函数和需求函数分别为：

LTC?0.0025Q3?0.5Q2?384Q，P?A?0.1Q

上式中的A是集团内厂商数目，在长期均衡条件下，求代表性厂商的均衡价格和产量以及A的数值。（第十章，题4）

解：从LTC?0.0025Q3?0.5Q2?384Q

24

得LMC?0.0075Q2?Q?384

2 LAC?0.002Q5?0.Q?5 384从P?A?0.1Q中得MR?A?0.2Q

长期均衡时，一方面LMC?MR，另一方面LAC?P，于是有

0.0075Q2?Q?384?A?0.2Q 0.0025Q2?0.5Q?384?A?0.1Q 解方程组可得Q?80，A?368

把Q?80，A?368代入P?A?0.1Q可得：P?368?0.1?80?360 16.两个捕鱼企业的成本函数为：C(qi)?Qqi(i?1,2)，其中Q?q1?q2。已知市场上鱼的价格恒定为P。求：

（1） 当实现纳什均衡时，两家企业的捕鱼量和利润；

（2） 若两家企业合并成一家，那么捕鱼量和利润又是多少？（第十章，

题7）

解：（1）单独捕鱼的情况

?1?pq1?(q1?q2)q1，?2?pq2?(q1?q2)q2

??1???0?p?2q1?q2?0，2?0?p?q1?2q2?0 ?q1?q2pp，q1?； 33 解得：q1?ppppp2ppppp2?1?p??(?)?，?2?p??(?)?

3333933339（2）两家捕鱼企业合并

???1??2?p(q1?q2)?(q1?q2)2，令q1?q2?Q

故有???1??2?p(q1?q2)?(q1?q2)2?pQ?Q2

d?p?0?p?2Q?0?Q? dQ2 25

pp2p2???p???

24417. 某行业存在着N（N?2）家相同的企业，每家企业的成本函数相同，

2?N，c?0)。市场需求函数为P?a?bQ，即成本函数为C(qi)?cqi(i?1，Q??qi。通过古诺模型下的均衡产量和价格的决定证明当企业个数N??时，

i?1N市场均衡价格会等于企业的边际成本，即当企业家数无穷多时，市场结构会趋于完全竞争。（第十章，题8）

证明：企业j的利润为

?j(q1,q2,?qN)?(a?b?qk)qj?cqj。 （1）

k?1N所谓古诺均衡是指存在一个产量向量q?(q1,q2,?qN)，使得每一个企业的利润都达到最大。这就是说，当所有别的企业的产量qk?qk(k?j)时，qj必须使（1）式中的利润极大化。于是，令

N******??j(?)?0，我们有 ?qj*a?2bq?b?qk?c?0 （2）

*jk?j即a?c?b?qk?1N*k?bq*j （3）

注意到（3）式中的左端与我们考虑的企业j是谁无关。因此，在古诺均衡时，所有企业的bq*必须等于（3）中的左端。所以

bq*?a?c?bNq* （4）

换言之

q*?a?c （5）

(N?1)b*通过（5）式，我们知道对每个企业j来说，在古诺均衡状态下的最优产量qj 26

为qj?*a?c j?1,2,?,N; （6）

(N?1)bN*因此，总产量为?qj?j?1N(a?c) （7）

b(N?1)所以，p?c?a?c?N(a?c)(N?1)(a?c)?N(a?c)a?c???0

N?1N?1N?1但是，当N??时，p?c。即价格会接近于边际成本。这就是说当企业个数无数多时，市场结构会趋于完全竞争。

18.双寡头垄断企业的成本函数分别为：C1=20Q1，C2=2Q2，市场需求曲线为P=400-2Q，其中Q=Q1+Q2

（1）求出古诺均衡下的产量、价格和利润；

（2）求出斯塔克博格模型下的产量、价格和利润。（第10章，题8） 解：(1)设寡头1的产量为Q1，寡头2的产量为Q2，两个寡头都将对方的产量视为既定，做出自己最优的产量决策。从而，

