浅谈对奥数的认识

浅谈对奥数的认识

北京师范大学东莞石竹附属学校 邓海军

奥数是奥林匹克数学的简称，取自体育活动中的奥林匹克竞赛之意。两者的相通之处是人们挑战自我、奋发向上的精神面貌。

各种数学竞赛，无论是校内自己命题小范围参加的，还是校外各种级别的比赛我们都称它为奥数。学校以各种名义举行的各种兴趣班、特长班、奥数班等，我们称之为奥数学习。学校以外以奥数为内容的数学辅导，以及参加奥数培训机构的数学学习等都是奥数范畴。奥数是初等数学研究的一个分支，同时也是初等数学研究的一个前沿阵地。

中国在国际奥林匹克数学竞赛中取得了出色的成绩，同时国内的数学竞赛活动也搞的如火如荼，奥林匹克数学已经成为了一种现象，引起了社会各界的关注。

本文将从奥数有利于数学人才的发现及培养，奥数有有利于学生开拓眼界、增加知识、提高能力等方面谈谈对奥数的认识。

奥数有利于数学人才的培养和选拔

基础数学教育具有大众性，由于课时的限制，对内容的选材既要保证把数学中最基本的知识讲到，又要顾及到知识被大部分学生所接受并理解，教学的进度和难度顾及大多数的学生。对于喜爱数学、数学成绩优异的学生来说，数学课堂的内容已不能满足他们求知欲望。他们往往会找出更具有难度的题目来钻研。奥数中的部分内容就是中小学基础数学中所没有的。而这部分内容出现在奥数中，对于学有余力的或者对奥数感兴趣的同学可以作为课外的知识补充，提升所学习的知识。奥数对发现和培养一些有数学天分的学生，并引导他们走上数学的道路起到了一定的作用。

在《中小学生数学能力心理学》一文中，前苏联研究中小学生数学能力个别差异的心理学家克鲁切茨基描述了他对天才儿童的调查。从中我们可以看到，有些小孩确实从小就显示出了数学方面的天分。一些杰出的数学家更是很小就具有超出他们年龄的数学才华。如：年轻的高斯解决从一加到一百的简单算法就显示出了不凡，这已经是奥数中巧算的一个内容了。法国的伽罗华十七岁时就写了一篇关于《五次方程代数解法》这个世界数学难题的论文，最先提出了近代数学的一个基本概念——“群”。20世纪著名数学家诺伯特〃维纳，三岁时就能读写，十四岁时就大学毕业了。几年后，他又通过了博士论文答辩，成为美国哈佛大学的科学博士。

对这些数学上有特长及天分的学生来说，他们的数学智力允许研究数学难题。学生时代的求知欲望是很强烈的。一旦他们发现了数学的乐趣后，他们会很快投入到数学当中去，去寻找难题解答，去欣赏前人的优秀数学成果，最终走上数学的道路。对于中学生来说，奥数既贴近基础数学，又高出基础数学，是他们从课堂迈出的第一步。在这里，他们能找到难题，挑战自己的智力。同时，数学竞赛的开展又为这样的学生打开了一个对外的的窗口，让他们有机会结交到更多的喜爱数学的学生，有机会接触到更高层次的数学知识。奥数为有数学天分的学生指引了一个方向。

随着竞赛数学的不断发展，越来越多的学生参与到奥数知识的学习中来，许多同学了解并掌握了奥数中的一些经典内容。奥数中的有些内容，知识原理并不复杂，但内容形式灵活多变。这些内容本身就是从解决现实问题引申出来的，这对于学生利用所学知识解决现实生活中的问题大有裨益。

奥数有用

数学源于生活，同时又高于生活。对中小学生而言，数学要能帮他们解决日常生活中的数学问题，或者能对现实生活中的一些现象作出解释。这样才会让他们觉得数学不只是空洞的理论，数学有用。从而提升他们学习数学的兴趣。

1、天花板函数、地板函数及其简单应用

[x]表示不超过x的最大整数，在数轴上表示x左边且与x最相近的整数，当x为整数时，[x]就是x本身。取整函数[x]，也常常叫做地板（函数）。因为它不超过x，而又与x距离最近，就好像在我们脚下的地板。有时将[x]写成?x?。同样，天花板函数?x?表示不

x?就是x

小于x的最小整数，在数轴上表示x右边且与x最相近的整数，当x为整数时，?本身。

如此的定义很形象生动，如[5.3]=5，[-5.3]=-6，?5.3?=6，??5.3?=-5.

