离散型随机变量的均值与方差

第7讲 离散型随机变量的均值与方差

【2014年高考会这样考】 1.考查有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念. 2.利用离散型随机变量的均值、方差解决一些实际问题.

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考点梳理离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为 X P (1)均值 x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 称E(X)=_____________________________为随机变量X的均 x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn

数学期望 平均水平 值或_________,它反映了离散型随机变量取值的________.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

(2)方差

xi-E X 2pi i= 1 称D(X)= ______________为随机变量X的方差，它刻画了

n

平均偏离程度 算术平方根 随机变量X与其均值E(X)的_____________,其__________ D X ________为随机变量X的标准差.

【助学· 微博】两个防范 在记忆D(aX+b)=a2D(X)时要注意：(1)D(aX+b)≠aD(X)

+b,(2)D(aX+b)≠aD(X).三种分布 (1)若X服从两点分布，则E(X)=p,D(X)=p(1-p); (2)若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p); M (3)若 X 服从超几何分布，则 E(X)=n N .抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

六条性质 (1)E(C)=C(C为常数); (2)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数);

(3)E(X1+X2)=EX1+EX2;(4)如果X1,X2相互独立，则E(X1· 2)=E(X1)E(X2); X (5)D(X)=E(X2)-(E(X))2;

(6)D(aX+b)=a2· D(X)(a,b为常数).

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考点自测1.(2013· 日照二模)已知随机变量 ξ 的分布列为：P(ξ 1 =k)= ,k=1,2,3,则 D(3ξ+5)等于 3 A.6 C.3 D.4 1 E(ξ)=(1+2+3)× =2, 32 2 2

(

).

B.9

解析2

1 14 E(ξ )=(1 +2 +3 )× = 3 3 14 2 2 ∴D(ξ)=E(ξ )-(E(ξ)) = -2 = . 3 32 2

∴D(3ξ+5)=9D(ξ)=6.

答案

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2.已知X的分布列为X P -1 1 2 0 1 3 1 1 6

设Y=2X+3,则E(Y)的值为7 A. 3 B.4 C.-1 D.1

(

).

解析

1 1 1 E(X)=- + =- , 2 6 3

2 7 E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=- +3= . 3 3

答案

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3.设随机变量X~B(n,p),且E(X)=1.6,D(X)=1.28,

则A.n=8,p=0.2 C.n=5,p=0.32 解析

(B.n=4,p=0.4 D.n=7,p=0.45

).

∵X~B(n,p),∴E(X)=np=1.6,

n=8, D(X)=np(1-p)=1.28,∴ p=0.2.

答案

A

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4.(2013· 成都五校联考)从一批含有13件正品，2件次品的 产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品 数为ξ,则E(5ξ+1)= ( ).

A.2解析

B.1

C.3

D.4

A3 22 13 ξ 的可能取值为 0,1,2.P(ξ=0)= 3 = . A15 35

C1C2 A3 12 C2C1 A3 1 2 13 3 2 13 3 P(ξ=1)=

= .P(ξ=2)= = . 3 A15 35 A3 35 15

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所以，ξ 的分布列为 ξ P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

22 12 1 2 于是 E(ξ)=0× +1× +2× = . 35 35 35 5 2 故 E(5ξ+1)=5E(ξ)+1=5× +1=3. 5

答案

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5.(2013· 韵关调研)有一批产品，其中有12件正品和4件次 品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次

数，则D(X)=________.解析答案 1 1 3 9 3, ,∴D(X)=3× × = . ∵X~B 4 4 4 16

9 16

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考向一

离散型随机变量的均值和方差

【例1】 (2012· 新课标全国)某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售， 如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(1)若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n(单位：枝，n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝),整理得

下表：

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日需求量n频数

14 15 16 17 18 19 20 10 20 16 16 15 13 10

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润(单位： 元),求X的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进

16枝还是17枝？请说明理由.[审题视点] (1)根据日需求量分类求出函数解析式.(2)①根 据当天的需求量，写出相应的利润，列出分布列，求出数 学期望和方差，②比较两种情况的数学期望或方差即可.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

解

(1)当日需求量n≥16时，利润y=80.

当日需求量n<16时，利润y=10n-80.所以 y 关于 n 的函数解析式为 10n-80,n<16, y= 80,n≥16

(n∈N).

(2)①X可能的取值为60,70,80,并且P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X的分布列为 X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7

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X的数学期望为E(X)=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76. X的方差为D(X)=(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80- 76)2×0.7=44. ②答案一：花店一天应购进16枝玫瑰花.理由如下： 若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元), 那么Y的分布列为 Y P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54

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Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+85× 0.54=76.4. Y的方差为D(Y)=(55-76.4)2×0.1+(65-76.4)2×0.2+(75- 76.4)2×0.16+(85-76.4)2×0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出，D(X)<D(Y),即购进16枝玫瑰花 时利润波动相对较小.另外，虽然E(X)<E(Y),但两者相差不 大.故花店

一天应购进16枝玫瑰花.

答案二：花店一天应购进17枝玫瑰花.理由如下：若花店一天购进17枝玫瑰花，Y表示当天的利润(单位：元), 那么Y的分布列为

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Y P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

Y的数学期望为E(Y)=55×0.1+65×0.2+75×0.16+ 85×0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出，E(X)<E(Y),即购进17枝玫 瑰花时的平均利润大于购进16枝时的平均利润.故花店一 天应购进17枝玫瑰花.

(1)求离散型随机变量的均值与方差关键是确定随机变量的所有可能值，写出随机变量的分布列，正确运 用均值、方差公式进行计算. (2)要注意观察随机变量的概率分布特征，若属二项分布 的，可用二项分布的均值与方差公式计算，则更为简单.抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

【训练1】 A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名 队员，A队队员是A1、A2、A3,B队队员是B1、B2、B3, 按以往多次比赛的统计，对阵队员之间的胜负概率如

下：对阵队员 A1 和 B1 A2 和 B2 A3 和 B3 A 队队员胜的概率 2 3 2 5 2 5 A 队队员负的概率 1 3 3 5 3 5

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现按表中对阵方式出场胜队得1分，负队得0分，设A队， B队最后所得总分分别为X,Y (1)求X,Y的分布列；(2)求E(X),E(Y).解 (1)X,Y 的可能取值分别为 3,2,1,0.

2 2 2 8 P(X=3)= × × = , 3 5 5 75 2 2 3 1 2 2 2 3 2 28 P(X=2)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 75 2 3 3 1 2 3 1 3 2 2 P(X=1)= × × + × × + × × = , 3 5 5 3 5 5 3 5 5 5 1 3 3 3 P(X=0)= × × = ; 3 5 5 25抓住1个考点 突破3个考向 揭秘3年高考

根据题意 X+Y=3,所以 8 28 P(Y=0)=P(X=3)= ,P(Y=1)=P(X=2)= , 75 75 2 3 P(Y=2)=P(X=1)= ,P(Y=3)=P(X=0)= . 5 25X 的分布列为 X 0 1 2 5 2 3

3 P 25

28 8 75 75

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