寡头1的产量决策是以下问题的解：

maxQ1?400?2(Q1?Q2)?Q1?20Q1 (1) ?400?2(Q1?Q2)?Q2?2Q22 (2)

寡头2的产量决策是以下问题的解：

maxQ2将(1)、(2)分别对Q1和Q2求偏导，令值为零，得到

380?4Q1?2Q2?0 (3) 400?2Q1?8Q2?0 (4) 联立(3)、(4)，可求得：Q1?80、Q2?30，P?180。而且，

?1?180?80?20?80?12800

?1?180?30?2?900?3600

(2)从两个寡头的成本函数，可以看出寡头1有成本优势，是先做出决策的一方。

首先，求出寡头2的产量反应函数。根据上面的(4)式有

27

1Q2?50?Q1 (5)

4齐次，基于寡头2的产量反应函数，写出寡头1的最优决策问题

maxQ1?400?2(Q1?Q2)?Q1?20Q1

1s..tQ2?50?Q1

4求解寡头1的最优决策问题，可以得到

28080，Q2?，P?160 3328028039200?1?160??20??

33380640025600?2?160??2??

39319.如果某行业是由一个价格领导（主宰）企业和50个小企业组成，该行业Q1?2的需求函数为Q?1000?50P，每个小企业的成本函数为C2?0.5q2，而大企业的

成本函数为C1?q1。试求：（第十章，题11）

（1）领导企业的需求函数；

（2）领导企业的利润最大化产量是多少？市场的总供给量是多少？

2解：（1）由C2?0.5q2，得MC2?q2。

设价格领导者确定的价格为P，每个小企业都是市场价格的接受者，根据MC=P的原则来确定供给数量。

所以q2?P为每个小企业的供给函数。

从而，领导者的需求函数为q1?1000?50P?50P?1000?100P （2）由q1?1000?100P，得P?10?0.01q1 领导者的利润函数为

?1?(10?0.01q1)q1?q1?9q1?0.01q12

??1?9?0.02q1?0 ?q1解得q1?450

从而P?10?0.01q1?5.5

28

故每家小企业的供给量为q2?5.5 市场的总供给量为q?450?50?5.5?725

20.男生和女生各有自己的爱好。周末到了，男生喜欢看足球赛、女生喜欢看演唱会。但对恋爱中的男生和女生来说，不管去做什么事情，能在一起总比分开好。下图是男生和女生博弈的支付矩阵。请求解出该博弈的混合策略纳什均衡。（第11章，题4）

解：设男生看足球赛的概率为p，看演唱会的概率为（1－p）；女生看足球赛的概率为q，看演唱会的概率为（1－q）。

男生的收益R1?2pq?(1?p)(1?q)?3pq?p?q?1 女生的收益R2?pq?2(1?p)(1?q)?3pq?2p?2q?2 将R1、R2分别对p、q求偏导，令值为0，有

3q?1?0 3p?2?0

故p?21，q? 33?21??12?即该博弈的混合策略纳什均衡是男生以?,?的概率、女生以?,?的概

?33??33?率分别选择看足球赛和演唱会。

21.假设某企业为其产品和要素市场上的完全垄断者，其生产函数为Q=2L，其中L为生产中使用的劳动力数量。若该企业的需求函数为Q=110-P，劳动的供给函数为L=0.5W-20。求生产者的产量为多少？在此产量下，劳动使用量L，商品价格P和工资W各为多少？（第十二章，题7）

