信号与系统作业答案郑君里版

《信号与系统》习题与答案

第一章

1.1 1.2 1.3

画出信号f(t)

sin a(t t0) 的波形。 a(t t0)

已知信号f(t) (t 1) u(t 1) u(t 2) ，画出f( 2t 3)的波形。 已知信号f(t) (t 1) u(t 1) u(t 2) ，试求它的直流分量。 答案：0

1.4 已知信号f(t) (t 1) u(t 1) u(t 2) ，试求它的奇分量和偶分量。

答案：偶分量：0.5(1 t) u(t 2) u(t 1) u(t 1) u(t 1) 0.5(t 1) u(t 1) u(t 2)

奇分量：0.5(t 1) u(t 2) u(t 1) t u(t 1) u(t 1) 0.5(t 1) u(t 1) u(t 2)

1.5 信号f(t)

0

2 t

t 0

是否是奇异信号。 t 0

答案：二阶以上导数不连续，是奇异信号。

1.6 已知f(t)是有界信号，且当t 时f(t) 0，试问f(t)是否是能量有限信号。

答案：不一定。

1.7 对一连续三角信号进行抽样，每周期抽样8点，求抽样所得离散三角序列的离散角频率。

答案： /4

1.8 以Ts 0.5s的抽样间隔对下列两个三角信号抽样，写出抽样所得离散序列的表达式，画出它们的波形。比较

和说明两波形的差别，为什么？ （1） f1(t) cos

4

t （2）f2(t) cos

15

t 4

答案：两个离散序列是相同的。

1.9 判断下列信号是否是周期信号。如果是周期信号，试确定其周期。

（1） f(t) Asin4t Bcos7t Ccos9t 答案：是周期函数，周期T 2 。 （2） fd(n) e

jn8

答案：是周期信号，周期N 16

1.10 求下列表达式的函数值

（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）

f(t t0) (t)dt； 答案：f( t0)

f(t0 t) (t)dt； 答案：f(t0)

(t t0)u(t t02)dt； 答案：当t0 0时为1；当t0 0时为0 (t t0)u(t 2t0)dt； 答案：当t0 0时为1；当t0 0时为0

(e t t) (t 2)dt； 答案：e2 2 (t sint) (t 6)dt； 答案： /6 1/2

e j t (2t) (t t0) dt； 答案：1/2 e j t0

1.11 判断下列系统是否线性、时不变和因果

de(t)

； 答案：线性，时不变，因果 dt

（2） r(t) e(t)u(t)； 答案：线性，时变，因果

（1） r(t)

（3） r(t) sin e(t) u(t)； 答案：非线性，时变，因果 （4） r(t) e(1 t)； 答案：线性，时变，非因果 （5） r(t) e(2t)； 答案：线性，时变，非因果 （6） r(r) e2(t)； 答案：非线性，时不变，因果 1.12 试证明：f(t) '(t) f(0) '(t) f'(0) (t)。

第二章

2.1 已知系统微分方程

d2r(t)dr(t)d2e(t)de(t)

5 6r(t) 2 6

dtdtdt2dt2

激励信号为e(t) (1 e t)u(t)，初始状态r(0 ) 1，r'(0 ) 0

求系统的全响应、零输入响应、零状态响应、自由响应和强迫响应。

答案：全响应：9e

2t

2e 3t 2e t

2t

零输入响应：3e

2t

2e 3t

零状态响应：(6e 2t 2e t)u(t) 自由响应：9e

2e 3t

强迫响应： 2e

2.2 根据下列系统的微分方程，求系统的单位冲激响应。

（1）

t

dr(t)de(t)

3r(t) 2 dtdt

3t

答案：2 (t) 6eu(t)

d2r(t)dr(t)de(t)

r(t) e(t) （2）2

dtdtdt

答案：[(1/2 j3/6)e( 1/2 j或者：e

1 t2

3/2)t

(1/2 j/6)e( 1/2 j

3/2)t

]u(t)

3 cost sint u(t) 232

dr(t)d2e(t)de(t) 2r(t) 3 3e(t) （3）2dtdtdt

答案： '(t) (t) e

2t

u(t)

