2022届高三高考数学复习练习题(七)【含答案】

2020届高三高考数学复习练习题

一、单项选择题：

1．设集合A={}{}|1,,2,.x x a x R B x x b x R -<∈=-∈若A ?B,则实数a,b 必满足 A ．3a b +≤ B ．3a b +≥

C ．3a b -≤

D ．3a b -≥

【答案】D 【解析】{}{}|1,|11A x x a x R x a x a =-<∈=-<<+，

{}{}222B x x b x x b x b =-=+<-或，若A ?B ，则有21b a +≤-或

21b a -≥+3a b ∴-≥

2．已知向量(,1)m a =-，(21,3)n b =-(0,0)a b >>，若m n ，则21

a b +的最小值为（

） A ．12 B ．843+C ．15 D ．1023+

【答案】B

【解析】∵m =（a ，﹣1），n =（2b ﹣1，3）（a ＞0，b ＞0），m ∥n ， ∴3a +2b ﹣1＝0，即3a +2b ＝1， ∴21a b +=（21

a b +）（3a +2b ）

＝843b

a

a b ++ ≥8432b a

a b +?

＝843+， 当且仅当4

3b a a b =，即a 33-=，b 31-=，时取等号， ∴21a b

+的最小值为：843+． 故选：B ．

3．在数列{}n a 中，11a =，12n n a a +?=-(123)n =，，，

，那么8a =（ ） A ．2-

B ．12-

C ．1

D ．2

【答案】A 【解析】由11a =，12n n a a +?=-可得，

22a =-，31a =，42a =-，故数列是以2周期的数列，

所以82a =-.

故选：A

4．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）

A ．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米

B ．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C ．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油

D ．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】对于A ，由图象可知当速度大于40km /h 时，乙车的燃油效率大于5km /L ，

∴当速度大于40km /h 时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km ，故A 错误； 对于B ，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，

∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B 错误；

对于C ，由图象可知当速度为80km /h 时，甲车的燃油效率为10km /L ，

即甲车行驶10km 时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km ，燃油为8升，故C 错误；

对于D ，由图象可知当速度小于80km /h 时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率， ∴用丙车比用乙车更省油，故D 正确

故选D ．

5．方程sin()lg 3

x x π+=的实数根个数为（ ） A ．3个

B ．5个

C ．7个

D ．9个

【答案】A 【解析】解：方程sin()lg 3x x π+=的实数根个数等价于函数sin()3

y x π=+与函数lg y x =的图像的交点个数，

在同一直角坐标系中，函数sin()3y

x π

=+与函数lg y x =的图像如图所示，

由图可知，函数sin()3y x π

=+与函数lg y x =的图像的交点个数为3个，

则方程sin()lg 3x x π

+=的实数根个数为3个，

故选：A.

6．已知奇函数()f x 满足()(4)f x f x =+，当(0,1)x ∈时，()2x f x =，则()2log 12f =（ ） A ．4

3- B ．23

32

C ．3

4 D ．3

8-

【答案】A

【解析】由题意()(4)f x f x =+，故函数()f x 是周期为4的函数， 由23log 124<<，则21log 1240-<-<，即204log 121<-<， 又函数()f x 是定义在R 上的奇函数，

则()()()224

4log 12222log 1224log 12log 1244log 12223f f f -=-=--=-=-=-， 故选：A.

7．在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC ?是边长为23

的等边三角形，7PA PB ==，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．16π

B ．654π

C ．6516π

D ．494

π 【答案】B

【解析】

如图所示，取AB 中点D ，连接,PD CD ，三角形的中心E 在CD 上， 过点E 作平面ABC 垂线.在垂线上取一点O ，使得PO OC ， 因为三棱锥底面是一个边长为23E 为三角形的中心， ,OA OB OC ∴== O ∴点即为球心，

