中考数学专题复习(二)圆

专题二：圆

知识要点扫描归纳

一圆的基本概念

（1）圆的定义：在平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。定点叫做圆心，定长叫半径。

（2）确定圆的条件；

①已知圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；

②不在同一条直线上的三点确定一个圆；

③已知圆的直径的位置和长度可确定一个圆；

（ 3）点和圆的位置关系设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系有三种。

①点在圆外d＞ r；②点在圆上d=r；③点在圆内d＜r ；

（4）弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直线。直径是圆中最大的弦。圆心到弦

的距离叫做弦心距。

（5）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。

（6）等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相

重合的两条弧叫做等弧。

（7）圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心

是它的对称中心。圆绕圆心旋转任何角度，都能够与原来的图形重合，因此圆还具有旋转不变性。

二圆中的重要定理

1．垂径定理及其推论：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧．

推论 1：一条直线，如果具有①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧．这五个性质中的任何两个性质这条直线就具有其余的三条性质．

推论 2：圆的平行弦所夹的弧相等．

2．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系、定理及推论．

在同圆或等圆中，四组量：①两个圆心角；②两条弧；③两条弦；④两条弦心距．其中任一组量相等，则

其余三组量也分别相等．即在同圆或等圆中：

圆心角相等所对弧相等所对弦相等所对弦心距相等

3．圆周角

①定义：顶点在圆上，且两边与圆相交的角．

②定理及推论

定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．

推论 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90o的圆周角所对的弦是直径．

推论 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

推论 4：圆内接四边形定理：圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

三、直线和圆的位置关系：

1 ．直线和圆的位置关系的定义及有关概念

（ 1）直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交（图1），这时直线叫圆的割线．（ 2）直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切（图2）

这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．

（ 3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离（图3）

· O

·O

· O

l

l

l

图 1图 2图 2

2．直线和圆的位置关系性质和判定

如果⊙ O的半径r ，圆心O 割直线l的距离为d，那么（1）直线l和⊙O相交 d r（图1 ）；（ 2）直线l和⊙O相切 d r （图2）；（ 3）直线l 和⊙O相离 d r（图3）．

O O O ·

r··

d

r d r

l

l d

l 图 1图 2

图 3

四、切线的判定和性质：

（一）切线的判定

1．切线判定定理：经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

2．和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；

3．经过半径外端点且与半径垂直的直线是圆的切线．

（二）切线的性质

1．切线的性质定理，圆的切线垂直于经过切点的半径；

推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；

推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．

2．切线的性质：

（1）切线和圆只有一个公共点；

（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；

（3）切线垂直于过切点的半径；

（ 4）经过圆心垂直于切线的直线过切点；

（ 5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心．五、三角形的内切圆 1 ．三角形的外接圆

过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，三条边中垂线的交点，叫做三角形的外心。三角形

的外心到各顶点的距离相等．

2 ．外心的位置

锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，直角三角形的外心在斜边中

点，外接圆半径 R

C (C 为斜边长 )

2

3 ．三角形的内切圆

到三角形三条边距离都相等的圆，叫三角形的内切圆，三角形中，三个内角平分线的交点，叫三角

形的内心，三角形内心到三条边的距离相等，内心都在三角形的内部．若三角形的面积为 S ABC

，周长为

a+b+c, 则内切圆半径为

:

2S ABC

，当 a, b 为直角三角形的直角边，

c 为斜边时，内切圆半径

r

b c

a

ab a b

c

r

或 r

2 .

