数值分析典型例题
更新时间:2023-11-01 22:07:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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第一章典型例题
例3 ln2=0.69314718…,精确到10-3的近似值是多少?
解 精确到10-3=0.001,即绝对误差限是?=0.0005, 故至少要保
留小数点后三位才可以。ln2?0.693 第二章典型例题
例1 用顺序消去法解线性方程组
??x??x???x???????x???x??x??? ?x??x??x???????解 顺序消元
4?1?4?1??214?1?r2?r1?(?3/2)?21?212)?r3?r1?(?1/??r3?r2?(?3)?? [A?b]?????3214??????00.5?55.5???????00.5?55.5?????124?1???01.52?0.5???0017?17??
于是有同解方程组
?2x1?x2?4x3??1??0.5x2?5x3?5.5 ?17x3??17?回代得解
x3=-1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X=(1,1,-1)T
例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组
?x???x???x?????x??x??x??? ??x??x?x??????解 建立迭代格式
(k?1)(k)(k)?x1??2x2?2x3?1??(k?1)(k)(k)??x1?x3?3(k=1,2,3,…) ?x2?(k?1)(k)(k)??2x1?2x2?5??x3
第1次迭代,k=0
X(0)=0,得到X(1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k=1
(2)?x1??2?3?2?5?1?5??(2) ?x2??1?5?3??3?(2)??x3??2?1?2?3?5??3X(2)=(5,-3,-3)T
第3次迭代,k=2
(3)?x1??2?(?3)?2?(?3)?1?1??(3) ?x2??5?(?3)?3?1?(2)??x3??2?5?2?(?3)?5?1
X(3)=(1,1,1)T
第4次迭代,k=3
(2)?x1??2?1?2?1?1?1??(2) ?x2??1?1?3?1?(2)??x3??2?1?2?1?5?1 X(4)=(1,1,1)T
例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛
德尔迭代法发散。
证明 例2中线性方程组的系数矩阵为
?12?2?? A=?111????221??
于是
?100?? D=?010????001?? D-1=D
?000?~? L??100????220??
?02?2?~? U??001????000?? 雅可比迭代矩阵为
?100??02?2??02?2?~~??101????101? B0=?D?1(L?U)???010?????????001????220???220??
?2?2?20?I?B0?1?1?1???122?22??2??[?(??2)?2(??1)]?2[??2?2(??1))??3?0
得到矩阵B0的特征根?1,2,3?0,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。
高斯-赛德尔迭代矩阵为
~?1~G=-(D?L)U ?100??=-?110????221???1
00??02?2??02?2??1?02?2??001?????110??001????0?23? ????????????000???0?21????000???00?2??
2?2?I?G?0??23??(??2)2?0
00??2?解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。
例5 填空选择题:
1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 1
?x????x??x??????x???x???x??? ??x??x?????作第次消元后的第2,3个方程分别
为 。
答案:??x2?0.5x3??1.5
?2x?1.5x?3.523? 解答 选a21=2为主元,作行互换,第1个方程变为:2x1+2x2+3x3=3,
消元得到
??x2?0.5x3??1.5??2x 2?1.5x3?3.5是应填写的内容。 3.用高斯-赛德尔迭代法解线性方程组 ??x????x???x???
?x??x??x??? ???x???x??x???的迭代格式中x(k?1)2= (k=0,1,2,…)
答案:3?x(k?1)?x(k)13
解答:高斯-赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果,求的值时应该用上x1的新值。 第三章典型例题
例1 已知函数y=f(x)的观察数据为
xk -2 0 4 5 yk 5 1 -3 1 试构造拉格朗日插值多项式Pn (x),并计算f(-1)的近似值。 [只给4对数据,求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数
l)(x???(x)?x(x??)(x??)x(x??(????)(????)(????)??)??
l(x??)(x??)(x??)(x??)(x??)(x??)?(x)?(??(??))(???)(???)???
x2
l?(x)?
l3(x)?(x??)x(x??)x(x??)(x??) ??(???)(???)(???)??(x?2)x(x?4)(x?2)x(x?4)?
(5?2)(5?0)(5?4)35所求三次多项式为
P3(x)=?yklk(x) k?0 =
???x(x??)(x??)??n
+
(x??)(x??)(x??)??-
(??)?x(x??)(x??)??+
(x??)x(x??) ?? =?x???x????x??
??????
?????????????????? f(-1)?P3(-1)=?
例3 设x?,x?,x?,...,xn是n+1个互异的插值节点,lk(x)(k??,?,?,...,n)是
拉格朗日插值基函数,证明: (1)
?lk??nk(x)?? (2)
?lk??nkm(x)xk?xm(m??,?,?,...,n)
证明 (1) Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=?yklk(x)
k?0nf(n??)(?) ?Rn(x)??n??(x),?f(x)?Pn(x)?Rn(x)
(n??)! 当f(x)?1时,
f(n??)(?)1=Pn(x)?Rn(x)????lk(x)??n??(x)
(n??)!k??kn由于f
(n??)(x)??,故有?lk(x)??
