九年级数学（下）提高班讲义（三） - 二次函数的实际应用

九年级数学下提高班讲义（三） 第1页 共8页

九年级数学（下）提高班讲义（三）

——二次函数的实际应用

班级： 姓名：

例题讲解：例1：某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完，该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售数量x（千件）的关系为：

[来源:Zxxk.Com]??15x?90?0＜x≤2? y1???5x?1302≤x＜6????若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为：

[ww#w.zzs^tep.~*com%]??100?0＜t≤2?y2?????5t?110?2≤t＜6?[www.z%#z&ste*@p.com]

（1） 用x的代数式表示t为：t＝ ；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为y2＝ ；

当≤x＜ 时，y2＝100；

（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内的销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；

（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

同步练习：某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元．则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．

(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；

(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?

(3)每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元?根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元?

[w~ww.zz&step%.#com@]来源%:中教网九年级数学下提高班讲义（三） 第2页 共8页

例2：知识迁移： 当a?0且x?0时，因为(x?aa2)≥0,所以x?2a?≥0,从而

xxx?aa≥2a(当x?a时取等号).记函数y?x?(a?0,x?0),由上述结论可知：当 xxx?a时,该函数有最小值为2a. 直接应用：已知函数y1?x(x?0)与函数y2?得最小值为_________.

变形应用：已知函数y1?x?1(x??1)与函数y2?(x?1)2?4(x??1),求指出取得该最小值时相应的x的值.

实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共360元；二是燃油费,每千米为1.6元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为0.001.设该汽车一次运输的路程为x千米,求当x为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多．．．．．．．．．．少元？

问题背景

若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为： s??x?函数的最大值. 提出新问题

若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题

若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：y?2(x?问题就转化为研究该函数的最大（小）值了. 解决问题

借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数y?2(x?21(x?0), 则当x?_________时,y1?y2取 xy2的最小值,并 y11x(x﹥0），利用函数的图象或通过配方均可求得该21)（x﹥0），x1)（x﹥0）的最大（小）值. x九年级数学下提高班讲义（三） 第3页 共8页

（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数y?2(x?1)（x﹥0）的图象： x

（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当

1x= 时，函数y?2(x?)（x﹥0）

x有最 值（填“大”或“小”），是 . （3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求

11x(x﹥0）的最大值，请你尝试通过配方求函数y?2(x?)（x﹥0）2x2的最大（小）值，以证明你的猜想. 〔提示：当x＞0时，x?(x)〕

二次函数s??x?2

例3：如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； (2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系

h=?1(t?19)2+8(0?t?40)且当水面到顶点C的距离不大于5m128时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

九年级数学下提高班讲义（三） 第4页 共8页

同步练习：如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m.

（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式；

（2）现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km（桥长忽略不计）.货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知：前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨（货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行）.试问：如果货车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由.若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米？

巩固练习：

1、某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每 辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出） （1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 _________ 元（用含x的代数式表示）； （2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？ （3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？

九年级数学下提高班讲义（三） 第5页 共8页

2、某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这种薄板的形状均为正方向，边长在（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）有基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．

薄板的边长（cm） 20 出厂价（元/张） 50 30 70 2

（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价﹣成本价）， ①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．

②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？ 

3、为鼓励大学毕业生自主创业，某市政府出台了相关政策：由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．李明按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系近似满足一次函数：y=﹣10x+500．

（1）李明在开始创业的第一个月将销售单价定为20元，那么政府这个月为他承担的总差价为多少元？

来#@源*:zzste&p.com~]（2）设李明获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （3）物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果李明想要每月获得的利润不低于300元，那么政府为他承担的总差价最少为多少元？

4、某瓜果基地市场部为指导该基地种植某蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情

九年级数学下提高班讲义（三） 第6页 共8页

况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了两个方面的信息，如图所示，请你根据图象提供的信息说明： （1）在3月从份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少 元？ （2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由。 每千克售价（元）每千克成本（元）

55 4433

22 11 01234567月01234567月 甲乙

5、某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体鱼池，培育不同品种的鱼苗，他已备足可以修高为1.5m，长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD＝EF＝BC＝xm.（不考虑墙的厚度） （1）若想水池的总容积为36m，x应等于多少？

（2）求水池的容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围； （3）若想使水池的总容积V最大，x应为多少？最大容积是多少？

3

6、大学生王强积极响应“自主创业”的号召，准备投资销售一种进价为每件40元的小家电.

九年级数学下提高班讲义（三） 第7页 共8页

通过试营销发现，当销售单价在40元至90元之间（含40元和90元）时，每月的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数，其图象如图所示. （1）求y与x的函数关系式.

（2）设王强每月获得的利润为p（元）,求p与x之间的函数关系式；如果王强想要每月获得2400元的利润，那么销售单价应定为多少元？

7、某电子厂商投产一种新型电子产品，每件制造成本为18元，试销过程中发现，每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的关系可以近似地看作一次函数y=﹣2x+100．（利润=售价﹣制造成本）

（1）写出每月的利润z（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；

（2）当销售单价为多少元时，厂商每月能获得350万元的利润？当销售单价为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？

（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售单价不能高于32元，如果厂商要获得每月不低于350万元的利润，那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元？

8、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，

九年级数学下提高班讲义（三） 第8页 共8页

一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg．针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题：

(1)当销售单价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润；

(2)设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x的函数关系式； (3)商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

9、某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且y?ax2?bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元。 （1）求y与x之间的关系式；

（2）投产后，这个企业在第几年纯利润最大？第几年就能收回投资？

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/djx3.html