a b

c

4 ．圆内接四边形的性质

（ 1）圆内接四边形的对角互补；

（ 2）圆内接四边形的任何一个外角等于它的对角．

注意：①圆内接平行四边形为矩形；②圆内接梯形为等腰梯形．

六、切线长定理：

1 ．切线长概念：

在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的

R ，叫做这点到圆的切线长．

2 ．切线长和切线的区别

切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量．

3 ．切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．

要注意：此定理包含两个结论，如图，

PA 、 PB 切⊙O 于 A 、 B 两点，① PA=PB ② PO 平分

APB ．

4 ．两个结论：

A

圆的外切四边形对边和相等；

P

O ·

圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长．

C D

七、弦切角定理：

B

1 ．弦切角概念：

理解体弦切角要注意两点：①角的顶点在圆上；②角的一边是过切点的弦，角的边一边是以切点为端

点的一条射线．

2 ．弦切角定理：

弦切角等于它所夹的弦对的圆周角，

该定理也可以这样说： 弦切角的度数等于它所夹弧的度数的一半．

3 ．弦切角定理的推论：

推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角相等．

C

八 与比例线段相关的定理（了解）

1．相交弦定理及其推论：

A

P （ 1）定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

B

D

如图， AB ，CD 相交余 E ，则 A E · EB=C E · DE

C

（ 2），推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成

A

P ·

B

O

的两条线段的比例中项．如上右图，有

A E ·EB=C E 2 成立

D

2，切割线定理及其推论

B

（ 1） 定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆

A

·O

如上左图， PT 切⊙ O,PAB 是⊙ O 的一条

·

交点的两条线段长的比例中项．

P

割线，则有 PT 2 =PA · PB 成立．

T

（ 2） 推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点

B

的两条线段长的积相等．

A

如上右图，有 PA ·PB=PC · PD 成立．

P

C

D

九 圆中的相关计算

1． 弧长公式：半径为

R 的圆，其周长是 2 R ，将圆周分成 360 份，每一份弧就是

1o 的弧， 1o 弧的弧长 应是圆周长的

1 ，而为 2R

R ，因此， n o

的弧的弧长就是 n R

，于是得到公式：

360

360

180

180

l

n R

(l 代表弧长 ) 。

180

2． （ 1）扇形的定义：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径组成的图形叫做扇形（如图）

。

（ 2）扇形的周长：OA

OB l AB 2R l AB

（ 3）扇形的面积：如图，阴影部分的面积即为扇形 OAB 的面积。

S 扇形 = n R 2

，n

(R 为半径

为扇形圆心角的度数 )

360

由上面两公式可知 S

n R21

扇形=lR ．可据已知条件灵活选用公式。

3602

O

·

3．弓形的面积

A B

A B

·

O

·O

A

m

B

m

（ 1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S

弓形=S

扇形

-S。

△ OAB

（ 2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S 弓形=S

扇形+S△OAB。十．两圆的位置关系：

1圆与圆的位置关系

外离外切相交

R

r R

r R r

图形d

··O·1·O··

O1O2O21O2公共点0 个 1 个 2 个

d、r 、R 的关系d>R+r d=R+r R-r<d<R+r

外公切线 2 条 2 条 2 条

内公切线 2 条 1 条0 条

2．两圆连心线的性质

（1）如果两圆相切 , 那么切点位于这两个圆的连心线上．

（2）相交两圆的连心线垂直平分这两个圆的公共弦．

3．两圆的公切线

（ 1）与两圆都相切的直线, 叫做这两个圆的公切线, 两个圆在公切线的同旁

时内切内含

O2r R O1

r ··

··

O1

R

O2

1 个0 个

d=R-r d<R-r 1 条0 条

0 条0 条

,这条公切线叫做这两个圆的

外公切线 ; 两个圆在公切线的两旁时, 这条公切线叫做这两个圆的内公切线; 公切线上两个切点间的距离,叫做这条公切线( 段 ) 的长 ;

（ 2）两圆的两条外公切线长相等;

（3）两圆的两条内公切线长相等，且交点位于这两个圆的连心线上；

（4）两圆相切可以运用于弧与弧的平浓连接．

考点扫描归纳

1角度的计算

1．（年山东省青岛市）如图，点A、B、C在⊙ O上，若∠ BAC = 24°，则∠ BOC=°．

、年安徽省

B 卷．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧

(

图中的弧AB

)

，点

O

是这段弧的圆心，

C

是

2 ()13

弧AB上一点， OC⊥ AB，垂足为 D， AB =300m， CD=50m ，则这段弯路的半径是m．、（福建德化）如图，点、在⊙ O 上，且，则圆周角BAC 等于（）

