2013-2014学年陕西省南郑中学高一下学期期中考试数学试卷(带解析)

2013-2014学年陕西省南郑中学高一下学期期中考试数学试卷（带解

析）

一、选择题

1.某公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人，要从其中抽取20人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为（）

A．8，15，7 B．16，2，2 C．16，3，1 D．12，5，3

【答案】C

【解析】

试题分析：∵公司现有职员160人，中级管理人员30人，高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人，∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查，∴每个个体被抽到的概率是

，∴职员要抽取160×＝16人，中级管理人员30×＝3人，高级管理人员10×

＝1人，即抽取三个层次的人数分别是16，3，1，故选C．

考点：分层抽样方法．

2.同时投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和是8的概率是 ()．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：列表如下：

从列表中可以看出，所有可能出现的结果共有36种，这些结果出现的可能性相等．∵点数的和为8的结果共有5种：（2，6），（3，，5），（4，4），（5，3），（6，2）∴点数

的和为8的概率P=，故选C．

考点：等可能事件的概率．

3.若m，n是两条不重合的直线，，，是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题:

①若则；

②若则；

③若则；

④若m，n是异面直线，则．

其中真命题是（）

A．①和④ B．①和③ C．③和④ D．①和②

【答案】A

【解析】

试题分析：对于①，因为由m⊥α，m⊥β，可得出α∥β，故命题正确；对于②，若α⊥γ，

β⊥γ，则α与β可能相交，也可能平行，故②错误；对于③若α∩β=a，m?α，n?β，m∥a，n∥a，∴m∥n，故③错；对于④，若α∩β=a，则因为m?α，m∥β，n?β，n∥α，所以

m∥a，n∥a，∴m∥n，这与m、n是异面直线矛盾，故结论正确；故答案为：A．

考点：1．命题的真假判断与应用；2．平面与平面之间的位置关系．

4.下列对一组数据的分析，不正确的是 ( )

A．数据极差越小，样本数据分布越集中、稳定

B．数据平均数越小，样本数据分布越集中、稳定

C．数据标准差越小，样本数据分布越集中、稳定

D．数据方差越小，样本数据分布越集中、稳定

【答案】B

【解析】

试题分析：极差反映了最大值与最小值差的情况，极差越小，数据越集中．方差、标准差是

用来衡量一组数据波动大小的量，方差标准差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动

越大，数据越不稳定．方差较小的数据波动较小，稳定程度高．平均数越小，说明数据整体

上偏小，不能反映数据稳定与否．故选B

考点：极差、方差的概念．

5.如图是在一次全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉

一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）

A．84，4．84 B．84，1．6 C．85，1．6 D．85，4

【答案】C

【解析】

试题分析：由茎叶图知，去掉一个最高分93和一个最低分77后，所剩数据84，84，86，84，87的平均数为，方差为

[(84?85)2+(84?85)2+(86?85)2+(84?85)2+(87?85)2]＝1．6．故选C．

考点：1．茎叶图；2．极差、方差与标准差．

6.两圆和的位置关系是（）

A ．相离

B ．相交

C ．内切

D ．外切

【答案】B

【解析】

试题分析：两圆的圆心分别为：（0，0），（4，-3），两圆的半径分别为：3，4，两圆的圆心的距离为4-3<5<3+4，所以两圆相交．

考点：圆与圆的位置关系．

7.教室内有一把直尺，无论怎样放置，地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 ( )．

A ．平行

B ．异面

C ．垂直

D ．相交但不垂直

【答案】C

【解析】

试题分析：由题意，直尺所在直线若与地面垂直，则在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直；若直尺所在直线若与地面不垂直，则其必在地面上有一条投影线，在平面中一定存在与此投影线垂直的直线，由三垂线定理知，与投影垂直的直线一定与此斜线垂直；综上，教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有这样的直线，使得它与直尺所在直线垂直，故选B ．

考点：空间中直线与平面之间的位置关系．

8.一个射手进行射击，记事件E 1：“脱靶”，E 2：“中靶”，E 3：“中靶环数大于4”，E 4：“中靶环数不小于5”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件共有 ( )．

A ．1对

B ．2对

C ．3对

D ．4对

【答案】B

【解析】

试题分析：由于事件E 1：“脱靶”；E 2：“中靶”；E 3：“中靶环数大于4”；E 4：“中靶环数不小于

5”；则在上述事件中，互斥而不对立的事件分别为E 1与E 3；E 1与E 4，共2对，故答案为 B ．

考点：互斥事件与对立事件．

9.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖，飞镖落在阴影部分的概率为 ( )．

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C

【解析】

试题分析：观察这个图可知：阴影部分是一个小三角形，在直线AB的方程为6x-3y-4=0中，令x=1得A（1，），令y=-1得B（，-1）．∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×（1+）（1-）=，则飞镖落在阴影部分（三角形ABC的内部）的概率是：

P=．故选C．

考点：几何概型．

10.某校毕业生毕业后有回家待业，上大学和补习三种方式，现取一个样本调查如图所示。若该校每个学生上大学的概率为，则每个学生补习的概率为（）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

