电子科大 信号与系统 (4)

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信号与系统

Signals and systems

第四章 连续时间信号与系统的傅立叶分析 Fourier analysis of continuous time signals and systems1

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4.1 LTI连续时间系统的频率响应LTI系统

f (t )

h(t )

y (t )

F f (t ) F ( )

F y (t ) Y ( )

LTI连续时间系统的线性常系数微分方程描述：y ( N ) (t ) aN 1 y ( N 1) (t ) a1 y (1) (t ) a0 y(t ) bM f ( M ) (t ) b0 f (t )

(4.1.1)时域微分特性( j ) N Y ( ) aN 1 ( j ) N 1Y ( ) a0Y ( ) bM ( j ) M F ( ) b0 F ( )2

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4.1 LTI连续时间系统的频率响应LTI系统

f (t )

h(t )

y (t )

y ( N ) (t ) aN 1 y ( N 1) (t ) a1 y (1) (t ) a0 y(t ) bM f ( M ) (t ) b0 f (t )( j ) N Y ( ) aN 1 ( j ) N 1Y ( ) a0Y ( ) bM ( j ) M F ( ) b0 F ( )bM ( j ) M b1 ( j ) b0 Y ( ) H ( ) F ( ) ( j ) N aN 1 ( j ) N 1 a1 ( j ) a0

(4.1.2)

系统频率响应 Frequency response3

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LTI连续时间系统的频率响应

系统的频率响应(系统函数) 完全由微分方程的系 数确定 线性常系数微分方程和系统的频率响应都可用于描 述一个LTI连续时间系统，二者是等价的

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幅频特性和相频特性f (t )LTI系统

h(t )

y (t )

bM ( j ) M b1 ( j ) b0 Y ( ) (4.1.2) H ( ) N N 1 F ( ) ( j ) aN 1 ( j ) a1 ( j ) a0

H ( ) H ( ) eH ( )

j H ( )

(4.1.3)

—— 幅频特性(幅频响应) —— 相频特性(相频响应)5

H ( )

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冲激响应和频率响应f (t )LTI系统

h(t )

y (t )

bM ( j ) M b1 ( j ) b0 Y ( ) H ( ) (4.1.2) N N 1 F ( ) ( j ) aN 1 ( j ) a1 ( j ) a0

Y ( ) H ( ) F ( ) (4.1.4) y(t ) h(t ) f (t ) (4.1.5)F h(t ) H ( )

(4.1.6)

系统的冲激响应和频率响应是一对傅立叶变换6

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LTI连续时间系统的描述LTI系统

f (t )

h(t )

y (t )

y ( N ) (t ) aN 1 y ( N 1) (t ) a1 y (1) (t ) a0 y(t ) bM f ( M ) (t ) b0 f (t )bM ( j ) M b1 ( j ) b0 Y ( ) H ( ) F ( ) ( j ) N aN 1 ( j ) N 1 a1 ( j ) a0

微分方程

频率响应

冲激响应

LTI连续时间系统的冲激响应、频率响应以及微分方程 间具有一一对应的关系，都可以用于对系统的描述7

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LTI连续时间系统的描述f (t )LTI系统

h(t )j ( )

y (t )

F ( ) F ( ) e

H ( ) H ( ) e

j H ( )

Y ( ) H ( ) F ( )

Y ( ) H ( ) ( )

} (4.1.7)

信号通过LTI连续时间系统的实质，是

输入信号幅 度谱乘上系统的幅频特性，而相位谱加上系统的 相频特性8

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LTI系统频率响应 例题例4.1.1 已知LTI连续时间系统 h(t ) e 2 t 系统输入信号 f (t ) cos(2t ) cos(5t ) 求：(1)系统频率响应 (2) 系统微分方程 (3)系统响应 解：(1) 对 h(t ) 取傅氏变换得系统频率响应

H ( )

4 2 4

(2) 由 Y ( ) H ( ) F ( ) 得

( j )2 Y ( ) 4Y ( ) 4 F ( )微分特性

y (t ) 4 y(t ) 4 f (t )9

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LTI系统频率响应 例题(3)

f (t ) cos(2t ) cos(5t ) 的傅氏变换为

F ( ) [ ( 2) ( 2)] [ ( 5) ( 5)]Y ( ) H ( ) F ( ) 1 4 Y ( ) { [ ( 2) ( 2)]} { [ ( 5) ( 5)]} 2 29

傅氏逆变换

1 4 y(t ) cos(2t ) cos(5t ) 2 29

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4.1.2 用傅立叶变换求系统响应例4.1.2 已知一LTI连续时间系统的微分方程为

y (t ) 4 y (t ) 3 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 2 t 输入 f (t ) e u (t ) 。求系统频率响应 H ( ),冲激响应 h(t) , 系统响应 y (t)

解：

y (1) 设 f (t ) F ( ) , (t ) Y ( )FF

两边取傅氏变换，利用时域微分特性( j )2 Y ( ) 4( j )Y ( ) 3Y ( ) ( j ) F ( ) 2 F ( )Y ( ) j 2 H ( ) F ( ) ( j ) 2 4( j ) 3