3 B C BO=BC

A． 60B． 50C． 40D． 30A

B

C

O

A·

O

B

C

第1题图

第2题图第 3题图

．年北京崇文

)AB 是圆

O

的直径， CD 是圆

O

的弦，DAB

=48 ,

则ACD

=

．

4 (

5

AB 于 E，若B60，则A度．

．（年门头沟区）如图， CD

A

O

第 5 题C

B

第 4题图6题图

6.（年重庆潼南县）如图，已知 AB 为⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上 , ∠ C=15°,则∠ BOC 的度数为（）

A．15° B.30 ° C.45 ° D ．60°

7.( 年兰州市 ) 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各

顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有

A．4个B． 3 个C． 2 个D． 1 个

8. （年安徽中考）如图，△ABC 内接于⊙ O，AC是⊙ O 的直径，∠ ACB ＝ 500，点 D 是 BAC 上一点，

则∠ D＝ _______________

A

O

B C

第 8 题第 9 题第 10题

9．(重庆市)如图，△

A ． 140°ABC 是⊙ O 的内接三角形，若∠

B． 130°C． 120°

ABC＝ 70°，则∠

D． 110°

AOC的度数等于（）

10.（年四川省眉山市）如图，∠ A 是⊙ O 的圆周角，∠A=40 °，则∠OBC的度数为_______．

11.（年福建省晋江市）如图， A 、B、C是⊙O 上的三点，且 A 是优弧BAC 上与点 B 、点C不同的一点，若BOC是直角三角形，则BAC 必是() .

A. 等腰三角形

B. 锐角三角形

C.有一个角是30的三角形

D.有一个角是45 的三角形

A

C B

C O

O

A·

C

O

B A

第 11题

第 12题图

B

第 14题图

第13题图

12.(年浙江省绍兴市)如图,⊙O 是正三角形ABC的外接圆 ,点P在劣弧AB上,ABP =22°,则

BCP 的度数为_____________ .

13.（年宁德市）如图，在⊙O中，∠ACB＝34°，则∠AOB的度数是（）．

A.17 °

B.34°

C.56°

D.68°

14．（年山东省青岛市）如图，点

A、B、C 在⊙

O

上，若∠

BAC

= 24 °，则∠=°．

BOC

15．（江苏泰州， 18， 3 分）如图⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为2cm,1cm，则弦AC、BD 所夹的锐角＝．

第 15题图第 16题图（第 17 题）

16． (年安徽芜湖市 )如图所示，在圆⊙O 内有折线OABC ，其中 OA＝ 8，AB＝ 12，∠ A＝∠ B＝60°，则BC 的长为（）

A ．19B．16C． 18D． 20

17．（浙江省喜嘉兴市）如图， A、 B、C是⊙ O上的三点，已知∠ O＝ 60o，则∠ C＝（）A． 20o B ． 25o C ． 30o D ． 45o

18.(年浙江省金华).如图，△ABC 内接于⊙ O，∠ A=40 °，则∠ BOC 的度数为（）

A.20° B .40°D

C.60°

D.80°

O

A B

19. ( 年兰州市 )将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C在

C

半圆上．点A、 B 的读数分别为86°、 30°，则∠ACB的大小为（第 18 题）A．15B．28C．29D．34

20.(年兰州市 )（本题满分6分）小明家的房前有一块矩形的空地，空地

上有三棵树 A、B、 C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边

上．

（ 1）（本小题满分4 分）请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

（ 2）（本小题满分2 分））若△ ABC中 AB=8米， AC=6米，∠ BAC=90，试求小明家圆形花坛的面积．

21（江苏宿迁）（本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，每个小方格的边长为 1 个单位长度．在第一象限内有横、纵坐标均为整数的A、 B 两点，且OA= OB=10 ．

（1）写出 A、B 两点的坐标；

（2）画出线段 AB 绕点 O 旋转一周所形成的图形，并求其面积（结果

保留π ）．y

A

C

B

O x

22．（江西）如图，以点P 为圆心的圆弧与X 轴交于 A， B；两点，点P 的坐标为（ 4， 2）点 A 的坐标为（ 2， 0）则点 B 的坐标为．

第 21题图

B

2 垂径定理的相关计算与证明

（年台湾省） 如图

(1)，

AB 为圆

O 的直径，

C 、

D 两点均在圆上，其中

OD

O

1.