试题分析：根据个学生上大学的概率为和上大学的人数80人，所以总人数为人，故每个学生补习的概率为．

考点：1．分层抽样；2．古典改型．

二、填空题

1.有一个几何体的三视图及其尺寸如下：

则该几何体的体积为．

【答案】54

【解析】

试题分析：由三视图可知，该几何体为圆柱，底面圆的半径为3，圆柱高为6，故该几何体的体积为．

考点：几何体的三视图．

2.阅读以下程序：

输入 x

If x>0 Then

y=3x+1

Else

y=-2x+3

End If

输出 y

End

若输入x=5，则输出的y = ．

【答案】16

【解析】

试题分析：因为x=5>0，根据程序可知y=3×5+1=16，故答案为16．

考点：条件语句．

3.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，则它们颜色不同的概率是______．

【答案】

【解析】

试题分析：∵总个数，颜色不同的概率是的个数∴p＝故填：．考点：古典概型及其概率计算公式．

4.直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a(a＜3)相交于两点A，B，弦AB的中点为M(0，1) ，则直线l的方程为________．

【答案】x-y+1=0

【解析】

试题分析：由已知，圆心O（-1，2），设直线l的斜率为k，弦AB的中点为M（0，1），

MO的斜率为k

OM ，则，∵l⊥MO，∴k?k

OM

=k?（-1）=-1∴k=1由点斜式得直

线AB的方程为：y=x+1，故答案为：x-y+1=0．

考点：1．直线的一般式方程；2．直线与圆的方程．三、解答题

1.某商店统计了最近6个月某商品的进价x(元)与售价y(元)的对应数据如下表：

则回归直线方程是_______________．

注：线性回归直线方程系数公式：

，a=y-bx

【答案】

【解析】

试题分析：

，∴回归直线方程是．

考点：线性回归方程．

2.根据以下算法的程序，画出其相应的算法程图，并指明该算法的目的及输出结果．

n=1

S=0

Do

S=S+n

n=n+1

Loop while S 2010

输出n-1

【答案】详见解析．

【解析】

试题分析：首先根据题目中的程序，画出算法框图，根据程序可知该程序的主要功能是求满足不等式:

的最小自然数的值，根据此条件即可求出答案．

该算法框图如下：

该算法的作用是求满足不等式:

的最小自然数的值（或的最大正整数n的值再加1）；输出结果是：63．

考点：设计程序框图解决实际问题．

3.下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料（单位：厘米）：

（1）在这个问题中，总体是什么？并求出x与y的值；

（2）求表中x与y的值，画出频率分布直方图及频率分布折线图；

（3）试计算身高在146~154cm的总人数约有多少？

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）71．

【解析】

试题分析：（1）根据数据总体的定义及已知中从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得

出的120人的身高资料进行调查，我们易得到结论；（2）根据各组的频率和为1，及频率=

频数÷样本容量，可计算出x，y的值．（3）根据146~154cm范围内各组的频率和，根据频

数=频率×总体容量，即可估计出身高在146~154cm的总人数约有多少．

解：(1)本题中的总体是指某校500名12岁男生的身高;身高分布在[150，154）的学生有x人，在样本120人占的频率为0．050;所以：x=1200．050="6;" 身高分布在[138，142）的学生占的频率y=1-(0．042+0．067+0．083+0．183+0．167+0．092+0．050+0．042)=0．274;

(2)样本的频率分布直方图及频率分布折线图如上所示；

(3)因为样本中身高在146~154cm 的频率为0．092+0．050=0．142，以此来估计总体中身高在146~154cm 的概率大约为0．142，从而估计身高在146~154cm 的总人数约为5000．142=71．

考点：1．频率分布直方图；2．频率分布表．

4.己知圆C:(x-x o )2+(y-y 0)2=R 2(R>0)与y 轴相切，圆心C 在直线l ：x －3y=0上，且圆C 截直线m ：

x －y=0所得的弦长为2，求圆C 方程．

【答案】(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9

【解析】

试题分析：利用题中圆的方程，和已知条件，可知|x 0|=R ，又由于圆心在直线x-3y=0上可知

x 0=3y 0，根据圆C 截直线m ：x －y=0所得的弦长为2，由勾股定理可知

，三方程联立即可求出结果．

解：圆C:(x-x o )2+(y-y 0)2=R 2(R>0)与y 轴相切，则|x 0|=R (1)

圆心C 在直线l ：x －3y=0上，则x 0=3y 0 (2)

