数学建模之随机性模型与模拟方法

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随机性模型与模拟方法

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随机变量 蒙特卡罗方法 随机数的生成 模拟

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一、随机变量

何谓随机变量？随机变量是一个其值不可 预测的变量。虽然一个随机变量在个别试验 中其结果不确定，但在大量重复试验中其结 果是具有统计规律的。正是随机变量的这种 规律性使我们可以利用它来建模。例如我们 可以利用下述的数据：时间t(秒) 0 变量X 1 1 2 0 2 3 2 4 1 5 2 6 0 7 1 8 0 9 2

得出一个模型。

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X是一个离散的随机变量并取值于 0,1和2。我们 不可能给出 X 与 t 的确定的关系式，但是可以通 过数 X 的不同值出现次数来描述这随机型 的规律列表如下：频数 频率

X

0 3 0.3

1 3 0.3

2 4 0.4

这个表给出了随机变量 X 的变化规律，频率告 诉某个特定的事件发生的频繁程度。如果我们需要 构造一个含有随机变量的模型，可以假设这个规律 总是成立的，模型的假设可以基于这几个数据之上。 实际操作时可以把频率分布当作概率函数来处理， 但应注意概率是频率的极限值，这两者是有差异的。 在处理一个简单的理论模型时，对概率函数

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必须作出合适的选择。例如，假设在上述问题中的 随机变量取三个值时等于可能的，这样其概率函数 为XP x 01 3

11 3

21 3

这个例子说明在处理随机变量的模型时有以下两种 选择： (1)使用一个理论模型。这在任何一本概率统计 的书上都可以找到一些标准的理论模型如二项分布 等。每一个都基于一定的假设之下成立的，所以在 选用时要特别注意其假设条件。 (2)使用基于实际数据的频率表，并不去套用不 准理论模型。

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使用前者的好处在于能精确地叙述变量的概率，在 处理问题时可以充分发挥数理统计的作用。但这一 好处把所求模式制约在了处理简单情形。随着复杂 性的增加，数学就变的太难。使用后者的好处在于 模型时基于观测到的数据而不是基于假设之上。增 加复杂性并不成为一大障碍，但我们不再能利用数 理统计而得求助于模拟以及模型的统计结果。 在建立随机性模型时，首先要注意，将要处理的是 离散还是连续的随机变量。 1、离散随机变量 离散随机变量的理论模型是由概率函数 p x P X x 来刻画的。这个式子说明随机变量 X 取值 x 时的概 率。对于离散型的随机变量有下面三种重要的分布

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(0-1)分布 设随机变量 X 只可能取0、1两 个值，它的分布规律是 P X k p k (1 p)1 k , k 0,1(0 p 1)

则称 X 服从(0-1)分布。对于一个随机实验，如 果它的样本空间只包含两个元素， 即 S e1 , e2 ,我们总能在 S 上

定义一个服 从(0-1)分布的随机变量

来描述这个随机实验的结果。例如，对新生儿的性 别进行登记，检查产品的质量是否合格等都可以 用(0-1)分布的随机变量来描述。

0 当e e1 X X (e ) 1 当e e2

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(2)二项分布 设实验E 只有两个可能的结果， 将 E 独立地重复地进行 n 次，则称这一串重复的 独立实验为 重贝努利实验。它是一重和重要的 数学模型，有着广泛的应用。若用 X 表示 n 重贝 努利实验中事件 A 发生的次数， X 是一个随机变 量，它服从如下的二项分布

P x k 特别，当

n k

p (1 p )k

n k

, k 0,1, 2,..., n

n 1 时二项分布就是(0-1)分布。

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(3)泊松分布 设随机变量 X 所有可能的取值 为 0,1, 2,..., 而取各个值的概率为

P x k

e

k

k!

,

k 0,1, 2,...n,

其中， 0 是常数，则称 X 服从参数为 的泊松 分布。可以证明当 p 很小时，以 n, p为参数的二 项分布，当 n 时趋于以 为参数的泊松分布， np 其中

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2、连续的随机变量 理论模型的连续型随机变量可以由概率密度函数 ( pdf ) f ( x) 来描述，对所有的 x 存在 f ( x) 0 ,且 f ( x)dx 1 ,随机变量落在区间 ( x1 , x2 ] x 的概率可由 x f ( x)dx 来给出，在连续型随机变 量中下述两种是重要的 。2 1

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(1)均匀分布

设连续型随机变量 X 具有概率密度a x b 其他

1 , f ( x) b a 0,

则称 X 在区间(a,b)上服从均匀分布。 在区间(a,b)上服从均匀分布的随机变量 X ,具 有下述意义的等可能性，即它落在区间(a,b)中任 意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落 在子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间 的位置无关。 (2)正态分布 设连续型随机变量 X 的概率密度为 x 2 1 2 2 f ( x) e , x 2 其中 , 0 为常数，则称X 服从参数为 , 的

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正态分布。 连续型随机变量的值如同离散的一样可以用频 率表给出，但不同的是离散的随机变量每个频率 对应于随机变量的一个值，而对于随机变量每一 个频率对应于随机变量的一个取值范围。