与AC 交于 E 点，且 OD AC 。若 OE=4， ED=2 ，则 BC 长度为

A

E

C

(A)6

(B)7 (C)8 (D)9 。

D

图(1)

2（年毕节地区） 如图， AB 为⊙ O 的弦，⊙ O 的半径为 5，OC ⊥ AB 于点 D ，

交⊙ O 于点 C ，且 CD ＝ l ，则弦 AB 的长是

．

3(年浙江绍兴)已知⊙O 的半径为 5,弦AB 的弦心距为

3,则AB 的长是(

)

A .3

B.4

C.6

4. (年浙江省绍兴市 )如图,已知△ ABC,分别以弧在直线 BC 上方交于点 D , 连结 AD , CD . 则有 (

A . ∠ADC 与∠ BAD 相等

B . ∠AD

C 与∠ BA

D 互补 C. ∠ADC 与∠ ABC 互补 D. ∠ADC 与∠ ABC 互余

D .8

A, C 为圆心 , BC, AB 长为半径画弧 , 两 ) A B

C

第4题图

5（年宁德市） 如图，在直径 AB ＝ 12 的⊙ O 中，弦 CD ⊥ AB 于 M ，且 M 是半径 OB 的中点，则弦

CD 的长

是 _______（结果保留根号） .

6.( 年聊城冠县实验中学二模 ) 如下图，将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O ，则折痕 AB 的

长为（

）

A ． 2cm B

． 3 cm

C ． 2 3 cm

D ． 2 5 cm

7. （年广西桂林适应训练）

如图，圆弧形桥拱的跨度

AB ＝ 12 米，拱高 CD ＝ 4 米，则拱桥的半径为（

）．

A.6.5 米

B.9 米

C.13 米

D.15 米

A

. D

O

E

·

C

D

M

B

第 6题图

7 题图

第5题图

(第8题)

8. （年广州市中考六模） 、如图： AB 是⊙ O 的直径，弦 CD ⊥AB ，垂足为 E ，如果 AB ＝ 10 cm ， CD ＝ 8 cm ，

那么 AE的长为cm .

9. （年河南模拟）如图，是一张电脑光盘的表面，两个圆心都是O,大圆

的弦 AB 所在的直线是小圆的切线，切点为C，已知大圆的半径为5cm，小

圆的半径为1cm，则弦 AB 的长是多少？O

A B

第 3 题

10（日照市）．(本题满分10 分 )如图，在△ABC中，AB =AC，以AB为直径的⊙O交AC与E，交BC与D．求证：

（1） D 是 BC 的中点；

（2）△ BE C∽△ ADC ；

（3）BC2=2AB·CE．

11（珠海）21.如图，△ABC内接于⊙O，AB＝6,AC＝4,D是AB边上一点，P是优弧BAC的中点，连结PA、PB、 PC、 PD.

(1)当 BD的长度为多少时，△ PAD是以 AD为底边的等腰三角形？并证明；

（2）若 cos ∠ PCB= 5

，求 PA的长 .

5

12．（年山东省济宁市）如图，AD为ABC 外接圆的直径，AD BC ，垂足为点 F ，ABC 的平分线交

AD 于点 E，连接 BD，CD .

(1)求证： BD CD ；

(2)请判断 B ， E ，C三点是否在以 D 为圆心，以DB 为半径的圆上？并说明理由.

A

E

B

C

F

D

(第 19 题)

13、（年宁波）如图，AB是⊙O的直径，弦DE 垂直平分半径 OA，C 为垂足，弦 DF 与半径 OB 相交于点P，

连结 EF、 EO，若DE 2 3，DPA 45。

（ 1）求⊙ O 的半径 ;

D （ 2）求图中阴影部分的面积。

y C O P B

F

E

第 13题

3圆与多边形

1.（年山东省济南市）如图，正六边形螺帽的边长是2cm，这个扳手的开口 a 的值应是（）

A ．23cm B．3 cm

C．2

3cm D． 1cm

3

A H

2. （年台湾省）如图(2)，有一圆内接正八边形ABCDEFGH ，若△ ADE

的面积为10，则正八边形ABCDEFGH 的面积为B G

(A) 40(B) 50

C F

(C) 60(D) 80。

D E

3（年毕节地区）如图 ,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为图 (2) 16cm2,则该半圆的半径为（）

