第九章 微分方程与差分方程

的高等数学练习题 第九章 微分方程与差分方程

系 专业 班 姓名 学号 第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程（一）

一．选择题

1．微分方程xyy???x(y?)3?y4y??0的阶是 （ A ） （A）2 （B）3 （C）4 （D）5 2．微分方程

y??2y?0的通解是 （ C ）

（A）y?Csin2x （B）y?4e2x （C）y?Ce2x （D）Y?Cex

3．微分方程y\?11?y(y?)2?0的通解是 （ C （A）Cx （C）CCx1ex?C2 （B）e?C2e1?1 （D）Cx1e?C2x

4．下列微分方程中，属于可分离变量的微分方程是 （ C （A）xsin(xy)dx?ydy?0 （B）y??ln(x?y)

（C）dydx?xsiny （D）y??1xy?exy2 5．微分方程dxy?dyx?0满足yx?3?4的特解是 （ B （A）3x?4y?7 （B）x2?y2?25 （C）x2?y2?25 （D）y2?x2?7

二．填空题

1．微分方程xyy??1?x2的通解是 y 2 ? 2ln | x |? x 2 ? C

? 2．微分方程y??y1?x2满足yx?0??的特解是y(1)??earctan1??e4

3．ds1?s2 dt?1?t2的通解是 s ? t ? C 三．计算题

1． 求cosydx?(1?e?x)sinydy?0的通解

ex解：原方程可化为 tanydy??1?exdx积分，得 ln|coys?|l?ne(1x?)C l 故，方程的通解为 |coys?|C?(1exC)?,，即cosy?C(1?ex),C?R

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） ） ） 2．求微分方程ydx?x2dy?4dy?0，满足yx?4?2的特解

解：原方程可化为

dydx ??2yx?414x?21x?2ln|?|Cln即 y4?C x?24x?216 34 积分得 ln|y?| 当yx?4?2时，C? 方程的满足条件的特解为 y?16x?2，

3x?23．已知需求的价格弹性E??为需求Q的函数。

1，又当Q?0时，P?100，试确定价格函数，即将价格P表Q2EQP1dP?Q?(P)??2?QdQ??EPQQP21C 两边积分得Q2??lnP?C1?eQ?22P1?Q210000?当Q?0时， P?100,?C?10000?价格函数为P??100e2Q2e解：由题意知：E?

4．一曲线通过(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。 解：设曲线上任一点为M(x,y)，则以该点为切点的切线在x轴，y轴上的截距，依题意应为2x

与2y， 即

dyy?? ， ydxxx?2?3

解方程得 xy?C 把y(2)?3代入，得C = 6 故 所求的曲线方程为 xy?6

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高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第二节 一阶微分方程（二）

一．选择题

1．下列各微分方程中为一阶线性微分方程的是 （ B ） （A）xy??y2?x （B）y??x4y?sinx （C）yy??x （D）(y?)2?xy?0 2．微分方程xy??y?3的通解是 （ C ） （A）y??3x?C （B）y?3x?C （C）y??Cx?3 （D）y?Cx?3 3．满足方程f(x)?2?x20f(t)dt?x的解是f(x)? （ B （A）?12e?2x?x?12 （B）12e?2x?x?12 （C）Ce?2x?x?112 （D）Ce?2x?x?2 574．已知微分方程y??P(x)y?(x?1)2的一个特解为y?23(x?1)2，则方程的通解为（ C 77 （A）C(x?1)?2?2(x?1)2 （B）C(x?1)?2?2(x?1)2311 （C）C(x?1)2?273(x?1)2 （D）C(x?1)2?2711(x?1)2

二．填空题

1．微分方程xy??y?y2?x2?0的通解是 y ? y2 ? x2 ? Cx2

2．微分方程y??x?y，满足y2?2x2(lnx?2)yxyx?1?2的特解为

3．微分方程y??ytanx?cosx的通解为 y ? ( x ? C )cos x

三．计算题

1． 求微分方程ylnydx?(x?lny)dy?0的通解

解：方程可化为：

dxdy?xylny?1y ，以y为变量的方程 11 x?e??ylnydy(?1?e?ylnydydy?C) ?e?lnlny1y(?y?elnlnydy?C)

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）

）

?11112lnyC (?.lnydy?C) ?(lny?C) ??lnyy2lnylny222．求微分方程(y?6x)dy?2y?0的通解 dx解：方程可化为：

dx3y?x?? dyy23 所以 x?e?ydyyy??ydyy1(???edy?C)?e3lny(???e?3lnydy?C)?y3(???3dy?C)