解：?Q?2L,?MPL?2；

29

?Q?110?P，?P?110?Q，R?PQ?(110?Q)Q

?MR?110?2Q

?MRPL?MR?MPL?220?4Q

?w?40?2L

?C?wL?2L2?40L ?ME?40?4L

?MRPL?ME时，利润达到最大

?220?4Q?40?4L时利润达到最大

?Q?2L

?Q?30，L?15，P?80，w?70。

22.一个消费者要分配24小时给工作和休闲。她的效用来自于休闲时间R和收入I，她工作一小时的工资率为PL，她一天的效用函数为U(R,I)?48R?RI?R2。

（1）给出这个消费者的劳动供给函数。（第十二章，题9） （2）她工作的时间会随着工资率的增加而增加吗？ （3）不管工资率有多高，她的工作时间有一个极限吗？ 解：（1）消费者的目标是效用最大化，即

maxU(R,L)?48R?RI?R2 s.t.R?24?LI?L?L P所以，U?48(24?L)?(24?L)L?PL?(24?L)2?(24?L?L?P)(24?L) 令

?U?(1?PL)(24?L)?(24?L?L?P)(?1)?0 ?L得消费者的劳动供给函数为L?12PL 1?PL(2)因为

?L(1?PL)?12?12PL12???0 22?PL(1?PL)(1?PL)所以该消费者工作的时间会随着工资率的增加而增加。

30

(3) 由于L?12PL12??12

11?PL1?PL可得不管工资率有多高，她的工作时间不会超过12小时。

23.甲有300单位商品x，乙有200单位y，两人的效用函数都是u(x,y)?xy。请推导出所有满足帕累托有效的配置。两人通过交换达到帕累托有效配置，求出两人进行交换的价格体系，并求出交换结果。（第十三章，题2）

解：（1）设甲乙两人的消费束为：甲（x1，y1），乙（x2，y2）。 约束条件为：

x1?x2?300y1?y2?200 （1）

帕累托有效配置的条件是甲乙两人的无差异曲线相切，即

MRSx1,y1?MRSx2,y2即于是我们有

MUx1MUy1＝MUx2MUy2

y1y2＝ （2） x1x2y1300?y12＝?y1?x1 x1200?x132x1 3联立（1）、（2）得：

因此，所有满足怕累托有效配置的契约线为y1?（2）令x价格为1，y的价格为p，先求甲的效用最大化条件：

max u1(x1,y1)?x1y1

s..t x1?py1?300

解得：x1?150，y1?150 p再求乙的效用最大化条件：

max u2(x2,y2)?x2y2

s..t x2?py2?200p

解得：x1?100p，y1?100

31

由第（1）问中的契约线方程y1?2x1可求解出p?1.5 3此时x1?150，y1?100，x2?150，y2?100。

24.假设在一个纯交换经济中有两个消费者i?A,B和两种商品j?1,2。消费

ii者的初始禀赋wi?(w1消费者A的初始禀赋和效用函数分别为wA?(1,0)和,w2)。AA1??UA(x1A,x2)?(x1A)?(x2)；消费者B的初始禀赋和效用函数分别为wB?(0,1)和BB1??UB(x1B,x2)?(x1B)?(x2)。商品1和2的价格分别用p1和p2来表示。

（1）求竞争均衡（提示：在计算竞争均衡时可把商品1的价格标准化为1）。 （2）假设??12，??12，使市场出清的价格水平和均衡消费量分别为多少？（第十三章，题4）

解：（1）消费者A的效用最大化问题为：

AA1??maxUA(x1A,x2)?(x1A)?(x2)

st.p1x1A?p2x2A?pwA?p1

x1A?解得A? （1）

x2(1??)p1p2消费者B的效用最大化问题为：

BB1??maxUB(x1B,x2)?(x1B)?(x2)

B?pwB?p2 st.p1x1B?p2x2x1B?p2p1解得B? （2）

x2(1??)市场出清的条件为

x1A?x1B?1 （3）

ABx2?x2?1 （4）

32

令p1?1，由（1）、（2）、（3）、（4）可得：

p2?1???

