概率论与随机过程期末复习试题

期末复习试题

一、填空题

1. 假设P(A)?0.4,P(A?B)?0.7， 若A与B互不相容，则P(B)?________； 若A与B相互独立，则P(B)?________.

2．设A与B为两个事件，P(A)?0.9，P(AB)?0.3，则P(AB)?___________.

3. 设P(A)?0.5，P(B)?0.3P(BA)?0.2，则P(B?A)?___________. 4．设随机变量X的分布率为P{X?k}?a（k? 1, 2, ?,7），则常数a?_______. 7?ax, 0?x?1,5．设随机变量X的密度函数为f(x)??则常数a?_________

0, 其它.?6. 设随机变量X??(?),且已知E[(X?1)(X?2)]?1，则??___________.

7．设随机变量X?B(n,p)的二项分布，且E(X)?4,D(X)?3,则n?___，p?___ 8. 设X服从N(?,?)，随?增大，概率P{X????}的值________________.

29. 设X服从N(1,4)，则E(X2)为 ________________. 10．设随机变量X和Y的分布率为P{X?1,Y?2}?P{X?1,Y?4}?1,P{X?2,Y?2}?a, 31,P{X?2,Y?4}?b，若{X?1}与{Y?2}独立，则4a?______，b?______。

11．设随机变量X和Y独立，且都服从N(?,1)，若P{X?Y?1}?0.5，则?为 ____

Y服从N(0,1)，12．设随机变量X和Y独立，且X服从N(1,2)，则Z?2X?Y?3服从_________

13. 设随机变量X和Y的数学期望分别为-2和2，方差分别为1和4，而相关系数为-0.5，

则由切比雪夫不等式，有P{|X?Y|?6}?_______________.

14．设X1, X2, ?, Xn是n个相互独立同分布的随机变量，

E(Xi)??, D(Xi)??2，其中i?1, 2, ?, n，则 P{|__________________.

?Xi?1ni??|?2}的近似值

n?15. 某人不断地掷骰子．设Xn表示前n次抛掷中出现的最大点数，那么随机序列

?Xn,n?1?的状态空间是____________________.

16．设计数过程{N(t),t?0}是强度为?的泊松过程，令t0?0，则均值函数为_____，方差函数为_____.

17．设{W(t),t?0}是以?2为参数的维纳过程，则?t?0, W(t)?___________________.

18．已知{Xn,n?T1}为马尔可夫链，I?{a1,a2,?}为状态空间，对于0?t1?t2???tr?m,

（ti,m,m?n?T1），都有p{Xm?n?aXt1?ai1,Xt2?ai2,?,Xir?air,Xm?ai}?______

二、简单计算题

1. 已知P(A)?P(B)?P(C)?有一个发生的概率

2．设X的密度函数为f(x)??11,P(AC)?0, P(AB)?P(BC)?,求A,B,C至少48?ax, 0? x?1,1试求：（1）常数a；（2）P{0?X?}．

2?0, 其他.x?1?12?e, x?0,3．设X的密度函数为f(x)??2求以a为未知数的一元二次方程

?0, 其他.?a2?2Xa?4?0有实根的概率。

?(1?e?1)?1e?(x?y), 1>x?0,y?04．设(X, Y)的密度函数为f(x)??，求fX(x),fY(y).

0, 其他.???101?5．设随机变量Xi??111?,(i?1,2)，且满足P(X1X2?0)?1.求Z?max(X1, X2)???424?的分布率

6．设随机变量X的期望E(X)非负，且E{X?1}?2，D{12211X?1}?，求E(X)。 22Y服从N(0,1)，7. 设随机变量X和Y独立，且X服从N(150,4)，令Z1?2X?Y，

Z2?2X?Y，求Cov(Z1,Z2)。 三、计算题

1. 将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02， B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传送的频繁程度为2:1,试求：（1）收到信号B的概率是多少？（2）若接收站收到的信息为A，问原发信息是A的概率是多少？ 2. 设随机向量(X, Y)的分布律为

X Y -1 0 1 1 61 32 1 93 1 18? ? 试求：（1）?和?应该满足什么条件；但X和Y不是相互独立的；（2）当X和Y独立时，求?和?的值；（3）在第二问的基础上，X与Y分布率与分布函数；（4）E(X)和D(Y).

3．设X的密度函数为f(x)???Ax(1?x),0?x?1,（1）试确定b，使得

0，其他.?（2）E(X)和D(X). P{X?b}?P{X?b}；

4．设X和Y是两个相互独立的随机变量，其密度函数分别为

??e??x,x?0,??e??y,y?0, （1）写出X和Y的联合密度函fX(x)??fY(y)??y?0.?0，其他.?0,?1, X?Y数；（2）令Z??，求Z的分布率与分布函数；（4）E(Z)和D(Z).

?0, X?Y5．设G为由抛物线y?x2和y?x所围区域，二维随机变量(X, Y)在区域G上服从均匀分布。试求：（1）X和Y的联合密度函数；（2）fX(x),fY(y)；（3）判断X和Y是

否相互独立；（4）协方差Cov(X,Y).

6. 某机器同时收到120000个噪声电压Vk，k?1,2,?,120000，Vk独立都在（0，10）

120000上服从均匀分布，令V??Vk?1k，求P{V?601000} （?(0)?0.5，?(1)?0.8413）

7. 某单位内部有260部电话分机，每部分机有4%的时间使用外线与外界通话，可以认为每部电话分机用不用外线是相互独立的，问总机需备多少条外线才能以95%把握保证各分机在用外线时不必等候．（?(1.64)?0.9495，?(1.65)?0.9505，?(1.66)?0.9515） 8．某电视机厂每月生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8，为了以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品的显像管，问该车间每月至少应生产多少只显像管？（?（2.75）=0.997，?（0.99）=0.8389） 9. 设X(t)?At?B,???t???,式中A,B是相互独立，且都服从正态N(0,?2)分布的随机变量，试说明X(t)是一正态过程，并求出它的均值函数和自相关函数． 10．设齐次马氏链{Xn, n?1}的状态空间I?{0,1,2}，一步转移概率矩阵为

?1/43/40??，初始状态的概率分布为P{X(0)?i}?1, i?1,2,3

P??1/41/21/4??3???01/43/4?试求：（1）判断马氏链是否具有遍历性；（2）P{X0?1,X3?2}（3）P{X3?1}. 7. 设X(t)?X, ???t???，，其中X的概率分布为P{X?i}?13, i?1,2,3，试讨论随机过程{X(t),???t???}的各态历经性．

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