2013-2014学年陕西省南郑中学高一下学期期中考试数学试卷(带解析)
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2013-2014学年陕西省南郑中学高一下学期期中考试数学试卷(带解
析)
一、选择题
1.某公司现有职员160人,中级管理人员30人,高级管理人员10人,要从其中抽取20人进行体检,如果采用分层抽样的方法,则职员、中级管理人员和高级管理人员应该各抽取人数为()
A.8,15,7 B.16,2,2 C.16,3,1 D.12,5,3
【答案】C
【解析】
试题分析:∵公司现有职员160人,中级管理人员30人,高级管理人员10人∴公司共有160+30+10=200人,∵要从其中抽取20个人进行身体健康检查,∴每个个体被抽到的概率是
,∴职员要抽取160×=16人,中级管理人员30×=3人,高级管理人员10×
=1人,即抽取三个层次的人数分别是16,3,1,故选C.
考点:分层抽样方法.
2.同时投掷两枚均匀的骰子,所得点数之和是8的概率是 ().
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:列表如下:
从列表中可以看出,所有可能出现的结果共有36种,这些结果出现的可能性相等.∵点数的和为8的结果共有5种:(2,6),(3,,5),(4,4),(5,3),(6,2)∴点数
的和为8的概率P=,故选C.
考点:等可能事件的概率.
3.若m,n是两条不重合的直线,,,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:
①若则;
②若则;
③若则;
④若m,n是异面直线,则.
其中真命题是()
A.①和④ B.①和③ C.③和④ D.①和②
【答案】A
【解析】
试题分析:对于①,因为由m⊥α,m⊥β,可得出α∥β,故命题正确;对于②,若α⊥γ,
β⊥γ,则α与β可能相交,也可能平行,故②错误;对于③若α∩β=a,m?α,n?β,m∥a,n∥a,∴m∥n,故③错;对于④,若α∩β=a,则因为m?α,m∥β,n?β,n∥α,所以
m∥a,n∥a,∴m∥n,这与m、n是异面直线矛盾,故结论正确;故答案为:A.
考点:1.命题的真假判断与应用;2.平面与平面之间的位置关系.
4.下列对一组数据的分析,不正确的是 ( )
A.数据极差越小,样本数据分布越集中、稳定
B.数据平均数越小,样本数据分布越集中、稳定
C.数据标准差越小,样本数据分布越集中、稳定
D.数据方差越小,样本数据分布越集中、稳定
【答案】B
【解析】
试题分析:极差反映了最大值与最小值差的情况,极差越小,数据越集中.方差、标准差是
用来衡量一组数据波动大小的量,方差标准差越大,表明这组数据偏离平均数越大,即波动
越大,数据越不稳定.方差较小的数据波动较小,稳定程度高.平均数越小,说明数据整体
上偏小,不能反映数据稳定与否.故选B
考点:极差、方差的概念.
5.如图是在一次全国少数民族运动会上,七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图,去掉
一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为()
A.84,4.84 B.84,1.6 C.85,1.6 D.85,4
【答案】C
【解析】
试题分析:由茎叶图知,去掉一个最高分93和一个最低分77后,所剩数据84,84,86,84,87的平均数为,方差为
[(84?85)2+(84?85)2+(86?85)2+(84?85)2+(87?85)2]=1.6.故选C.
考点:1.茎叶图;2.极差、方差与标准差.
6.两圆和的位置关系是()
A .相离
B .相交
C .内切
D .外切
【答案】B
【解析】
试题分析:两圆的圆心分别为:(0,0),(4,-3),两圆的半径分别为:3,4,两圆的圆心的距离为4-3<5<3+4,所以两圆相交.
考点:圆与圆的位置关系.
7.教室内有一把直尺,无论怎样放置,地面上总有这样的直线与该直尺所在直线 ( ).
A .平行
B .异面
C .垂直
D .相交但不垂直
【答案】C
【解析】
试题分析:由题意,直尺所在直线若与地面垂直,则在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线垂直;若直尺所在直线若与地面不垂直,则其必在地面上有一条投影线,在平面中一定存在与此投影线垂直的直线,由三垂线定理知,与投影垂直的直线一定与此斜线垂直;综上,教室内有一直尺,无论怎样放置,在地面总有这样的直线,使得它与直尺所在直线垂直,故选B .
考点:空间中直线与平面之间的位置关系.
8.一个射手进行射击,记事件E 1:“脱靶”,E 2:“中靶”,E 3:“中靶环数大于4”,E 4:“中靶环数不小于5”,则在上述事件中,互斥而不对立的事件共有 ( ).