A.(45)cm

B.9 cm

C.4 5 cm

D. 6 2 cm

4.(年兰州市 )如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为

A．2 B ．3C．3

D．

23

5 ． (年安徽省芜湖市)一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是

__________ ．

6．（山东德州）粉笔是校园中最常见的必备品．图 1 是一盒刚打开的六角形粉笔，总支数为50 支．图 2是它的横截面（矩形 ABCD ），已知每支粉笔的直径为12mm，由此估算矩形 ABCD 的周长约为 _______ mm． ( 3 1.73，结果精确到 1 mm)A D

B C

第6题图1第6题图2

7．（浙江省喜嘉兴市）如图，已知⊙ O的半径为1，PQ是⊙ O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，

所有正三角形都关于 PQ 对称，其中第一个△ 1 1 1 的顶点 1 2 2 2

2

是

A B C

A 与点 P 重合，第二个△

A BC

的顶点 A

B 1

C 1 与 PQ 的交点，?，最后一个△ A n B n C n 的顶点 B n 、C n 在圆上．

（ 1）如图 1，当 n ＝ 1 时，求正三角形的边长

1

a ；

（2）如图 2，当 n ＝2 时，求正三角形的边长 a 2；

（3）如题图，求正三角形的边长

a n （用含 n 的代数式表示） ．

4 弧长与面积的相关计算

．（年福建省晋江市） 已知圆锥的高是

30cm ，母线长是 50cm ，则圆锥的侧面积是

.

1

2、（福建德化） 已知圆锥的底面半径是 3cm ，母线长为 6cm ，则侧面积为

2

________cm ．（结果保留 π）

3、已知圆锥的底面半径为 3，侧面积为 15 ，则这个圆锥的高为 ▲ 4.（年台湾省） 如图 (十三 )，扇形 AOB 中， OA =10 ， AOB=36 。若固定

顺时针方向旋转，得一新扇形 A ’O ’B ， 其中 A 点在 O'B 上，

如图 (十四 )所示， 则 O 点旋转至 O ’点所经过的轨迹长度为

A

(A) (B) 2

(C) 3

(D)4 。

O

B

图(十三 )

B

点，将此扇形依 O ’

A

A ’

O

B

图 (十四)

5.( 福建泉州市惠安县 ) 已知圆锥的底面半径是 3，母线长是 4，则圆锥的侧面积是

.

6. (年兰州市 ) 现有一个圆心角为 90 ，半径为

8cm

的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽

略不计） . 该圆锥底面圆的半径为

A ． 4cm

B

． 3cm

C

． 2cm

D

． 1cm

7. （年广东省广州市） 一个扇形的圆心角为 90°．半径为 2，则这个扇形的弧长为 ________． (结果保留 ) 8.（年四川省眉山市） 已知圆锥的底面半径为

4cm ，高为 3cm ，则这个圆锥的侧面积为

__________cm 2．

9.（年福建省晋江市）

已知圆锥的高是 30cm ，母线长是 50cm ，则圆锥的侧面积是

.

10. ( 年浙江省绍兴市 ) 水管的外部需要包扎, 包扎时用带子缠绕在管道外部. 若要使带子全部包住管道

且不重叠（不考虑管道两端的情况）, 需计算带子的缠绕角度（指缠绕中将部分带子拉成图中所示的平面 ABCD 时的∠ ABC, 其中 AB 为管道侧面母线的一部分）. 若带子宽度为1, 水管直径为2, 则的余弦值为.

11．（江苏泰州， 12， 3 分）已知扇形的圆心角为120°，半径为15cm，则扇形的弧长为cm（结果保留）．

12．（年山东省济宁市）如图，如果从半径为9cm 的圆形纸片剪去1

圆周的一个扇形，将留下的扇形围成3

一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为

A ．6cm

B ．3 5 cm C．8cm D．5 3 cm

13.（珠海）如图，⊙ O的半径等于 1，弦 AB和半径 OC互相平分于点 M.求扇形 OACB的面积（结果保留π）

14、 (年滨州 ) (本题满分8 分 )如图，已知AB 是⊙ O 的直径，点 C 在⊙ O 上，且 AB=12 ， BC=6．

(1)求cos BAC

的值；

(2)如果 OD ⊥AC ，垂足为 D ，求 AD 的长；

(3)求图中较大阴影部分的面积是较小阴影部分的面积的几倍(精确到 0.1) ．

15．（年浙江台州市）如图，菱形 ABCD 中， AB=2 ，

∠ C=60° , 菱形 ABCD 在直线 l 上向右作无滑动的翻滚，

C

B

每绕着一个顶点旋转60°叫一次操作，则经过 36 次这

O

D A l

(第 15 题)