BAx1A??，x2?1?? ??，x1B?1??，x2（2）当??12，??12时，市场出清的价格水平为p1?p2?1

Bx1A?x2A?x1B?x2?1 225.假定小王（A）和小李（B）的效用函数分别为： UA?xAyA UB?xB?yB （1）请针对两人分别写出x对y的边际替代率公式。

（2）如果交易通过价格体系来实施，请写出均衡时的（可行的）价格比率。 （3）假定共有100单位的x和200单位的y。最初，小王有25单位的x和75单位的y，而小李有75单位的x和125单位的y。请说明经过市场交易后，均衡时两人分别拥有的两种商品的数量。（第十三章，题5）

MUxAyA解：(1)小王(A)的x对y的边际替代率公式为MRS? ?MUyAxAAxyMUxB小李(B)的x对y的边际替代率公式为MRS??1 BMUyBxy(2)如果交易通过价格体系来实施，均衡时的价格比率必须满足条件：

AMRSxy?PyAB?MRSxy?1?x xAPyPx?1 Py 所以均衡时的价格比为

AA(3)小王的初始禀赋配置为：(wx,wy)?(25,75)，小李的初始禀赋配置为：BB(wx,wy)?(75,125)。假设经过市场交易后，均衡时两人拥有的商品的数量组合***分别为(x*A,yA)，(xB,yB)。

33

*******均衡时，(x*A,yA)?(xB,yB)?(xA?xB,yA?yB)?(wx,wy)?(100,200) ***即x*，?x?100y?yABAB?100 ①

A由（1）可得，均衡时MRSxy?yA*?1，所以x*?yAA ② xA同时，小王和小李必须满足各自的预算约束：

*AAPxx*?Py?Pw?PwAyAxxyy ③ **BB ④ PxxB?PyyB?Pxwx?Pywy由(2)得

Px?1，所以③、④两式可化简为 Py*AAx*?y?w?wAAxy?25?75?100 ⑤ **BBxB?yB?wx?wy?75?125?200 ⑥

综合①、②、⑤、⑥四式可得均衡时两人分别拥有的商品数量为：

***(x*A,yA)?(50,50)，(xB,yB)?(50,150)

(4)图略。

26.假定两个具有相同偏好的人同居一室，他们的效用来自看电视的时间x与所吃的零食量y。效用函数由下式给出

1323iui(x，yi)?xy （i=1, 2）

又假定每个人要花30元，px?10元，py?10元，并且假定两人是一起看电视的（禁止单独收看电视）。问：这两个人该如何配置自己的收入，才符合萨缪尔森规则？（第十四章，题5）

解：由已知的效用函数可得，

iMRSX,Y?uiy )??x?i (i?1,2?ui2x?yi式中，x为公共品（看电视的时间），yi为私人品（个人i的小吃量）。 按照萨缪尔森规则有

2MRS1?MRS?X,YX,Yy1y2y1?y2???MRTX,Y 2x2x2x 34

MRTX,Y的值已由两种商品的价格显示出来，即MRTX,Y?px10??5 py2由于两人偏好相同，在最优解时y1?y2?y；又由于x（看电视）是两人一

2?MRSX?起享受的，所以MRS1X,Y,Yy1y22yy????5 2x2x2xx即yi*?5x*

但由预算约束可知，pxx*?pyyi*?30 (i?1,2 )求解出x*?1.5，yi*?7.5

四、证明题

1.一个企业的生产函数为Q?Q(x1,x2,?xn)，Q为产出，xi为投入的第i种要素的数量。（第六章，题5）

（1）用数学方法给出该企业处于规模报酬递增的表达；

（2）证明：把该规模报酬递增的企业一分为二，产出之和小于原来产出 证明：（1）生产函数为Q?Q(x1,x2,?xn)满足规模报酬递增的条件是：设t为任一大于1的数值，有Q(tx1,tx2?txn)?tQ(x1,x2?xn)。

（2）根据规模报酬递增函数的性质有

Q(2?xxx1xxx,2?2?2?n)?2Q(1,2?n) 222222x1x2xn,?)，这表明把规模报酬递增的企业一分为222所以Q(x1,x2?xn)?2Q(二，产出之和小于原来产出。