2.3 已知一线性时不变系统，初始状态为零，单位冲激响应为h0(t)。当输入为x0(t)时，输出为y0(t)，如题图

2.3所示。现已知下面一些线性时不变系统，其单位冲激响应h(t)和激励x(t)分别如下，根据这些信息，是否可以确定系统的输出y(t)。如果可以，画出它的波形。 （1）h(t) h0(t)；x(t) 2x0(t) 答案：y(t) 2y0(t)

（2）h(t) h0(t)；x(t) x0(t) x0(t 2) 答案：y

(t) y0(t) y0(t 2)

题图2.3

（3）h(t) h0(t 1)；x(t) x0(t 2) 答案：y(t) y0(t 1) （4）h(t) h0(t)；x(t) x0( t) 答案：不能确定

（5）h(t) h0( t)；x(t) x0( t) 答案：y(t) y0( t)

dd

h0(t)；x(t) x0(t) dtdt

答案：y(t) (t) (t 2) /2

（6）h(t)

2.4 已知一线性时不变系统对激励e(t)的零状态响应为rzs(t)

t

e (t )e( 2)d ，求系统的单位冲激响应

h(t)。

h(t) e (t ) ( 2)d

t

答案：

e t e ( 2)d

t

e te2u(t 2) e2 tu(t 2)

或者，变量替换，改写rzs(t)

t 2

e (t 2) e( )d ，由此得

h(t) e (t 2)u(t 2)

2.5求下列函数f1(t)和f2(t)的卷积f1(t) f2(t)

1 e at

u(t) （1）f1(t) u(t)， f2(t) eu(t) 答案：

a

（2）f1(t) (t 1) (t 1)，f2(t) cos t 答案：cos (t 1) cos (t 1)

at

（3）f1(t) (t)，f2(t) (t 1) 答案： (t 1) （4）f1(t) (1 t) u(t) u(t 1) ，f2(t) u(t 1) u(t 2) 答案：

123 1

(t 1) u(t 1) u(t 2) t2 t u(t 2) u(t 3) 22 2

2.6 已知f1(t)和f2(t)的波形，如题图2.6所示，绘出f1(t) f2(t)的波形。

f2(t)

(t 2)

-3

-2

-1

1

(t 2)

t

2

3

题图2.6

答案：f1(t) f2(t) f1(t 2) f1(t 2)

第三章

3.1 求解差分方程

（1）rd(n) 3rd(n 1) 2rd(n 2) 0，rd( 1) 2，rd( 2) 1

答案：4( 1)n 12( 2)n

（2）rd(n) 2rd(n 1) rd(n 2) 3n，rd( 1) 0，rd( 2) 0

答案：(7/16)( 1)n (1/4)n( 1)n (9/16)3n 3.2 求以下方程的单位样值响应

10rd(n) 13rd(n 1) 4rd(n 2) 30ed(n) 21ed(n 1)

答案：[15(4/5)n 12(1/2)n]ud(n)

3.3 某系统的输入输出关系可由二阶常系数差分方程描述，输入为ed(n) ud(n)时的零状态响应为

rd(n) 2n 3(5n) 10ud(n)，试确定此二阶差分方程。

答案：rd(n) 7rd(n 1) 10rd(n 2) 14ed(n) 85ed(n 1) 111ed(n 2)

3.4 已知系统单位样值响应为hd(n) nud(n)，0 1，求激励为ed(n) nud(n)（0 1， ）

的系统零状态响应。

n 1n 1

答案: rd(n) ud(n)

3.5 已知ed(n) hd(n) ud(n 1) ud(n 6)，求ed(n)和hd(n)的卷积和。

答案：rd(2) 1;rd(3) 2;rd(4) 3;rd(5) 4;rd(6) 5;

rd(7) 4;rd(8) 3;rd(9) 2;rd(10) 1，其他为零。

第四章

4.1 绘出以下几种参数的周期矩形波信号的幅值谱，比较这些参数变化对频谱的影响 （1）方波幅值E 1，方波宽度 1，周期T1 4； （2）方波幅值E 2，方波宽度 1，周期T1 4； （3）方波幅值E 1，方波宽度 2，周期T1 4； （4）方波幅值E 1，方波宽度 1，周期T1 8。