22y231y2?y(?C)??Cy3

2y23 3．设f(x)为连续函数，由

?tf(t)dt?x0x2?f(x)所确定，求f(x)

?f( x)，

)?2x?解：对积分方程两边求导数得 xf(x即 f?(x)?xf(x)??2x 且f(0)?0

f(x)?e?xdx(??2xe??xdxdx?C)?e(??2xex22?x22dx?C)?e(2ex22?x22?C)?2?Ce

x22 当x?0时，f(x)?0代入上方程得C??2 故 f(x)?2?2e

四．巳知生产某产品的固定成本是a?0，生产Q单位的边际成本与平均单位成本之差为：?且当产量的数值等于a时，相应的总成本为2a，求总成本C与产量Q的函数关系。

x22Qaa，Q解：由题意得C?(Q)??e?P(Q)dQC(Q)Qa??QaQ1Q?e??QdQ1?e?lnQ?Qa11?)dQ?AQ?Q2?a(A为常数)aQQa1?当Q?a时,C(Q)?2a?A?0?C(Q)?Q2?aa?C(Q)?AQ?Q?(

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高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第三节 二阶常系数线性微分方程的解法（一）

一．选择题

1．已知y1?cos?x，y2?3cos?x是方程y????2y?0的解，则y?C1y1?C2y2 (C1,C2为 任意常数) （ B ） （A）是方程的通解 （B）是方程的解，但不是通解 （C）是方程的一个特解 （D）不一定是方程的解．

2．具有特解y1?e，y2?2xe的二阶常系数齐次线性方程是 （ B ） （A）y???9y?0 （B）y???6y??9y?0 （C）y???9y?0 （D）y???6y??9y?0

3．微分方程y???4y??29y?0，y|x?0?0，y?|x?0?15的特解是y? （ C ） （A）3(e?2x?1)cos5x （B）5(e?2x?1)cos3x （C）3e?2x3x3xsin5x （D）5e?2xsin3x

二．填空题

1. 微分方程y???2y??3y?0的通解是

y?C1e?x?C2e3x(C1,C2为常数)?3xy?(C?Cx)e(C,C为常数)122．微分方程y???6y??9y?0的通解是 123．方程y(4)2x?2xsin ? C 2 e ? C 3 2 x ? C 4 cos2x(C1,C2,C3,C4为常数)?4y?0的通解y?C1e4．具有特解y1?e和y?exx?2x的二阶常系数齐次线性方程为

y???y??2y?0 5．设y?e(C1cos2x?C2sin2x)为某方程的通解，其方程为 三．计算题

1．求方程y???y?的通解

解：特征方程为 r?r，得特征根为 r1?0,r2?1 所以方程的通解 y?C1?C2ex

2y???2y??5y?0 65

2．求微分方程y???6y??(9?a2)y?0的通解，其中常数a?0. 解：特征方程为：r?6r?9?a?0，求得特征根 r1,2??3?ai 所以方程的通解 y?e?3x(C1cosax?C2sinax) 3．求方程4y???4y??y?0，yx?0?2，y?x?022?0的特解

1 22解：特征方程为 4r?4r?1?0，解得特征根为 r1?r2?? 所以方程的通解为 y?(C1?C2x)e1?x2

?x11 y??(C2?C1?C2x)e2

221 把 yx?0?2，y?x?0?0 代入上二式，得C1?2,C2?1

1?x2 故 所求方程满足条件的解为 y?(2?x)e

*2x4．设二阶常系数线性方程y????y???y??e的一个特解为y?ex?(1?x)ex，试确定常数

?,?,?，并求该方程的通解

解：将y?e2x?(1?x)ex代入原方程，得

(4?2???)e2x?(3?2???)ex?(1????)xex??ex

?4?2????0? 比较同类项的系数，得?3?2?????

?1?????0?x 解方程组，得???3,??2,???1，即原方程为 y???3y??2y??e

x2x 对应的特征方程的根为 r1?1,r2?2，故齐次方程的通解为 y?C1e?C2e

所以原方程的通解为 y?C1ex?C2e2x?[e

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2x?(1?x)ex]

高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第三节 二阶常系数线性微分方程的解法（二）

一．填空题

1．方程y???3y??2y?3xe的特解可设为 .

?xx(A0?A1x)e?x2A2．方程4y???12y??9y?e(3x2?2)的特解可设为 x ( A 0 ? A 1 x ? 2 x ) e .