k??(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,…,n,对固定xm(0?m?n), 作拉格朗日插
值多项式,有
f(n??)(?)x?Pn(x)?Rn(x)??xl(x)??n??(x)
(n??)!k??mnmkk当n>m-1时,f(n+1) (x)=0,Rn(x)=0,所以
?xk??nmkkl(x)?xm
注意:对于次数不超过n的多项式Qn(x)?anxn?an??xn???..?a?x?a?,
利用上结果,有
Qn(x)?anxn?an??xn???..?a?x?a? =an?lk(x)x?an???lk(x)xnkk??k??nnn??k?...?a??lk(x)xk?a??lk(x)
k??k??nn =?k?0nnnlk(x)[anxk?n?1an?1xk?...?axk?a0]??Q(xnk?0nk)lk(x)
上式?Qn(xk)lk(x)正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见,Qn(x)的拉
k?0格朗日插值多项式就是它自身,即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。
例5 已知数据如表的第2,3列,试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是
k 1 2 3 4 5 xk 1 2 3 4 5 yk 4 4.5 6 8 8.5 ? xkxkyk 4 9 18 32 42.5 1 4 9 16 25 ? ?15 31
55 105.5 ??a????a????
???a????a?????.?解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x 例6选择填空题
1. 设y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值,那么满足
P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)
答案:唯一的
3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )
f(n??)(?)(A) Rn(x)?f(x)?Pn(x)??n??(x)
(n??)!(B) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn)
f(n??)(?) (C) Rn(x)?f(x)?Pn(x)?
(n??)! (D) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(x-x1)(x-x2)…(x-xn-1)(x-xn)
答案:(A),(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题
例1 试确定求积公式???f(x)dx?f(????)?f(??)的代数精度。
[依定义,对xk(k=0,1,2,3,…),找公式精确成立的k数值] 解 当f(x)取1,x,x2,…时,计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)=1,有
左边=???f(x)dx?????dx??, 右边=f(?
(2) 取f(x)=x,有
??????)?f(??)??????
左边=???f(x)dx?????dx??, 右边=f(?
(3) 取f(x)=x2,有
边
???)?f(??)?????????
左
?=
?????f(x)dx??x?dx??????, 右边
=f(??)?f(?)?(??)??(?)???
??
(4) 取f(x)=x3,有
?? 左边=???f(x)dx????x?dx??, 右边=f(?
(5) 取f(x)=x4,有
边
???)?f(??)?(???)??(??)???
左
?=
?????f(x)dx??x?dx??????, 右边
=f(??)?f(?)?(??)??(?)???
??
当k?3求积公式精确成立,而x4公式不成立,可见该求积公式具
有3次代数。
例5 试确定求积公式?f(x)dx?h[f(0)?h02f(h)]?ah2[f?(0)?f?(h)]中的参
数a,并证明该求积公式具有三次代数精度。
解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时,有
h1dx?[1?1]?0,即h=h 02hh2h2h2 x1dx?[0?h]?ah(1?1),?0222?h?
不能确定a,再令f(x)=x2, 代入求积公式,得到
?h0h3h3h22??2ah3 xdx?[0?h]?ah(2?0?2h),即 3222得a?1.
12
求积公式为?hh2f(x)dx?[f(0)?f(h)]?[f?(0)?f?(h)] 0212h将f(x)=x3代入上求积公式,有
?h0hh23xdx?[0?h]?(3?0?3h2)
2123可见,该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中,有
?h0hh24xdx?[0?h]?(4?0?4h3)
2124所以该求积公式具有三次代数精度。
例6 选择填空题
1. 牛顿-科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点
是 。
解答:牛顿-科茨求积公式的节点和求积系数确定后,再估计其
精度;高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题
例1 证明方程1-x-sinx=0在区间[0,1]内有一个根,使用二分法求误差不超过0.5×10-4的根要迭代多少次?
证明 令f(x)=1-x-sinx
∵ f(0)=1>0,f(1)=-sin1<0
∴ f(x)=1-x-sinx=0在[0,1]有根。又
f?(x)=1-cosx>0(x?[0,1]),故f(x)=0在区间[0,1]内有唯一实根。
给定误差限?=0.5×10-4,有
n?ln(b?a)?ln??ln?.???ln??????????.????
ln?ln?
只要取n=14。
例2 用迭代法求方程x5-4x-2=0的最小正根。计算过程保留4
位小数。
[分析] 容易判断[1,2]是方程的有根区间。若建立迭代格式
x???x????x?x?,即?(x)?,??(x)???(x?(?,?)),此时迭代发散。
???455(4x?2)4?4(1?x?2),5建立迭代格式x?54x?2,?(x)?54x?2,??(x)?此时迭代收敛。
解 建立迭代格式
x???x??,?(x)???x??
??(x)?45(4x?2)54?4(1?x?2)),取初始值x0?1(可任取51,2之间的值)
x????x???????1.431 0 x????x??????.????1.505 1 x????x??????.?????1.516 5 x????x??????.????1.518 2
x????x??????.?????1.5185
取x??1.5185
例3 试建立计算?a的牛顿迭代格式,并求????.???的近似值,要
求迭代误差不超过10-5
[分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10-5。
解 令x??a,f(x)?x??a??,求x的值。牛顿迭代格式为
xk???f(xk)xk?a?a?xk??xk??x?(k??,?,...,) k??f?(xk)??xk?xk
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