圆C 截直线m ：x －y=0所得的弦长为2，则

把（1）（2）代入上式消去x 0，y 0得：R=3，则x 0=3，y 0="1" 或x 0=-3，y 0=-1

故所求圆C 的方程为：(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2

=9

考点：1．圆的性质；2．直线与圆的位置关系．

5.如图，长方体中，，，点为的中点。

（1）求证：直线∥平面；

（2）求证：平面平面；

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析．

【解析】

试题分析：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD

1

的中点，所以三角形BDD

1

中，由中位线定理可知PO ∥，根据线面平行的判定定理即可，

得证；（2）根据四边形ABCD为菱形，故BD AC，由题意可知DD

1

AC，故AC 平面，进而可证明出结论．

解：（1）设AC与BD的交点为O，连接OP，则长方体中O为BD中点，又P为DD

1

的中点，

所以三角形BDD

1

中，PO ∥，而不在平面PAC内，OP在平面PAC内，故∥平面

（2）长方体中，AB=AD，所以ABCD为菱形，故BD AC，

又长方体中，DD

1面ABCD，所以DD

1

AC，从而AC 平面，则平面平面

考点：1．线面平行的判定；2．线面垂直的判定；3．面面垂直的判定．

6.从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，

①求所选人都是男生的概率;

②求所选人恰有名女生的概率;

③求所选人中至少有名女生的概率。

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先列出所有的情况，所有的选法共有20 种，其中，所选3人都是男生的

选法有4种，由此求得所选3人都是男生的概率．（2）所选3人恰有1名女生的选法有12 种，所有的选法共有，由此可得所选3人恰有1名女生的概率．（3）方法一：用A表示所

选3人均为男生，则表示所选人中至少有名女生，所以根据对立事件的和为1，即可求

出答案; 方法二：用B表示恰有1名女生，用C表示两名女生均当选，则B+C表示所选人中

至少有名女生，由于事件B与C互斥，且P(B)= ，P(C)=

所以P(B+C)=P(B)+P(C)即可求出答案．

解：从4男2女中任选3人，用无序数对(x，y，z)表示如下：其中1，2，3，4为男，5，6

为女

（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，2，6），(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)，(1，4，5)，

（1，4，6），(1，5，6)，(2，3，4)，(2，3，5)，(2，3，6)，(2，4，5)，(2，4，6)，(2，5，6)，(3，4，5)，

(3，4，6)，(3，5，6)，(4，5，6)共20种结果，每种出现的可能性相同，故试验属古典概型。

（1）用A表示所选3人均为男生，则事件A包含的基本事件有4个，则P(A)= ;

(2)用B表示恰有1名女生，则事件B包含的基本事件有12个，则P(B)=;

(3)方法一：用A表示所选3人均为男生，则表示所选人中至少有名女生，

所以P()=1-P(A)=1-=;

方法二：用C表示两名女生均当选，则B+C表示所选人中至少有名女生，

由于事件B与C互斥，且P(B)= ，P(C)=

所以P(B+C)="P(B)+P(C)="

综上可知：（1）所选3人均为男生的概率为；

（2）所选3人中恰有1名女生的概率为

（3）所选人中至少有名女生的概率为

考点：古典概型及其概率计算公式．

7.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0．

（1）若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；

（2）若为圆C上任意一点，求的最大值与最小值；

（3）从圆C外一点P（x，y）向圆引切线PM，M为切点，O为坐标原点，且有|PM|=|PO|，求当|PM|最小时的点P的坐标。

【答案】（1）或；或，或；（2）最大值为-1，最小值为-7．；（3）当y=即P（）时，|PM|最小．

【解析】

试题分析：（1）当截距为0时，设出切线方程为y=kx，同理列出关于k的方程，求出方程

的解即可得到k的值，得到切线的方程；当截距不为零时，根据圆C的切线在x轴和y轴的

截距相等，设出切线方程x+y=b，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d，让

d等于圆的半径r，列出关于b的方程，求出方程的解即可得到b的值，得到切线的方程；（2）设，则表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；因为在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，而直线MA方程为：y+2=(x-1)，则有：C点到直线MA的距

离不大于圆C的半径，即：，解得：，即可求出的最大值为和

最小值；（3）根据圆切线垂直于过切点的半径，得到三角形CPM为直角三角形，根据勾股

定理表示出点P的轨迹方程，由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线，所以|PM|的最小值

就是|PO|的最小值，求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值，然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离，把P代入动点的轨迹方程，两者联立即可此时P的坐标．

解：圆C的方程为：（x+1）2+（y-2）2=2

（1）圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时，切线过原点或切线的斜率为；

当切线过原点时，设切线方程为：y=kx，相切则：，得；

当切线的斜率为时，设切线方程为：y=-x+b，由相切得：，

得b=1或b=5;故所求切线方程为：或；或，或

（2）设，则表示直线MA的斜率；其中A（1，-2）是定点；

因为在圆C上，所以圆C与直线MA有公共点，

而直线MA方程为：y+2=(x-1)，则有：C点到直线MA的距离不大于圆C的半径

即：，解得：，即的最大值为-1，最小值为-7．

（3）由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=（x+1）2+（y-2）2-2;

由|PM|=|PO|得：（x+1）2+（y-2）2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0，即x=2y-

此时|PM|=|PO|=

所以当y=即P（）时，|PM|最小．

考点：1．直线的方程；2．直线与圆的位置关系．

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