3．方程y???y?x2?1的特解可设为 A 0 ? A 1 x ? A 2 x . 4．方程y???2y??5y?esin2x的特解可设为 . 5．方程y???6y??9y?(x?1)e3xx23x223x2xex(Acos2x?Bsin2x)的特解可设为 .

x2(A0?A1x)e3x6．已知二阶线性非齐次微分方程有三个特解y1?3，y2?3?x2，y3?3?x2?ex，则该微分方程的通解是 y ? C 1e ? C 2 x ? 3 . 二．选择题

1．微分方程y???y??ex?1的一个特解应具有形式（式中a,b为常数） （ D ） （A）ae?b （B）axe?b （C）ae?bx （D）axe?bx 2．微分方程y???4y??4y?xe（A）y?(Ax?Bx)e（C）y?(Ax?B)e2x322x2xxxxxx2 ?sinx的特解应设为 （ D ）

?Csinx （B）y?Ax3e2x?Bsinx?Ccosx

?Csinx?Dcosx （D）y?(Ax3?Bx2)e2x?Csinx?Dcosx

3．设微分方程y???2y??3y?f(x)有特解y*，则它的通解是 （ A ） （A）y?C1e?x?C2e3x?y* （B）y?C1e?x?C2e3x （C）y?C1xe三．计算题

1．求微分方程y???y??2y?5sinx的一个特解

?x?C2xe3x?y* （D）y?C1ex?C2e?3x?y*

解:特征方程为:?2???2?0,??1??1,?2?2 故设微分方程的特解为Acosx?Bsinx,代入微分方程得(?Acosx?Bsinx)?(?Asinx?Bcosx)?2(Acosx?Bsinx)?5sinx 67

1?A???A?B?2A?0??2??????B?A?2B?5?B??3

??213?微分方程的一个特解为cosx?sinx.222．求微分方程y???5y??6y?x2?3的通解

解:特征方程为:?2?5??6?0,??1??1,?2?6?齐次微分方程的通解为y?C1e?x?C2e6x设非齐次微分方程的特解为A0?A1x?A2x2,代入微分方程得2A2?5(2A2x?A1)?6(A2x2?A1x?A0)?x2?323?A??0108?6A2?1??5?????10A2?6A1?0??A1?18?2A?5A?6A??3?10?21?A???26?1523?非齐次微分方程的通解为y?C1e?x?C2e6x?x2?x?618108 3．设函数求微分方程y???2y??y?xex?ex 满足初始条件yx?0?1,y??1的特解 x?0

解:特征方程为:?2?2??1?0,??1??2?1?齐次微分方程的通解为y?(C1?C2x)ex设非齐次微分方程的特解为x2(A0?A1x)ex,代入微分方程得6A1x?2A0?x?111?A0??,A1?2611?非齐次微分方程的通解为y?(C1?C2x)ex?x2(??x)ex261?y??(C1?C2?C2x)ex?(x3?x)ex6?当x?0时,y?1,y??1?C1?1?C?111????1?特解为y?ex?x2ex(??x)26?C1?C2?1?C2?0

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4．y?y(x)满足微分方程y???3y??2y?2ex，且其图形在点(0,1)处的切线与线y?x2?x?1在该点的切线重合，求函数y?y(x).

解:由题意知:y|x?0?1,y?|x?0??1特征方程为:?2?3??2?0,??1?1,?2?2?齐次微分方程的通解为y?C1ex?C2e2x设非齐次微分方程的特解为A0xex,代入微分方程得(2?3)A0?2?A0??2?非齐次微分方程的通解为y?C1ex?C2e2x?2xex?y??C1ex?2C2e2x?2ex?2xex?当x?0时,y?1,y???1?C1?C2?1?C?1????1?特解为y?ex?2xex?C1?2C2?2??1?C2?0

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高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 第四节 一阶常系数线性差分方程

一．选择题

1．用待定系数法求差分方程yt?1?yt?2t2的特解，其试解函数的形式应写成 （ ）

2（A）yt*?At2 （B） yt*?A1?A2t?A3t 2*22（C）yt*?t(A （D）?At?At)y?t(A?At?At123t123)

2．yt?1?4yt?sin3t的特解的试解为： （ ） （A）Acos3t （B）A1cos3t?A2sin3t （C）Asin3t （D）t(A1cos3t?A2sin3t) 二．填空题

1．函数yt?sin2t的一阶差分为?yt? 2．差分方程yt?1?5yt?3?0的通解为 三．计算题

1．求差分方程yt?1?5yt?cos

2．求差分方程yt?1?yt?t2的通解

t?2t的通解

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3．设某产品在t时期的价格为Pt，供给量与需求量分别为St与Dt满足如下关系St?2Pt?1，

Dt??4Pt?1?5，St?Dt，其中t?1,2,?