因为,PA PB D =为AB 中点，所以PD AB ⊥，

因为平面PAB ⊥平面,ABC

PD ∴⊥平面ABC ，则//OE PD ，

2221233,2,13

CD CA AD CE CD DE CD CE =-=-====-=， 222PD PB BD ，

设球的半径为r ,则有2,4PO OC r OE r ===-，

作OG PD ⊥于G ，则OEDG 为矩形，

222()PD DG OG PO -+=，即(222224

1r r -+=,解得26516r =， 故表面积为26544

S r ππ==，故选B . 8．已知双曲线22

22:1(0,0)x y C a b a b

-=>>的左焦点为F ，以OF 为直径的圆与双曲线C 的渐近线交于不同原点O 的A B ，两点，若四边形AOBF 的面积为

()2212

a b +，则双曲线C 的渐近线方程为（ ） A ．22y x =± B ．2y x = C ．y x =± D ．2y x =±

【答案】C

【解析】根据题意，OA AF ⊥，双曲线C 的焦点F 到C 的一条渐近线b y x a =±的距离为22

b a b =+，则||AF b =，所以||OA a =，所以()2212ab a b =+，所以1b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。

9．若点D ，E ，F 分别为ABC ?的边BC ，CA ，AB 的中点，且BC a =，CA b =，则下列结论正确的是（ ）

A ．12AD a b =--

B ．1

2BE a b =+ C ．1122CF a b =-+ D ．12

EF a = 【答案】ABC

【解析】如图，

在ABC ?中，1122

AD AC CD CA CB b a =+=-+=--，故A 正确； 12

BE BC CE a b =+=+，故B 正确； AB AC CB b a =+=--，1111()2222

CF CA AB b b a a b =+=+?--=-+，故C 正确； 1122

EF CB a ==-，故D 不正确． 故选：ABC

10．已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件()()2f x f x +=-，且函数()1y f x =-为奇函数，则（ ）

A ．函数()y f x =是周期函数

B ．函数()y f x =的图象关于点()1,0-对称

C ．函数()y f x =为R 上的偶函数

D ．函数()y f x =为R 上的单调函数 【答案】ABC

【解析】因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T =，故A 正确； 因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确；

又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；

因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确.

故选：ABC.

11．已知函数()x f x e ax =-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，则下列说法正确的是( ) A ．a e > B ．122x x +>

C ．121x x >

D ．()f x 有极小值点0x ，且1202x x x +<

【答案】ABD

【解析】由题意，函数()x f x e ax =-，则()x f x e a '=-，

当0a ≤时，()0x f x e a '=->在R 上恒成立，所以函数()f x 单调递增，不符合题意； 当0a >时，令()0x f x e a '=->，解得ln x a >，令()0x f x e a '=-<，解得ln x a <， 所以函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增，

因为函数()x f x e ax =-有两个零点12,x x 且12x x <，

则ln (ln )ln ln (1ln )0a f a e a a a a a a a =-=-=-<，且0a >，

所以1ln 0a -<，解得a e >，所以A 项正确；

又由2

12121212ln()2ln ln()2ln()x x a x x a x x x x +==+>+，

取22

e a =，则2

2(2)202,(0)10f e a x f =-===>，

所以101x <<，所以122x x +>，所以B 正确；

由(0)10=>f ，则101x <<，但121x x >不能确定，所以C 不正确； 由函数()f x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增， 所以函数的极小值点为0ln x a =，且12022ln x x x a +<=，所以D 正确； 故选ABD.

12．设非负实数,x y 满足21,x y +=则22x x y +的（ ）

A ．最小值为4

5

B ．最小值为25

C ．最大值为1

D ．最大值为

12

3

【答案】AC

【解析】令cos x r θ=，sin y r θ=，0,0,2r πθ??

>∈????

，

因为21x y +=，所以2cos sin 1r r θθ+=，所以1

2cos sin r θθ=

+，

所以2

222

2

22

1tan 211tan cos 1

2cos 2cos sin 1tan

2tan

22

21tan 1tan 2

2

x x y r r θθ

θθθθ

θθ

θ

θ

-+++++=+=

=

+-?