天花板函数、地板函数在现实生活中的应用就很多。

如现实生活中乘车问题：根据总人数和每辆车最多所能载的人数，能算出所用车辆数。当计算的结果是整数，直接取整就可以了。但是如果不是整数呢。学生根据日常的经验，知道要取多一辆。这就是天花板函数的应用。

实际生活中买东西时零头都会讨价还价去掉。这其实也是地板函数或变相的地板函数的一个应用。象这些根据实际问题抽象出的数学问题，其实就像四舍五入、打折扣等知识一样很容易被学生接收。

2、抽屉原理及在现实生活中的应用

抽屉原理也是与现实生活联系较紧密的一类题型。它的原理非常简单。3个苹果放入两个抽屉，必有一个抽屉中的苹果数?2，这个简单的道理便称为抽屉原理。更一般地，将m

?m??m??n??n???个苹果放入n(mn)个抽屉中，必有一个抽屉中的苹果数??，??就是上面提到的天

花板函数。

我们看到抽屉原理本身其实很简单，就是苹果和抽屉，既形象又生动，结论很显然。如此简单的原理却能解决很多看起来无从下手的问题，因而不仅能被中学生接受，也能被小学生所接受。

题1、 18个小朋友中，___小朋友在同一个月出生。（ 第二届《小数报》初赛试题） A恰好有两个 B至少有2个 C有7个 D最多有7个

此题难度不大，苹果和抽屉很清晰，简单地应用抽屉原理就可得出答案B。

题2、 不透明口袋里有5种不同颜色的球，每种都有20个，最少取出___个球，才能保证其中定有3个球的颜色相同。（第三届“兴趣杯”预赛试题）

此题考查了抽屉原理的逆应用。至少取2×5+1=11个球。此题较上题难度加大，需要学生的能力更强。

题3、 某次数学、英语测试，所有参加测试者的得分都是自然数，最高得分198，最低169得分，没有人得193分、185分和177分，如果不看成绩表就能肯定至少有6人得同一分数，参加测试的至少有_____ 人（第一届小学\希望杯\五年级第2试．）

解：得分总共有198-169+1-3=27种。由抽屉原理得人数至少是27×5+1=136。 此题需要对抽屉原理灵活应用。

题4、若干名小朋友购买单价为3元和5元的两种商品，每人至少买一件，但每人购买的总金额不得超过15元。小民说：小朋友中一定至少有三人购买的两种商品数量完全相同。

问：至少有多少名小朋友？（第十届“华杯赛”总决赛小学组第一试）

这些题就是日常生活的应用，蕴含着丰富的数学思想，促进了学生积极思考，培养了学生的数学能力，奥数有用。

奥数有趣

1、著名的“七桥问题”相信已为部分人所熟悉。在普鲁士的哥尼斯堡有一条河流从城中流过，河中有两座小岛，其中一个岛与两岸各有两座桥相通；另一岛与两岸各有一座桥相通，两座小岛之间也有一座桥相通，如下图1所示，问：

能否找到一条路线，从起点出发，不重复地走遍每一座桥而最后回到起点？ 不知有多少人对这个问题进行过尝试， 甚至有很多人在桥上走上走来走去，很多 年过去了，却没有人能回答这个问题，到底 能不能不重复地走过呢？

后来，数学家欧拉把这个问题抽象成

了一个数学问题来解决。他把两个岛和两岸分别 用四个点A、B、C、D来表示，每座桥用一条边来

表示。于是七桥问题就抽象成了图2，能否一笔画问题。 然后巧妙地解决了这个难题

2、染色问题及在现实生活中的应用

1852年，英国人古特里通过大量的观察和试验，提出这样一个问题：“对平面上的任何一张地图着色，至多用四种颜色就可以使两个相邻国家的颜色不同。”这就是著名的“四色问题”。非常有趣，但直到一百多年后的1976年，这个问题才由美国数学家阿贝尔和哈肯证明是正确的。初等数学中研究的染色问题，是一些简单的染色问题，通过探索和分析，排列各种情况，就能得出结论。下面几道染色问题的题，也很有趣，大家可以试试

题1、 地图上有A、B、C、D、E五个国家，用五种颜色去 染色，使得相邻国家的颜色不同，问有多少种不同的染色方法？

题2、 把边长分别是3、4、5的三角形的三边染上红、绿、蓝三种颜色，问总共有几种不同的染色方法。

第1题，需要学生对五个区域的情况分类讨论。第2题中边长3、4、5是干扰数据。此题对小学生来说，已跳出了常规解题，需要分析题目，理解题意。而中学生可以排列出红绿蓝的组合得出结论，而理解掌握了排列组合中乘法原理的同学可以根据乘法原理得出结论。

染色问题是一类比较有趣的动手操作题。看似简单，但试试之后，同学会发现，如果思考的不全面，或者重复计算，就很容易出错。此类问题，可以从简单的情况入手，在此过程中让学生体会分类讨论的思想。让他们体会分类中的不重不漏，训练学生考虑问题的全面性、严密性。而此类问题的解决会给学生带来成功的喜悦和学生无尽的享受