4.2 f(t)为周期信号，周期为T1，f(t)在四分之一周期区间(0,T1/4)的波形如题图4.2所示，其他各四分之一

周期的波形是已知四分之一周期波形的重复，但可能水平或垂直翻转。画出以下条件下f(t)在一个周期区间

( T1/2,T2/2)的波形。

（1）f(t)是偶函数，只含偶次谐波； （2）f(t)是偶函数，只含奇次谐波； （3）f(t)是偶函数，含有偶次和奇次谐波； （4）f(t)是奇函数，只含偶次谐波； （5）f(t)是奇函数，只含奇次谐波； （6）f(t)是奇函数，含有偶次和奇次谐波。 （提示：用内积为零判断。）

4.3 说明傅立叶级数系数F(k 1)的模、幅角、实部、

虚部所表示的物理意义。

答案：F(k 1)的模表示各频率分量的幅值，

1 1

题图4.2

1 1

F(k 1)的幅角表示各频率分量的相位

F(k 1)的实部表示各频率分量的余弦分量的幅值 F(k 1)的虚部表示各频率分量的正弦分量的幅值

第五章

5.1 利用傅立叶变换的性质，求题图5.1所列两信号的傅立叶变换。

t

题图5.1

答案：F1( ) 2Sa(

2

2

)；F2( ) Sa2(

10

2

) Sa2(

10

2

)

5.2 试证明：如果f(t)是实函数，F( ) F f(t) ，则有 F fe(t) Re F( ) F fo(t) jIm F( )

其中fe(t)和fo(t)分别是f(t)的偶分量和奇分量（f(t)可分解为偶分量和奇分量之和）。

j ( )5.3 已知非周期三角波信号f(t)的波形如题图5.3所示，其傅立叶变换为F( ) F f(t) F( )e，利用

傅立叶变换的性质（不做积分运算），求： （1） ( )； 答案： （2）F(0)； 答案：4 （3）

-1

F( )d ； 答案：2

1 题图5.3

（4）F

1

Re F( ) 。 答案：

f(t) f( t)

2

5.4 已知F( ) F f(t) ，求下列函数的傅立叶变换

dF( ) j （1）(t 2)f( 2t) 答案： F( ) 22d

（2）f(1 t) 答案：F( )e（3）t

j

df(t)dF( )

答案： F( ) dtd

5.5 利用傅立叶变换的对称特性，求傅立叶变换F( ) ( 0)所对应的时域信号f(t)。

ej 0t

答案:

2

5.6 已知周期方波信号gp(t)

k

u t 1 4k u(t 1 4k) 和余弦信号q

p

(t) cos5 t，试画出信号

fp(t) gp(t)qp(t)的频谱。

5.7 画出题图5.7所示频谱的时域波形。

答案：(a) 参见讲义第五章图5－13； (b)

1 t1

Sa()cos2 t 4 2

p1

5.8 用一冲激抽样序列sp(t)

n

(t n)分别对周期信号f

(t) cos t和fp2(t) cos3 t进行抽样，画出抽

样后两信号的时域波形和频域波形。

5.9 试证明：一个时间有限信号一定频率无限；一个频率有限信号一定时间无限。

提示：时间有限信号乘以一个足够宽的矩形波信号仍为原信号。时域相乘，频域相卷。矩形波信号频率无限，和任何信号相卷都是频率无限。

1 1

（

a）

0 （b）

题图5.7

第六章

6.1 求下列信号拉普拉斯变换的收敛域

（1） 2 (t) e2t； 答案： 2 （2） te

3t

； 答案： 3

t

（3） esin2t； 答案： 1

6.2 用拉普拉斯变换求解下列微分方程（第2章习题）

d2r(t)dr(t)d2e(t)de(t)

5 6r(t) 2 6 22

dtdtdtdt

t

激励信号为e(t) (1 e)u(t)，初始状态r(0 ) 1，r'(0 ) 0

答案：r(t) 9e

2t

2e 3t 2e t

6.3 由下列系统函数H(s)求系统的频率响应特性H( )

（1） H(s) （2）H(s)

s 2j 2

； 答案： 22

s 4s 8 4j 8

2

； 答案：频率响应特性不存在 s2 1

6.4 已知电路如题图6.4所示，求

（1）系统函数H(s)

i

(t)

H

IL(s)

；

IS(s)