样的操作菱形中心 O 所经过的路径总长为． (结果保留π )

16.（年山东省济南市）如图，四边形OABC 为菱形，点

⌒O

A 、2

B C 在以点 O 为圆心的EF上，若 OA=1，∠ 1=∠ 2，1

则扇形 OEF 的面积为（）F E

πππ2πC

B

A. B. C. D.

6433

17. （年浙江省东阳市）在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 个单位的正方形，△ ABC 的三个顶

点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．

（ 1）如果建立直角坐标系，使点B的坐标为（－5，2），点C的坐标为（－2，2），则点A的坐标为

▲ ；

(2)画出△ ABC 绕点Ｐ顺时针旋转90 后的△Ａ１Ｂ１Ｃ１，并求线段

BC扫过的面积 .

Ｐ

18、（年门头沟区）．如图，有一块半圆形钢板，直径AB=20cm ，计划将此钢板切割成下底为形，

上底 CD 的端点在圆周上，且 CD=10cm．求图中阴影部分的面积 .

D AB 的等腰梯C

A

E

O

B

19. （年福建省晋江市）已知：如图，有一块含30 的直角三角板OAB 的直角边长BO 的长恰与另一块等

腰直角三角板ODC 的斜边 OC 的长相等，把该套三角板放置在平面直角坐标系中，且AB 3 .

(1)若双曲线的一个分支恰好经过点A ，求双曲线的解析式；

(2)若把含30的直角三角板绕点O 按顺时针方向旋转后，斜边OA 恰好与x轴重叠，点 A 落在点 A ，

y

A

B

试求图中阴影部分的面积(结果保留).

.

20（辽宁省丹东市）．如图，已知在⊙O中， AB=43 ，AC是⊙O的直径，AC⊥BD于F，∠A=30°．（1）求图中阴影部分的面积；

（2）若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径．

A

O

B F D

C

第22题图

5切线的性质与判定

1（宣武一模）.已知：如图，⊙O是ABC 的外接圆，AB为⊙O直径，且PA AB 于点A， PO AC 于点 M

（ 1）求证：PC是⊙O的切线；

cosB

2P

（2）当OM 2 ， 4 时，求PC的长。

2.

如图，AB

是半圆⊙O的直径，过点

O

作弦

AD

的垂线交

（崇文一模）

半圆⊙于点，交于点，使CBED

O EAC C

（ 1）判断直线AC 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论。

C

M

A

B

O

cos BED

4

（2）若 AC

8 ，

5 ，求 AD 的长。

． 延庆一模

)

如图， AB 为⊙ O 的直径， AD 平分

BAC 交⊙ O 于点 D ，

E

3 (

C

DE

AC 交 AC

的延长线于点 E ，BF

AB 交 AD 的延长

F

D 线于点 F ，

A

B

（ 1）求证： DE 是⊙ O

的切线；

O

（ 2）若

DE

3,

⊙ O 的半径为 5，求 BF 的长．

4( 西城一模 )． 如图，

△

ABC

内接于

O ，AB AC ．点 D 在 O 上， AD

AB 于点 A ， AD 与BC 交于

点 E ，点 F 在 DA 的延长线上， AF

AE ．

（ 1）求证： BF 是 O 的切线；（ 2）若 AD

4 ， cos ABF

4

，求

BC

的长．

5

B

O E

D

A

F

C

5． (顺义一模 )如图，⊙ O 的直径 AB= 4， C 、 D 为圆周上两点，且四边形

OBCD 是菱形，过点 D 的直线 EF ∥ AC ，交 BA 、BC 的延长线于点 E 、 F ．（ 1）求证： EF 是⊙ O 的切线；

F

D

C

E

B

A O

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