高考数学应用题归类解析-(2)

高考数学应用题归类解析

张家港市常青藤实验中学 何 睦

类型一：函数应用题

1.1 以分式函数为载体的函数应用题

?1??6?x例1. 工厂生产某种产品，次品率p与日产量x(万件)间的关系为：p???2??3数， 且0

次品数

（2）为使日盈利额最大，日产量应为多少万件？(注：次品率＝×100%)

产品总数【解】（1）若0?x?c，则y?3(x?0?x?c,（c为常

x?c

x3x9x)???3x?， 6?x26?x2(6?x)?3(9x?2x2)0?x?c?232 若x?c，则y?3(x?x)??x?0 ， ?y??2(6?x)

323?0x?c?3(9?4x)(6?x)?(9x?2x2)(?1)3(x?3)(x?9))? （2）当0?x?c，则y??222(6?x)(6?x)'若0?c?3，则y?0，函数在?0,c?上为增函数，?x?c,ymax'3(9c?2c2) ?2(6?c)若3?c?6，在(0,3)上为增函数，在(3,c)上为减函数，∴当x?3时，ymax?f(3)?9. 2综上，若0?c?3，则当日产量为c万件时，日盈利额最大；若3?c?6，则当日产量为3万件时，日盈利额最大.

例2. 近年来，某企业每年消耗电费约24万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为0.5. 为了保证正常用电, 安装后采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费C（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位:平方米)之间的函数关系是C(x)?k(x?0,k为常数). 记F为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该村15年

20x?100共将消耗的电费之和.

（1）试解释C(0)的实际意义, 并建立F关于x的函数关系式； （2）当x为多少平方米时, F取得最小值？最小值是多少万元？

【解】（1）C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为0时的用电费用， 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费，由C(0)?所以F?15?k?24,得k?2400， 10024001800?0.5x??0.5x,x?0；

20x?100x?51800?0.5(x?5)?0.25?21800?0.5?0.25?59.75. （2）因为F?x?51800?0.5(x?5)，x?55时取等号，所以当x为55平方米时, F取得最小值为59.75万元. 当且仅当

x?5

1.2 以分段函数为载体的函数应用题

例3. 在等边?ABC中,AB=6cm，长为1cm的线段DE两端点D,E都在边AB上，且由点A向点BGE?AB,点G在边AC或边BC运动（运动前点D与点A重合），FD?AB,点F在边AC或边BC上；

上，设AD?xcm.

（1）若?ADF面积为S1?f(x),由DE,EG,GF,FD围成的平面图形面积为S2?g(x)，分别求出函数

f(x),g(x)的表达式；

（2）若四边形DEGF为矩形时x?x0，求当x?x0时, 设F(x)?f(x)，求函数F(x)的取值范围 . g(x)32x； 20解：（1）① 当0?x?3时，F在边AC上，FD?xtan60?3x，?f(x)?当3?x?5时，F在边BC上， FD?(6?x)tan600?3(6?x),

??3??f(x)?x(6?x)，?f(x)??2???32x,0?x?32 3x(6?x),3?x?520② 当0?x?2时，F、G都在边AC上，FD?xtan60?3x，

EG?3(x?1)?g(x)?3x?3(x?1)3?1?3x?；

2253； 2当2?x?3时，F在边AC上，G在边BC上,FD?3x, EG?3(5?x)?g(x)?当3?x?5时，F、G都在边BC上,FD?3(6?x), EG?3(5?x)?g(x)??3x?113 2?33x?,0?x?2?2???53?g(x)??,2?x?3.

2?11??3x?3,3?x?5?2??x25955,??F(x)? （2）x0? ① 当?x?3时，F(x)?22545x2?6xx2?5x?33',?F(x)?4?0 ② 当3?x?5时，F(x)?22x?11?2x?11??5??18??F(x)的取值范围为?,5???,10?

?4??5?

例4. 如图，长方体物体E在雨中沿面P（面积为S）的垂直方向作匀速移动，速度为v（v＞0）， 雨速沿E移动方向的分速度为c?c?R?，E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或P的平行．．．．面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与v?c×S成正比，比例系数为1；（2）其他面的淋雨量之和，

133

. 记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d?100，面积S?S=.

222（1）写出y的表达式；

其值为

（2）设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少.

1.3 以二次函数为载体的函数应用题

例5. 轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛

物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A(0，4)，另一端点C(3，1)，点B(2，0)，单位：米．

（1）求助跑道所在的抛物线方程；

（2）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）

y4ADCBO2Ex

【解】（1）设助跑道所在的抛物线方程为f(x)?a0x2?b0x?c0，

?c0?4,?依题意： ?4a0?2b0?c0?0, 解得，a0?1，b0??4，c0?4，

?9a?3b?c?1,00?0∴助跑道所在的抛物线方程为f(x)?x2?4x?4． （2）设飞行轨迹所在抛物线为g(x)?ax2?bx?c（a?0），

依题意：??f(3)?g(3),?9a?3b?c?1,?b?2?6a,得?解得?

?f'(3)?g'(3),?6a?b?2,?c?9a?5,23a?121)?1?， aa3a?1213a?112)?2，∵a?0，∴x???3?， 令g(x)?1得，(x?aaaaa13a?122当x?时，g(x)有最大值为1?，则运动员的飞行距离d?3??3??，

aaaa1121飞行过程中距离平台最大高度h?1??1??，依题意，4???6，得2???3，

aaaa∴g(x)?ax?(2?6a)x?9a?5?a(x?即飞行过程中距离平台最大高度的取值范围为在2米到3米之间．

例6. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元．为了增加企业竞争力，决定优化产

3x??业结构，调整出x (x∈N?)名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10?a??万元(a

500??＞0)，剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%．

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

【解】（1）由题意，得10(1000－x)(1＋0.2x %)≥10×1000，即x2－500x≤0，又x＞0，所以0＜x≤500．即最多调整500名员工从事第三产业．

3x??（2）从事第三产业的员工创造的年总利润为10?a??x万元，从事原来产业的员工的年总利润为

500??3x21?3x?1????10(1000?x)?1?x?万元，则10?a?x?，所以ax－≤1000＋2x－x－?x≤10(1000?x)?1?500500??500???500?2x21210002x＋1000＋x，即a≤＋＋1恒成立． x，所以ax≤500500x500因为

2x1000100010002x2x?＋≥2＝4，当且仅当＝，即x＝500时等号成立，所以a≤5，又 500xxx500500a＞0，所以0＜a≤5．所以a的取值范围为(0，5]．

类型二：三角测量应用题

2.1 以三角函数的定义为载体的三角应用题

例7. 如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮O1的半径为2r（r为常数），小飞轮O2的半径为r，

O1O2?4r.在大飞轮的边缘上有两个点A，B，满足?BO1A??3m]

，在小飞轮的边缘上有点C．设大飞

轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B，C在水平直线O1O2上． （1）求点A到达最高点时A，C间的距离； （2）求点B，C在传动过程中高度差的最大值.

y ． A 1 ． O． B． ． CO2 x 【解】（1）以O1为坐标系的原点，O1O2所在直线为x轴，如图所示建立直角坐标系．当点A到达最高点

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