(4.1.8)11

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用傅立叶变换求系统响应 例题(2) 对 H ( ) 进行分式展开

A1 A2 j 2 H ( ) ( j 3)( j 1) j 1 j 3 3 5 2 2 j 1 j 3

系统冲激响应与频率响应是一对傅立叶变换 因为 线性1 e u (t ) , a 0 j a at

F

3 t 5 3t h(t ) e u (t ) e u (t ) 2 212

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用傅立叶变换求系统响应 例题(3) 根据时域卷积特性F y(t ) f (t ) h(t ) Y ( ) F ( ) H ( )

1 f (t ) e u (t ) F ( ) j 2 2 t

F

系统响应 y(t) 的傅立叶变换为j 2 Y ( ) F ( ) H ( ) ( j 1)( j 3)( j 2)

因式分解线性

3 / 2 4 5 / 2 Y ( ) j 1 j 2 j 3

(4.1.9)

3 5 y (t ) e t u (t ) 4e 2t u (t ) e 3t u (t ) 2 213

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4.1.3 无失真传输系统

如果系统响应仅是输入信号在时间上的延时和 幅度上的放大或缩小，就认为信号在传输过程 中没有失真，这种系统称为无失真传输系统。f (t )无失真传 输系统 h(t )h(t)

y(t ) Kf (t t0 )(4.1.10)

h(t ) K (t t0 )

K (t t 0 )

(4.1.11)0

t0

t14

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无失真传输系统f (t )无失真传输 系统 h(t )

y(t ) Kf (t t0 )

h(t ) K (t t0 )

H ( ) KeH ( ) KH( )

j t0

(4.1.1

2) (4.1.13) H ( )

H ( ) t0 t 0

K

0

0

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线性相位系统

LTI连续时间系统的频率响应H ( ) H ( ) e j H ( )

如果系统的相频特性是频率的线性函数，称该LTI连续时间 系统是线性相位系统

H ( ) 0否则称为非线性相位系统

0 是常数 (4.1.14)

无失真传输系统的相频特性为 H ( ) t0 ,是典型的 线性相位系统

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线性相位系统的响应

系统响应的傅氏变换Y ( ) F ( ) H ( ) e j H ( ) (4.1.15)

设幅频特性为常数 H ( ) K ,则

Y ( ) K F ( )e j H ( )线性相位系统 H ( ) 0

(4.1.16)y (t ) K f (t 0 )

(4.1.17) 线性相位系统中的常数 0,对应着对输入信号中的 所有频率成份施加一个相同的延时 017

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非线性相位系统的响应

系统响应的傅氏变换Y ( ) F ( ) H ( ) e j H ( )

(4.1.15)

设幅频特性为常数 H ( ) K ,则Y ( ) K F ( )e j H ( )

(4.1.16)

非线性相位系统，如 H ( ) 2 2 Y ( ) K F ( )ej ( 2 2 )

(4.1.18)

输入信号的不同频率成份通过非线性相位系统后， 具有不同的延时，这种现象常称为信号的色散18

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群时延

LTI连续时间系统的群时延(group delay)定义为 ( ) d H ( ) d

(4.1.19)

群时延反映了LTI连续时间系统相位随频率的变化率线性相位系统 H ( ) 0 非线性相位系统 H ( ) 2 2

d ( ) H ( ) 0 d d ( ) H ( ) 2 2 d

线性相位系统对不同频率的输入信号具有相同的群时 延，即系统响应的相位是按频率线性变化的. 信号通过系统后的群时延是频率的函数，即不同频率 的信号成份具有不同的延时.19

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群延时 例题例4.1.3 已知LTI连续时间系统频率响应为(1) H1 ( ) 2e j 2

(2) H 2 ( ) 2e

j ( 2 )

求系统的群时延和系统对输入信号 f (t ) cos(5 t ) cos(10 t ) 的响应 解： (1) H1 ( ) 2e j 2 的相频特性为 H ( ) 2 d ( ) H ( ) 2 d

H 2 ( ) 2e

j ( 2 )

的相频特性为 H ( ) 2 0 020

1, d ( ) H ( ) d 3,

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群延时 例题(2) 输入信号 f (t ) cos(5 t ) cos(10 t )

F ( ) ( 5 ) ( 5 ) ( 10 ) ( 10 )Y1 ( ) H1 ( ) F ( ) 2 F ( )e j 2 y1 (t ) 2 cos 5 (t 2) 2 cos 10 (t 2) 2 f (t 2)

Y2 ( ) F ( ) H 2 ( )

2 F ( )e

j ( 2 )

2 ( 5 )e j 5 ( 5 )e j15 2 ( 10 )e j10 ( 10 )e j 30

y2 (t ) e j 5 (t 1) e j 5 (t 3) e j10 (t 1) e j10 (t 3)21

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