+++

[]2

2

1

1

tan 0,1215tan tan

1

tan 2

2

224θθ

θ

θ??==∈ ????

?-++--+

??

?，

所以(222max 111524x x y +=

=??-+ ???，(22min 2145

504x x y +==-+， 取最大值时tan 02θ

=或1，此时01x y =??=?或120x y ?=???=?， 取最小值时1tan 22θ=，此时31025x y ?=????=??

. 故选：AC.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13．i 是虚数单位，则51i i

-+的值为__________. 13【解析】5(5)(1)23131(1)(1)

i i i i i i i ---==-=++-． 14．已知直线1y x =-与抛物线()220y px p =>交于,A B 两点；若直线过抛物线的焦点，

则抛物线的准线方程为__________，若OA OB ⊥，则p 的值为__________．

【答案】1x =- 12

【解析】（1）由于直线过抛物线的焦点，令y=0得x=1,所以抛物线的焦点坐标为(1,0), 所以抛物线的准线方程为x=-1.

（2）联立221

y px y x ?=?=-?得2(22)10x p x -++=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，所以121222,1x x p x x +=+?=，

因为OA OB ⊥，所以121212120,(1)(1)0x x y y x x x x +=∴+--=，

所以1212()210x x x x -++?+=， 所以12230,2

p p --+=∴=. 故答案为：(1). 1x =- (2). 12

15．将函数()3)13

f x x π=+-的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()

g x 的图象，则函数()g x 具有性质__________．（填入所有正确性质的序号）

①3，图象关于直线3x π=-

对称；

②图象关于y 轴对称；

③最小正周期为π； ④图象关于点(,0)4

π对称； ⑤在(0,)3π

上单调递减 【答案】②③④

【解析】

将函数()3213f x x π??=+- ??

?的图象向左平移3π个单位长度，得到32133y x ππ????=++- ????

???()32131x x π+-=--的图象向上平移1个单位长度，得到函数()3g x x =-的图象，对于函数()g x 3

3x π

=-时，()32

g x =，不是最值，故()g x 图象不关于直线3x π=-对称，故排除①；由于该函数为偶函数，故它的图象关于y 轴对称，故②正确；它的最小周期为

22ππ=，故③正确；当4x π=

时，()0g x =，故函数的图象关于点,04π?? ???对称，故正④确；在0,3π?? ???上，()220,,3x g x π??∈ ???

不是单调函数，故排除⑤，故答案为②③④. 16．已知函数()3x x 1f x =x 2x+e -e -，其中e 是自然数对数的底数，若()()

2f a-1+f 2a 0≤，则实数a 的取值范围是_________。 【答案】1[1,]2

- 【解析】 因为31()2()x x f x x x e f x e

-=-++-=-，所以函数()f x 是奇函数， 因为22'()323220x x x x f x x e e x e e --=-++≥-+?≥，所以数()f x 在R 上单调递增， 又2(1)(2)0f a f a -+≤，即2(2)(1)f a f a ≤-，所以221a a ≤-，即2210a a +-≤， 解得112a -≤≤，故实数a 的取值范围为1[1,]2

-． 四、解答题：本小题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）设数列{}n a 的前n 项和为2n S an bn =+，且121,3a a ==。

（1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）设11n n n b a a +=

，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 【答案】（1）21n a n =-；（2）21

n n T n =+

【解析】(1)由2n S an bn =+，且12a 1,a 3==，可得1

0a b ==，当2n n n a S =-时， 22111(1)2111n S n n n n S a ，当时，；-=--=-===

(2)∵123111111(21)(21)22121n n n n n b T b b b b a a n n n n +??===-∴=+++?+= ?-+-+??

111111(1)2335212121n n n n ??????-+-+?+-= ? ???-++??????

18．（本小题满分12分）已知函数21()sin cos 2

f x x x x ax =++，[,]x ππ∈- （1）当0a =时，求()f x 的单调区间；

（2）当0a >，讨论()f x 的零点个数；

【答案】（1）()f x 单调递减区间为：,02π??-????，,2ππ??????；单调递增区间为：,2ππ??--???

