数值分析典型例题

第一章典型例题

例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？

解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是?＝0.0005, 故至少要保

留小数点后三位才可以。ln2?0.693 第二章典型例题

例1 用顺序消去法解线性方程组

??x??x???x???????x???x??x??? ?x??x??x???????解 顺序消元

4?1?4?1??214?1?r2?r1?(?3/2)?21?212)?r3?r1?(?1/??r3?r2?(?3)?? [A?b]?????3214??????00.5?55.5???????00.5?55.5?????124?1???01.52?0.5???0017?17??

于是有同解方程组

?2x1?x2?4x3??1??0.5x2?5x3?5.5 ?17x3??17?回代得解

x3=－1, x2=1,x1=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)T

例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组

?x???x???x?????x??x??x??? ??x??x?x??????解 建立迭代格式

(k?1)(k)(k)?x1??2x2?2x3?1??(k?1)(k)(k)??x1?x3?3(k=1,2,3,…) ?x2?(k?1)(k)(k)??2x1?2x2?5??x3

第1次迭代,k=0

X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k=1

(2)?x1??2?3?2?5?1?5??(2) ?x2??1?5?3??3?(2)??x3??2?1?2?3?5??3X(2)＝(5,－3,－3)T

第3次迭代，k=2

(3)?x1??2?(?3)?2?(?3)?1?1??(3) ?x2??5?(?3)?3?1?(2)??x3??2?5?2?(?3)?5?1

X(3)＝(1,1,1)T

第4次迭代，k=3

(2)?x1??2?1?2?1?1?1??(2) ?x2??1?1?3?1?(2)??x3??2?1?2?1?5?1 X(4)＝(1,1,1)T

例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛

德尔迭代法发散。

证明 例2中线性方程组的系数矩阵为

?12?2?? A＝?111????221??

于是

?100?? D＝?010????001?? D－1＝D

?000?~? L??100????220??

?02?2?~? U??001????000?? 雅可比迭代矩阵为

?100??02?2??02?2?~~??101????101? B0＝?D?1(L?U)???010?????????001????220???220??

?2?2?20?I?B0?1?1?1???122?22??2??[?(??2)?2(??1)]?2[??2?2(??1))??3?0

得到矩阵B0的特征根?1,2,3?0，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。

高斯－赛德尔迭代矩阵为

~?1~G＝－(D?L)U ?100??＝－?110????221???1

00??02?2??02?2??1?02?2??001?????110??001????0?23? ????????????000???0?21????000???00?2??

2?2?I?G?0??23??(??2)2?0

00??2?解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。

例5 填空选择题：

1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 1

?x????x??x??????x???x???x??? ??x??x?????作第次消元后的第2，3个方程分别

为 。

答案：??x2?0.5x3??1.5

?2x?1.5x?3.523? 解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，

消元得到

??x2?0.5x3??1.5??2x 2?1.5x3?3.5是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组 ??x????x???x???

?x??x??x??? ???x???x??x???的迭代格式中x(k?1)2＝ (k=0,1,2,…)

答案：3?x(k?1)?x(k)13

解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求的值时应该用上x1的新值。 第三章典型例题

例1 已知函数y=f(x)的观察数据为

xk －2 0 4 5 yk 5 1 －3 1 试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f(－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数

l)(x???(x)?x(x??)(x??)x(x??(????)(????)(????)??)??

l(x??)(x??)(x??)(x??)(x??)(x??)?(x)?(??(??))(???)(???)???

x2

l?(x)?

l3(x)?(x??)x(x??)x(x??)(x??) ??(???)(???)(???)??(x?2)x(x?4)(x?2)x(x?4)?

(5?2)(5?0)(5?4)35所求三次多项式为

P3(x)=?yklk(x) k?0 ＝

???x(x??)(x??)??n

＋

(x??)(x??)(x??)??－

(??)?x(x??)(x??)??＋

(x??)x(x??) ?? ＝?x???x????x??

??????

?????????????????? f(－1)?P3(－1)＝?

例3 设x?,x?,x?,...,xn是n+1个互异的插值节点，lk(x)(k??,?,?,...,n)是

拉格朗日插值基函数，证明： (1)

?lk??nk(x)?? (2)

?lk??nkm(x)xk?xm(m??,?,?,...,n)

证明 (1) Pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)=?yklk(x)

k?0nf(n??)(?) ?Rn(x)??n??(x),?f(x)?Pn(x)?Rn(x)

(n??)! 当f(x)?1时，

f(n??)(?)1＝Pn(x)?Rn(x)????lk(x)??n??(x)

(n??)!k??kn由于f

(n??)(x)??，故有?lk(x)??

k??(2) 对于f(x)=xm,m=0,1,2,…,n，对固定xm(0?m?n), 作拉格朗日插

值多项式，有

f(n??)(?)x?Pn(x)?Rn(x)??xl(x)??n??(x)

(n??)!k??mnmkk当n>m－1时，f(n+1) (x)=0，Rn(x)=0，所以

?xk??nmkkl(x)?xm

注意：对于次数不超过n的多项式Qn(x)?anxn?an??xn???..?a?x?a?,

利用上结果，有

Qn(x)?anxn?an??xn???..?a?x?a? =an?lk(x)x?an???lk(x)xnkk??k??nnn??k?...?a??lk(x)xk?a??lk(x)

k??k??nn =?k?0nnnlk(x)[anxk?n?1an?1xk?...?axk?a0]??Q(xnk?0nk)lk(x)

上式?Qn(xk)lk(x)正是Qn(x)的拉格朗日插值多项式。可见，Qn(x)的拉

k?0格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在n+1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。

例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。n=5。a0,a1满足的法方程组是

k 1 2 3 4 5 xk 1 2 3 4 5 yk 4 4.5 6 8 8.5 ? xkxkyk 4 9 18 32 42.5 1 4 9 16 25 ? ?15 31

55 105.5 ??a????a????