2.试证明在完全竞争的市场上，如果一个企业的生产技术具有规模报酬不变的特性，那么如果最大利润存在，它一定是零。（第七章，题11）

证明：采用反证法。在完全竞争市场上，假设一个具有规模报酬不变的厂商

******??pf(x,x)?wx?wx?0。其中，p是产品的?121122可以获得正的最大利润，则

**wwxx2112价格，和是生产要素的价格，和是最优投入要素。

那么，当厂商的生产规模扩大为原来的t(t?1)倍时，厂商的利润为：

35

****??pf(tx1,tx2)?tw1x1?tw2x2 ** ?t[pf(1x,2x)?*w?11x*w]x2 2 ?t?*??*

这就和?是最大利润相矛盾，所以厂商的最大利润只能是零。

3.试证明：在完全竞争的市场经济当中，存在满足生产和交换同时实现帕累托最优的条件。(第十三章，题6)

AB证明：生产和交换的帕累托最优条件是MRTxy?MRSxy，即产品的?MRSxy*边际替代率等于边际转换率。现在证明在完全竞争的市场经济条件下，存在满足生产和交换同时实现帕累托最优的条件。

(1)在完全竞争条件下，对产品X、Y的消费者A来说，效用最大化的条件是两种产品的边际替代率等于其价格比，即：

AMRSXY?PX PY对消费者B来说，也有

BMRSXY?PX PY因此，产品X、Y的均衡价格达到了交换的帕累托最优状态，即

ABMRSXY?MRSXY?PX PY(2)在完全竞争条件下，对产品X、Y的生产者A来说，利润最大化的条件是投入要素L，K的边际技术替代率等于价格比，即

AMRTSLK?w rw r对生产者B来说，也有

BMRTSLK?因此，要素L，K的均衡价格达到了生产的帕累托最优状态，即

ABMRTSxy?MRTSxy?PX PY 36

(3)生产可能性曲线，即产品转换率曲线上任何一点的边际转换率是曲线在这一点切线的斜率的量值，即

MRTXY??dYMCX ?dXMCY而在完全竞争条件下，企业的最优产量满足MCX?PX，MCY?PY 所以MRSXY?PX?MRTXY PY因此，产品X、Y的均衡价格达到了生产和交换的帕累托最优状态。 4.在两种商品交换的经济体中，两个人（a，b）有如下的效用函数：

Ua(Xa)?lnX1a?2lnX2a，Ub(Xb)?2lnX1b?lnX2b，假定a最初的资源禀赋

Ra?(9,3)，即a拥有9个X1和3个X2；而b最初的资源禀赋为Rb?(12,6)，即b拥有12个X1和6个X2。定义两种商品X1和X2的价格之比

P1并标准??，

P2*化商品2的价格P（第十三章，题7） 2?1。证明：均衡的价格水平??0.5。

证明：对消费者a来说，应满足如下目标函数：

X1a,X2aMaxUa(Xa)?lnX1a?2lnX2a

s..tP1X1a?X2a?9P1?3 构造拉格朗日函数为：

L?lnX1a?2lnX2a??(PX11a?X2a?9P1?3) 由一阶条件可得：

?L1???P1?0 ?X1aX1a?L2????0 ?X2aX2a?L?P1X1a?X2a?9P1?3?0 ??联立解得：X1a?3P1?1，X2a?6P1?2 P137

对消费者b来说，应满足如下目标函数：

X1b,X2bMaxUb(Xb)?2lnX1b?lnX2b

s..tP1X1b?X2b?12P1?6 构造拉格朗日函数为：

L?2lnX1b?lnX2b??(PX11b?X2b?12P1?6) 由一阶条件可得：

?L2???P1?0 ?X1bX1b?L1????0 ?X2bX2b?L?P1X1b?X2b?12P1?6?0 ??联立解得：X1b?8P1?4，X2b?4P1?2 P1市场出清时应有：

X1a?X1b?3P8P?41?1?1?9?12?21

PP11解得P1?0.5

故均衡的价格水平?*?

P1?0.5 P2 38

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