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二、蒙特卡罗方法

蒙特卡罗方法是计算模拟的基础，其名字来源于 世界著名的赌城——摩纳哥的蒙特卡罗。其思想 来源于著名的蒲丰投针问题。 1777年法国科学家蒲丰提出了下述著名问题：平 a a 0 面上画有等距离 的一些平行线，取一根长 l l 0 度为 的针，随机地向有平行线的平面上掷 去，求针与平行线相交的概率。 我们用几何概型来解决这一

问题。设M为针落下 后的中点，x 表示中点M到最近一条平行线的距离， 表示针于平行线的交角，如图2.18所示。那么基 a 本时间区域 x, | 0 x , 0 2

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x a 2 a

x

l sin 2

M x

o

图2.18

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a 它为平面上的一个矩形，其面积为 S ( ) 。 2

为使针与平行线(与 最后的一条平行线)相 交，其充要条件是 a 0 x A 2 0 1 A 的面积为 S ( A) 0 l sin d l ,这样针与平行线 2 相交的概率为 S ( A) p S ( )

设一共投掷 n 次( n 是一个事先选好的相当大 的自然数),观察到针和直线相交的次数为 m 。

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从上式我们看到，当比值 l / a不变时， p 值始终 不变。取 m /nn为 p 的近似值，我们可以算出 的 m 近似值。可以想象当投掷次数越来越多时计算的结 果就越来越准确。下表时这些实验的有关资料 (此 处把 a 折算为1):实验者 pulf Smith 年份 1850 1855 针长 0.8 0.6 投掷次数 5000 3204 相交次数 2532 1218.5 的实验 值 3.1596 3.1554

De Morggen C 1860Fox Lazzerini Reina 1884 1901 1925

1.00.75 0.83 0.5419

6001030 3408 2520

382.5489 1808 859

3.1373.1595 3.141592 3.1795

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由此可以看出蒙特卡罗方法的基本步骤：首先，建立 一个概率模型，使它的某个参数等于问题的解。然后按 照假设的分布，对随机变量选出具体的值(这一过程又 叫着抽样),从而构造出一个确定性的模型，计算出结 果。再通过几次抽样实验的结果，的到参数的统计特性， 最终算出解的近似值。 蒙特卡罗方法主要用再难以定量分析的概率模型，这 种模型一般的不到解析的结果，或虽然又解析结果，但 计算代价太大以至不可用。也可以用在算不出解析结果 的定性模型中。 用蒙特卡罗方法解题，需要根据随机变量遵循的分布 规律选出具体的至，即抽样。随机变量的抽样方法很多， 不同的分布采用的方法不尽相同。在计算机上的各种分 布的随机数事实上都是按照一定的确定性方法产生的伪 随机数。

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三、随机数的生成

我们知道对于丢硬币的随机结果可以用以下的离散 随机变量的改里函数来描述X P(x) 0 0.5 1 0.5

如果我们需要模拟随机变量的以个值或一个集合， 可以用丢硬币然后记录其其结果的方法来得到，然 而这具又相当的局限性，这里我们用数学程序来产 生拟随机变量。即看上去是随机出现的，但并非真 正的随家便朗，它们产生于一个梯推公式。不过这 些拟随机数并没有明显的规律，当给于适当的伸缩 之后，它们非常接近于在 0,1 区间的均匀分布。

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这种方法的思想是，设计一个把 0 和 M 之间

的整 数映射到它们自身上的函数 f ,然后从 x0 开始， 依次计算 f ( x0 ) x1 , f ( x1 ) x2 , . 例如通过下面的 公式可以产生这样的一组随机变量 X (mod1000), Rn 1 n 1 X n 1 97 X n 3 给定任意一个初值，如 X 0 71, 代入公式 得 X1 890 ,然后用 1000 去除得 R1 0.890 ;同样 X 1 890 代入公式，可以得 R2 0.333,重复这一过 程可以得到我们所需要的一组随机变量。在程序 设计和软件包中通常用 来表示由这样，我们 用它来表示从 [0,1] 上的均匀分布所产生的随机变 量。1000

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我们可以从它构造出另外的随机变量。例如，可 以从X a (b a)RND 给出区间 [a, b] 上的连续均匀 分布的随机变量。如果我们要生成带参数 的指 数分布，可以用 X (1/ ) ln( RND) 。 如果我们要 生成平均值未零，标准差为 1 的正态分布，可以 用下列公式X 1 [ 2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )

和X 2 [ 2 ln( RND1 )]1/ 2 cos(2 RND2 )

来给出 X 的两个值，令X X 2 或 X X1 可以生成 ( , ) 型的正态分布。

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为了得到离散的随机变量，我们把 分成若 干部分。例如设计一个离散的随机变量有下列的 概率函数。x

0 1 2 P x 0.3 0.3 0.4 取一个RND值：如果 0 RND 0.3 ,则 X 0 ; 如果 0.3 RND 0.6 ,则 X 1 ; 如果0.6 RND ,则 X 2 。 对于连续的随机变量除了取生成的随机变量是每 类的中点外，我们可以用同样的思想进行列表分 类。如X

频率

0-10 0.2

10-15 0.5

15-20 0.3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/djo1.html