（2）求vC(0) V0，iL(0) I0初始条件下的电感电流的零输入响应iLzi(t)，说明用H(s)描述系统特性的不足。

答案：（1）

1

1 s

（2）iL(t) (V0 I0)te t I0e t

从系统函数看，只有一个单极点。从零输入响应看，有一个二阶特征频率。系统函数没有完全反映系统的内在特性。

第七章

7.1 已知一连续周期信号，最高频率fm 20kHz，欲通过抽样和离散傅立叶级数计算此信号频谱。现在所关心

的信号的最高频率分量是16kHz，为了使得对此频率分量的频谱计算不存在混叠误差，试问抽样频率fs最小必须选择多少。

答案：信号的16 20kHz频域范围允许存在混叠，16kHz以下频率范围不允许存在混叠，所以fs最小必须选择

36kHz。

7.2 以Ts 0.1s的抽样间隔对余弦信号fap(t) Acos t抽样，试问fap(t)的角频率 为那些值时，都能抽样得

同样的离散序列fdp(n) Acos(0.25 n)。 答案： Ts 2m 0.25

(2m 0.25 )s (20m 2.5) 7.3 已知连续周期信号fap(t) cos

2T2

t，以Ts 1的抽样间隔对fap(t)进行抽样，抽样长度分别为T1和2T1，

9T1

是否存在泄漏误差？画出抽样长度2T1时抽样序列离散傅立叶级数的频谱波形。

答案：T1s 4.5。抽样长度为T1时，不是完整周期抽样，存在泄漏误差。抽样长度为2T1时，是完整周期抽样，不存在泄漏误差。当抽样长度为2T1时，离散傅立叶级数的基波分量为零，二次谐波存在。图略。

7.4 理解和说明连续周期信号抽样过程中，连续信号周期T1、连续信号角频率 1、离散信号周期N1、离散信号

角频率 1、抽样间隔Ts、抽样角频率 s等参数之间的关系，理解离散信号频谱和连续信号频谱的对应关系。

第八章

8.1 已知xd(n) anud(n)（a 1），求xd(n)的DTFT。

ej

答案：j

e a

8.2 已知非周期矩形方波信号ga(t) ua(t

T1TT

) ua(t 1)，以Ts 1的抽样间隔对ga(t)进行抽样得22m

gd(n)，然后计算Gd(ej ) DTFT gd(n) ，分析和定性画出m 3，m 5和m 7时的

Gd(ej ) DTF gTd(n) 的波形，并和ga(t)的傅立叶变换波形进行比较。

答案：当m 3时，Gd(e) 1 2cos

j

当m 5时，Gd(ej ) 1 2cos 2cos2

当m 3时，Gd(ej ) 1 2cos 2cos2 2cos3

Gd(ej )是周期的。随着m的增大，Gd(ej )在一个周期内的波形接近于Ga( )。

第九章

9.1 求以下序列的Z变换，给出收敛域。

（1）xd(n) d(n 1) d(n) d(n 1) 答案：Xd(z) z 1 z 1 0 z

2zz1 1

（2）xd(n) 答案：Xd(z) z 2 2z 1z 22 2

（3）xd(n) Arncos( 1n )ud(n)

n

Aej zAe j z

答案： Xd(z) z r j 1 j 1

2z re2z re

4z1 1

（4）xd(n) ud(n) 答案：Xd(z) z

4z 14 4

n

3z 1

9.2 求Xd(z) 的逆Z变换。收敛域分别为：（1）z 2；（2）z 0.5；（3）0.5 z 2。

2 5z 1 2z 2

zz

答案：Xd(z)

1z 2z 2

（1）当收敛域为z 2时，为右边序列，有

1

xd(n) 2 ud(n) ud(n)

2

n

n

1

（2）当收敛域为z 0.5时，为左边序列，有xd(n) 2 ud( n 1) ud( n 1)

2

n

n

1

（3）当收敛域为0.5 z 2时，为双边序列，有xd(n) 2 ud( n 1) ud(n)

2

n

n

1 e sTs

9.3 因果信号ea(t)的抽样序列为ed(n)，抽样间隔为Ts，ea(t)的拉普拉斯变换为Ea(s) ,求Z xd(n)

s(s 1)

（提示：利用拉普拉斯变换和Z变换的关系、拉普拉斯变换的时移特性、Z变换的时移特性）。 答案：Ea(s)

1 1 sT

1 es ss 1

根据拉普拉斯变换时移特性，有ea(t) ea0(t) ea0(t Ts)