?，0,2π??????

；（2）当220a π<≤时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.

【解析】∵()()f x f x -=∴()f x 为偶函数，

只需先研究[0,]x π∈

()sin cos f x x x x =+

()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-= 当0,2x π??∈????

，()0f x '≥，当,2x ππ??∈????，()0f x '≤， 所以()f x 在0,2x π??∈????单调递增，在,2x ππ??∈????，单调递减

所以根据偶函数图像关于y 轴对称，

得()f x 在,2x ππ??∈--????单调递增，在,02x ??∈-????

π单调递减， .故()f x 单调递减区间为：,02π??-????，,2ππ??????；单调递增区间为：,2ππ??--???

?，0,2π?????? （2）()cos (cos )f x x x ax x x a '=+=+

①1a ≥时，()(cos )0f x x x a '=+≥在[0,]x π∈恒成立 ∴()f x 在[0,]x π∈单调递增

又(0)1f =，所以()f x 在[,]x ππ∈-上无零点

②01a <<时，0(0,)x π?∈，

使得()00cos 0x x a +=，即0cos x a =-.

又cos x 在(0,)π单调递减，

所以()00,x x ∈，()0f x '>，()0,x x π∈，()0f x '< 所以()00,x x ∈，()f x 单调递增，()0,x x π∈，()f x 单调递减， 又(0)1f =，21()12

f a ππ=- （i ）21102a π->，即221a π

<<时 ()f x 在[0,]π上无零点，

又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上无零点

（ii ）2110

2a π-≤，即220a π

<≤ ()f x 在[0,]π上有1个零点，

又()f x 为偶函数，所以()f x 在[,]-ππ上有2个零点 综上所述，当220a π<≤

时，()f x 在[,]-ππ上有2个零点，当22a π>时，()f x 在[,]-ππ上无零点.

19．（本小题满分12分）已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面为菱形，12AB AA ==，3BAD π

∠=，AC BD O =，AO ⊥平面1A BD ，11A B A D =.

（1）证明：1//B C 平面1A BD ；

（2）求钝二面角1B AA D --的余弦值.

【答案】(1)证明见解析；(2) 17

- 【解析】（1）证明：连接1AB 交1A B 于点Q ，易知Q 为1AB 中点，

∵O 为AC 中点，∴在1AB C ?中，11//2

OQ B C ， ∵OQ ?平面1A BD ，1B C ?平面1A BD ，

∴1//B C 平面1A BD .

（2）∵AO ⊥平面1A BD ，∴1AO A O ⊥，

∵11A B A D =且O 为BD 的中点，

∴1

AO BD ⊥， ∵AO BD ?、平面ABCD 且AO BD O =， ∴1A O ⊥平面ABCD ，如图，建立空间直角坐标系O xyz -. 易得：()3,0,0A ，()0,1,0B ，()

0,1,0D -，()10,0,1A ， ∴()13,0,1AA =-，()

3,1,0AB =-， 设平面1A AB 的一个法向量为(),,n x y z =，

则1n AA n AB ?⊥?⊥?，∴3030x z x y ?-+=??-+=??， 令1x =，得3y z ==，

∴()1,3,3n =.

同理可得平面1A AD 的一个法向量为()1,3,3m =-，

∴1cos ,7m n

m n m n ?<>==

， ∴钝二面角1B AA D --的余弦值为17

-.

20．（本小题满分12分）根据国家《环境空气质量标准》规定:居民区中的PM2.5（PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称可入肺颗粒物）年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米. 某城市环保部门随机抽取了一居民区去年40天的PM2.5的24小时平均浓度的监测数据，数据统计如下：

（1）写出该样本的众数和中位数（不必写出计算过程）；

（2）求该样本的平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境是否需要改进？说明理由；

（3）将频率视为概率，对于去年的某2天，记这2天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X ，求X 的分布列及数学期望)(X E 和方差)(X D .