（1）推导Pt满足的差分方程；（2）在P0?1的初始条件下，求它的特解。

四．设Yt，Zt，Ut分别是下列差分方程的解yt?1?ayt?f1(t)，yt?1?ayt?f2(t)，

yt?1?ayt?f3(t)，求证zt?Yt?Zt?Ut是下列差分方程的解：yt?1?ayt?f1(t)?f2(t)?f3(t)

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高等数学练习题 第十二章 微分方程

系 专业 班 姓名 学号 综 合 练 习 题

一．选择题 1．已知函数y1?ex2?1x2， y2?ex2?1x2，y3?e1(x?)2x，则 （ C ）

（A）y1与y2线性相关 （B）y2与y3线性相关 （C）y1与y3线性相关 （D）它们两两线性相关 2．若连续函数f(x)满足关系式f(x)? （A）eln2 （B）e二．填空题

x2x?2x0tf()dt?ln2，则f(x)? （ B ） 2ln2 （C）ex?ln2 （D）e2x?ln2

y?1(1?x2)[ln(1?x2)?1]212 1．已知曲线过点(0,?)，且其上任一点(x,y)处切线斜率为xln(1?x)，则曲线为

21x?4?C||4 2．ydx?(x2?4x)dy?0的通解为 y x

x 3．微分方程y??ytanx?cosx的通解为 y ? ( x ? C )cos 11x?xy?(C?Cx)e?(x?)e12x4 4．微分方程y???2y??y?xe的通解 4

三．将所给的微分方程与其相应的类型用线连接起来

（1）xy3dy?[y?xy(1?lnx)]dx?0 （a）一阶线性齐次微分方程 （2）(1?x)2dy?xydx?0 （b）一阶线性非齐次微分方程 （3）

?x0?2y(t)?t2?y2(t)?dt?xy(x) （c）可分离变量的微分方程

??2（4）xdy?3ydx?xdx （d）齐次微分方程 （5）

dy?1?x?y2?xy2 dx（6）xy??y?x2ex 四．计算题

1．求微分方程 (y?x)dx?2xdy?0的通解

21x 解：原方程可化为y??y??,2x2

所以，通解为：y?Cx?1x35

3 72

2．设可导函数?(x)满足

?(x)cosx?2??(t)sintdt?x?1, 求?(x)

0x 解：两边求导得：??(x)?tanx?(x)?secx,且?(0)?1. 方程的通解为：?(x)?Ccosx?sinx,

当x?0时，?(0)?1，所以C?1,所以?(x)?cosx?sinx.

求微分方程y???y??2x2?1的通解。

解 将方程写作y???y??(2x2?1)e0x。因为??0是特征方程?2???0的单根，所以原方程一个特解形式为

y*(x)?ax3?bx2?cx，

将此解代入原方程，得

3ax2?(2b?6a)x?(c?2b)?2x2?1，

比较两端同次项的系数，有

3a?2,2b?6a?0,c?2b?1。

解上述方程组，得

a?从而得到原方程的一个特解

2,b??2,c?5。 323x?2x2?5x。 3y*(x)?又因为相应齐次方程y???y??0的通解为

y?C1?C2e?x。

所以原方程的通解为

y?C1?C2e?x?

23x?2x2?5x。 3另解：方程y???y??2x2?1两端积分，得

y??y?这是一个一阶线性微分方程，其通解为

23x?x?C1， 3 73

2y?e?x(C2??(x3?x?C1)exdx)32?C1?C2e?x?x3?2x2?5x?5

32?C1?C2e?x?x3?2x2?5x。3

3．设f(x)?sinx??(x?t)f(t)dt，其中f(x)为连续函数，求函数f(x)

0x 解：两边求导得：f?(x)?cosx?xf(t)dt,且f(0)?00

??? 再求导得：f(x)??sinx?f(x),且f(0)?1,2 微分方程的特征方程为：??1?0,所以??0,??1, 齐次微分方程的通解为：y?C1cosx?C2sinx,? 设该方程的特解为：y*?x(Acosx?Bsinx),则

?2Asinx?2Bcosx??sinx.

11 所以A?,B?0,特解为:y*?xcosx,22

1 所以方程的通解为：y?C1cosx?C2sinx?xcosx.2

?五．已知某商品的需求价格弹性为对价格的需求函数。 dQPEQ??P(lnP?1)，且当P?1时，需求量Q?1，试求商品EPdQ解：由题意得方程：???P(lnP?1),分离变量得：??(lnP?1)dPdPQQC两边积分得：lnQ??PlnP?C,所以Q?P,P当P?1时，Q?1,所以C?1,1所以商品需求量对价格的函数为：Q?P.P 74

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