???a????a?????.?解得a0=2.45, a1=1.25。所求拟合直线方程为 y=2.45+1.25x 例6选择填空题

1. 设y=f(x), 只要x0,x1,x2是互不相同的3个值，那么满足

P(xk)=yk(k=0,1,2)的f(x)的插值多项式P(x)是 (就唯一性回答问题)

答案：唯一的

3. 拉格朗日插值多项式的余项是( ),牛顿插值多项式的余项是( )

f(n??)(?)(A) Rn(x)?f(x)?Pn(x)??n??(x)

(n??)!(B) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)

f(n??)(?) (C) Rn(x)?f(x)?Pn(x)?

(n??)! (D) f(x,x0,x1,x2,…,xn)(x－x0)(x－x1)(x－x2)…(x－xn－1)(x－xn)

答案：(A)，(D)。见教材有关公式。 第四章典型例题

例1 试确定求积公式???f(x)dx?f(????)?f(??)的代数精度。

[依定义，对xk(k=0,1,2,3,…)，找公式精确成立的k数值] 解 当f(x)取1,x,x2,…时，计算求积公式何时精确成立。 (1) 取f(x)=1,有

左边＝???f(x)dx?????dx??, 右边＝f(?

(2) 取f(x)=x,有

??????)?f(??)??????

左边＝???f(x)dx?????dx??, 右边＝f(?

(3) 取f(x)=x2,有

边

???)?f(??)?????????

左

?=

?????f(x)dx??x?dx??????, 右边

=f(??)?f(?)?(??)??(?)???

??

(4) 取f(x)=x3,有

?? 左边=???f(x)dx????x?dx??, 右边=f(?

(5) 取f(x)=x4,有

边

???)?f(??)?(???)??(??)???

左

?=

?????f(x)dx??x?dx??????, 右边

=f(??)?f(?)?(??)??(?)???

??

当k?3求积公式精确成立，而x4公式不成立，可见该求积公式具

有3次代数。

例5 试确定求积公式?f(x)dx?h[f(0)?h02f(h)]?ah2[f?(0)?f?(h)]中的参

数a，并证明该求积公式具有三次代数精度。

解 公式中只有一个待定参数a。当f(x)=1,x时，有

h1dx?[1?1]?0,即h=h 02hh2h2h2 x1dx?[0?h]?ah(1?1),?0222?h?

不能确定a，再令f(x)=x2, 代入求积公式，得到

?h0h3h3h22??2ah3 xdx?[0?h]?ah(2?0?2h),即 3222得a?1.

12

求积公式为?hh2f(x)dx?[f(0)?f(h)]?[f?(0)?f?(h)] 0212h将f(x)=x3代入上求积公式，有

?h0hh23xdx?[0?h]?(3?0?3h2)

2123可见，该求积公式至少具有三次代数精度。再将f(x)=x4代入上公式中，有

?h0hh24xdx?[0?h]?(4?0?4h3)

2124所以该求积公式具有三次代数精度。

例6 选择填空题

1. 牛顿－科茨求积公式与高斯型求积公式的关键不同点

是 。

解答：牛顿－科茨求积公式的节点和求积系数确定后，再估计其

精度；高斯型求积公式是由精度确定其节点和求积系数。 第五章典型例题

例1 证明方程1－x－sinx＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？

证明 令f(x)＝1－x－sinx

∵ f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0

∴ f(x)=1－x－sinx=0在[0，1]有根。又

f?(x)=1－cosx>0(x?[0，1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根。

给定误差限?＝0.5×10－4，有

n?ln(b?a)?ln??ln?.???ln??????????.????

ln?ln?

只要取n＝14。

例2 用迭代法求方程x5－4x－2＝0的最小正根。计算过程保留4

位小数。

[分析] 容易判断[1，2]是方程的有根区间。若建立迭代格式

x???x????x?x?,即?(x)?,??(x)???(x?(?,?))，此时迭代发散。

???455(4x?2)4?4(1?x?2)，5建立迭代格式x?54x?2,?(x)?54x?2,??(x)?此时迭代收敛。

解 建立迭代格式

x???x??,?(x)???x??

??(x)?45(4x?2)54?4(1?x?2)),取初始值x0?1(可任取51，2之间的值)

x????x???????1.431 0 x????x??????.????1.505 1 x????x??????.?????1.516 5 x????x??????.????1.518 2

x????x??????.?????1.5185

取x??1.5185

例3 试建立计算?a的牛顿迭代格式，并求????.???的近似值，要

求迭代误差不超过10－5

[分析]首先建立迭代格式。确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过10－5。

解 令x??a,f(x)?x??a??，求x的值。牛顿迭代格式为

xk???f(xk)xk?a?a?xk??xk??x?(k??,?,...,) k??f?(xk)??xk?xk

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