3、奇数、偶数

正整数看似简单，但具有很多有趣的性质，一些数学式子非常简约，但却具有对称性、高度的概括性。让人体会到了数学的美。数论研究整数，在数学中贵为皇后，数论中的一些著名定理、猜想，如费马定理、哥德巴赫猜想等，以其特有的魅力吸引了许多人包括一些大数学家为之奋斗。

“三十（石）六口钢，九只船来装。只许装单不许装双，看你怎么装”？这是一道非 常有趣的口传题目。结合汉语的同音字，在民间广泛传播。如果真理解成36口钢，从后面的分析可以看出，是怎样也装不好的。如果是3块石头和六口钢，则每一只船装一个就可以了。这里只需要利用奇数和偶数的知识就能解决问题。类似这样的趣题很多，一直以来给予无数学习者多少欢乐。

4、质数和合数是小学数学的内容，基础数学一般只要求会判断一个数是质数还是合数，会对合数进行因数分解。其实质数和合数部分的内容是挺丰富的。进行一定的挖掘，会出不少好题。这样的题能培养学生分析问题的能力及综合应用知识的能力。

题1、 两个质数的和是9，这两个质数的积是___。两个质数的和是49，这两个质数的积是___。

这个问题，对于小学生都不算难。通过试代就能得出两个质数分别为多少？第二 个问题，虽然也可通过试代解决，但费时间。如果学生具有一定的分析问题的能力，把质数与合数，奇数与偶数结合起来思考，一下就得出了答案。

题2、 哥德巴赫猜想说：每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和。

问：168是哪两个两位数的质数之和，并且其中一个的个位数字是1 ？（第六届“华杯赛”初赛试题）

此题要求学生检验哥德巴赫猜想的一个特例，让学生接触到了著名的数学定理。当他 们做出此题后，有一种成就感，增强了自己学好数学的信心，大家不妨试试

题3、二十七名小运动员所穿运动服的号码恰是1，2，3．．．26，27这二十七个自然数。问：这些小运动员能否站成一个圆圈，使得任意相邻两个运动员号码数之和都是质数？请说明理由。

这不都是生活中常有的事吗？其实奥数不难，奥数就在我们身边，奥数有趣。

5、巧算

巧算对于训练学生思维灵活性大有好处。计算机一秒钟能运行指令几百万次，计算机智能正是利用了计算机运行的速度快来处理问题。其实，计算机智能化是让计算机做同样的事情，也即无论什么事，它都按同样的程序去执行，根据输入的不同，得出不同的结果。有些简单的问题，虽然很快得出结论，但中间的步骤却非常多，使得简单问题复杂化。一般，大家只看到结果而看不到中间的过程，就以为计算机算的非常简单，其实不然。人脑不同于电脑，如果简单的问题也按照复杂的程序去做，那就显得很笨拙。所以，希望解决问题的方法越简单越好。用上巧劲，复杂问题也能简单化。

巧算是奥数中考查计算能力的一类很重要的题型。遇到稍复杂的计算题，不要硬算，而要寻找尽量简单的方法。少年高斯巧算1加到100的事迹，一直以来为人们津津乐道。

巧算的根本在于找到题目中隐藏的特点或规律，变换形式、顺序等，使得计算变得简便可行。巧算的题型也是变化多样。如凑整数、整数拆分、提取公因数、分式的拆分、公式的正运用、逆运用、综合运算题等等。下面看几道巧算的题。

题1、 199999+19999+1999+199+19

此题一个个相加也是可以，但缺点是位数多，相加困难且容易出错。如果每个加数先都加1再相加，然后把加上的1再减去，题目变得简单了。

(2?1)(22?1)(24?1)(28?1)(216?1)题2、 322?1这是一道平方差公式的题，如果按常规的计算顺序，显然行不通，括号中的数越来越大，而且分母是一个相当大的数，不容易算出具体的值。那就必须要找出简单的计算方法。

可以有两种解法。第一种是分子的最前面乘以（2-1），与后面每一个括号相乘都是平方差公式的逆应用，分子运算的结果与分母相同，运算结果为1。第二种解法是分母利用平方差公式进行分解因式，分解到最后也是与分子相同。

考试中，特别是一些选拨性的考试中往往会出现一些综合运用的题或是灵活多变的题。对这样的题，如果仅仅是掌握知识、思维不够灵敏，解题往往要费九牛二虎之力还不一定能解出来，而反之则会起到四两拨千斤的妙用。

一代数学大师陈省身曾说“让数学好玩”。奥数就是一个很好的切入点和例子，在好玩的过程中，又能得到很多有用的结论。这样看来我们不得不承认：奥数有趣，奥数有用，奥数有利于数学人才的培养和选拔。奥数培养了无数优秀的数学人才，而且还将继续为中小学数学教育教学发挥作用。

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