根据拉普拉斯变换和Z变换的关系，有Z xd0(n) 根据Z变换的时移特性，有

zz z 1z e Ts

Z xd(n) Z xd0(n) Z xd0(n 1)

z 1 z

1 Ts

z 1z e z 1 e Ts

z e Ts

9.4 用单边Z变换解下列差分方程

（1）yd(n 2) yd(n 1) yd(n) ud(n)，yd(0) 1，yd(1) 2

2

2

11 23j31 2j 3

yd(n) e e

333

答案：

122 42 cosn sinn33333

（2）yd(n) 0.1yd(n 1) 0.02yd(n 2) 10ud(n)，yd( 1) 4，yd( 2) 6

答案：yd(n) 9.26 0.66( 0.2)n 0.2(0.1)nud(n)

9.5 离散系统对输入xd1(n) ud(n)的零状态响应为yd1(n) 2(1 0.5n)ud(n)，若xd2(n) 0.5nud(n)，求它

的响应yd2(n)。 答案：Z xd1(n)

z z 12zz

Z yd2(n)

z 1(z 1)2

系统函数Hd(z)

2z 3

z 14z2z

Yd2(z) Hd(z)Xd2(z)

z 0.5z 1

yd2(n) (4 0.5n 2)ud(n)

9.6 已知离散系统差分方程表示式

yd(n)

311

yd(n 1) yd(n 2) xd(n) xd(n 1) 483

（1）求系统函数和系统单位样值响应； （2）画系统函数的零、极点分布图； （3）粗略画出系统幅频响应特性曲线。

24z2 8z

答案：系统函数：Hd(z) 2

24z 18z 3

10 1 n7 1 n

单位样值响应：hd(n) ud(n)

3 4 3 2

零、极点：z1 0;z2 ;p1

1

311;p2 24

j

9.7 定性画出下列类型的模拟和数字滤波器的幅频特性图，即系统频率响应特性Ha(j )和Hd(e)的函数曲

线。

（1）低通；（2）高通；（3）带通；（4）带阻；（5）全通。

第十章

10.1

已知序列ed(n) 4,3,2,1 和hd(n) 5,4,3,2,1 ，利用圆周卷积的方法求此两序列的线卷积。 已知一信号，欲对其进行谱分析，要求频率分析范围不小于16kHz，频率分辨率不低于400Hz，确定信号抽样的频率和长度。如果采用FFT进行分析，要求序列长度为2的整数次幂，确定信号抽样的频率和长度。

答案：抽样频率：fs 32kHz

抽样长度：N (fs/0.4kHz)，同时N 2。

10.3 给定信号xa(t) 32cos(2 t

M

答案：ed(n) hd(n) 20,31,34,30,20,10,4,1 10.2

4

) 16cos(10 t

4

)，将该信号抽样，采用Matlab软件的FFT功能对此

信号进行频谱分析（幅值谱和相位谱），观测抽样频率、抽样长度变化对谱分析结果的影响。

对此信号进行单周期和多周期的非完整周期抽样，通过FFT计算和比较，说明增加抽样周期是否可减小泄漏误差。

第十一章

11.1 已知模拟滤波器的系统函数为Ha(s)

3

，试用冲激响应不变法求出相应的数字滤波器的系统函

(s 1)(s 3)

数Hd(z)。设定抽样周期Ts 0.5s。

3131

2s 12s 33z3z

Hd(s) 0.5 1.5

2z e2z e

答案：Ha(s)

11.2 巴特沃兹低通数字滤波器容差要求如下：

p 104 rad/s时， p 3dB； e 5 104 rad/s时， e 40dB。

1

（a 0）和Ha2(s) s a

用双线性变换法求出数字滤波器的系统函数Hd(z)。 11.3 对Ha1(s)

s a2

(s a)2 ()2

Ts

（a 0）分别用冲激响应不变法转换成数字滤

波器的系统函数Hd(z)（Ts为抽样间隔），试证明两者具有相同的Hd(z)，从物理概念上解释这一结果。 答案：Hd1(z) Hd2(z)

z

z e aTs

ha1(t)是因果指数衰减信号，衰减系数为a。ha2(t)是因果余弦振荡指数衰减信号，振荡周期为Ts，

衰减系数为a。以Ts抽样间隔对两信号抽样，所得离散序列相同，所以Z变换结果相同。

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