【答案】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米． （2）40.5，该居民区的环境需要改进．

（3）变量ξ

的分布列为

11881012 1.8100100100E ξ=?+?+?=（天）,或92 1.810E nP ξ==?=（天） ；18.0=ξD

【解析】（1）众数为22.5微克/立方米, 中位数为37.5微克/立方米．

（2）去年该居民区PM2.5年平均浓度为

7.50.122.50.337.50.252.50.267.50.182.50.140.5

?+?+?+?+?+?=（微克/立方米）．因为40.535

>，所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准，

故该居民区的环境需要改进．

（3）记事件A表示“一天PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准”，

则

9 ()

10 P A=

. 随机变量ξ的可能取值为0,1,2.且

9

(2,)

10

B

ξ

.

所以

2

2

99

()()(1)(0,1,2)

1010

k k k

P k C k

ξ-

==-=

，所以变量ξ的分布列为

11881

012 1.8

100100100

Eξ=?+?+?=

（天）,或

9

2 1.8

10

E nP

ξ==?=

（天）

18

.0

=

ξ

D

21．（本小题满分12分）如图，直线12

l l//，点A是

12

,l l之间的一个定点，过点A的直线EF 垂直于直线1l，,

AE m AF n

==（,m n为常数），点,B C分别为

12

,l l上的动点，已知60

BAC

∠=?.设ACFα

∠=（060

α

?<

（1）求ABC ?面积S 关于角α的函数解析式()S α； （2）求()S α的最小值.

【答案】（1）11()tan(30)2tan S mn ααα???=

++????（23mn 【解析】（1）由题意1EF l ⊥,12l l //,∴2EF l ⊥, 在Rt ACF ?中,tan n CF α

=,060α?<

?=?, ∴ABE ?的面积2211tan(30)22

S AE EB m α?=?=+, ∴梯形EFCB 的面积11()()tan(30)22tan n S EB CF EF m n m αα???=+?=+++????

. ∴12()S S S S α=--

221111()tan(30)tan(30)2tan 2tan 2n m n m n m αααα????=+++-?-+???

? 11tan(30)2tan mn αα???=

++????. （2）令1sin(30)cos tan(30)tan cos(30)sin y αααααα??

?+=++=++ sin(30)sin cos(30)sin sin cos(30)

αααααα???+++=+

31sin cos sin ααα=??- ??? 231sin cos sin ααα?

=

- 3

31cos 2sin 2αα=--3

sin(230)2α?=

+-.

∴当23090α??+=时,即30?=α时,y 取得最小值3此时()S α3mn .

22．（本小题满分12分）椭圆E ：22

221x y a b

+=（0a b >>）的离心率为22，其左焦点1F 到点(2,1)P 的距离是10

（1）求椭圆E 的方程；

（2）若直线l ：y kx m =+被圆O ：223x y +=截得的弦长为3，且l 与椭圆E 交于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值．

【答案】（1）2

212

x y +=；（2）max 22S =． 【解析】

试题分析：（1）借助条件布列b a 、的方程组；（2）联立方程组，借助维达定理构建面积函数，转求最值.

试题解析：（1）由题意可得22

c e a ==2(2)110c ++= 解得1c =，2a =221b a c =-=， 即有椭圆的方程为2

212

x y +=； （2）∵O 到l 的距离22393()324d r =-=-=， ∴231d k ==+，∴223(1)4m k =+． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，把y kx m =+代入得 222(12)4220k x kmx m +++-=， ∴122412km x x k

-+=+，21222212m x x k -=+， ∴212||1|AB k x x =+-2212121()4k x x x x =++- 2222222168(1)1(12)12k m m k k k -=+-++222(15)1k k +=+22(1)(51)2k k ++=， ∵13||||2S AB d AB =?=22

(33)(51)2=4k k ++2221(3351)2224122k k k +++≤=+， ∴当223351k k +=+，即1k =±时，max 22

S =

．

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