A .1对
B .2对
C .3对
D .4对
【答案】B
【解析】
试题分析:由于事件E 1:“脱靶”;E 2:“中靶”;E 3:“中靶环数大于4”;E 4:“中靶环数不小于
5”;则在上述事件中,互斥而不对立的事件分别为E 1与E 3;E 1与E 4,共2对,故答案为 B .
考点:互斥事件与对立事件.
9.向如图中所示正方形内随机地投掷飞镖,飞镖落在阴影部分的概率为 ( ).
A .
B .
C .
D .
【答案】C
【解析】
试题分析:观察这个图可知:阴影部分是一个小三角形,在直线AB的方程为6x-3y-4=0中,令x=1得A(1,),令y=-1得B(,-1).∴三角形ABC的面积为S=AC×BC=×(1+)(1-)=,则飞镖落在阴影部分(三角形ABC的内部)的概率是:
P=.故选C.
考点:几何概型.
10.某校毕业生毕业后有回家待业,上大学和补习三种方式,现取一个样本调查如图所示。若该校每个学生上大学的概率为,则每个学生补习的概率为()
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:根据个学生上大学的概率为和上大学的人数80人,所以总人数为人,故每个学生补习的概率为.
考点:1.分层抽样;2.古典改型.
二、填空题
1.有一个几何体的三视图及其尺寸如下:
则该几何体的体积为.
【答案】54
【解析】
试题分析:由三视图可知,该几何体为圆柱,底面圆的半径为3,圆柱高为6,故该几何体的体积为.
考点:几何体的三视图.
2.阅读以下程序:
输入 x
If x>0 Then
y=3x+1
Else
y=-2x+3
End If
输出 y
End
若输入x=5,则输出的y = .
【答案】16
【解析】
试题分析:因为x=5>0,根据程序可知y=3×5+1=16,故答案为16.
考点:条件语句.
3.盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机地摸出两只球,则它们颜色不同的概率是______.
【答案】
【解析】
试题分析:∵总个数,颜色不同的概率是的个数∴p=故填:.考点:古典概型及其概率计算公式.
4.直线l与圆(x+1)2+(y-2)2=5-a(a<3)相交于两点A,B,弦AB的中点为M(0,1) ,则直线l的方程为________.
【答案】x-y+1=0
【解析】
试题分析:由已知,圆心O(-1,2),设直线l的斜率为k,弦AB的中点为M(0,1),
MO的斜率为k
OM ,则,∵l⊥MO,∴k?k
OM
=k?(-1)=-1∴k=1由点斜式得直
线AB的方程为:y=x+1,故答案为:x-y+1=0.
考点:1.直线的一般式方程;2.直线与圆的方程.三、解答题
1.某商店统计了最近6个月某商品的进价x(元)与售价y(元)的对应数据如下表:
则回归直线方程是_______________.
注:线性回归直线方程系数公式:
,a=y-bx
【答案】
【解析】
试题分析:
,∴回归直线方程是.
考点:线性回归方程.
2.根据以下算法的程序,画出其相应的算法程图,并指明该算法的目的及输出结果.
n=1
S=0
Do
S=S+n
n=n+1
Loop while S 2010
输出n-1
【答案】详见解析.
【解析】
试题分析:首先根据题目中的程序,画出算法框图,根据程序可知该程序的主要功能是求满足不等式:
的最小自然数的值,根据此条件即可求出答案.
该算法框图如下:
该算法的作用是求满足不等式:
的最小自然数的值(或的最大正整数n的值再加1);输出结果是:63.
考点:设计程序框图解决实际问题.
3.下表给出了从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得出的120人的身高资料(单位:厘米):
(1)在这个问题中,总体是什么?并求出x与y的值;
(2)求表中x与y的值,画出频率分布直方图及频率分布折线图;
(3)试计算身高在146~154cm的总人数约有多少?
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)71.
【解析】
试题分析:(1)根据数据总体的定义及已知中从某校500名12岁男生中用简单随机抽样得
出的120人的身高资料进行调查,我们易得到结论;(2)根据各组的频率和为1,及频率=
频数÷样本容量,可计算出x,y的值.(3)根据146~154cm范围内各组的频率和,根据频
数=频率×总体容量,即可估计出身高在146~154cm的总人数约有多少.
解:(1)本题中的总体是指某校500名12岁男生的身高;身高分布在[150,154)的学生有x人,在样本120人占的频率为0.050;所以:x=1200.050="6;" 身高分布在[138,142)的学生占的频率y=1-(0.042+0.067+0.083+0.183+0.167+0.092+0.050+0.042)=0.274;
(2)样本的频率分布直方图及频率分布折线图如上所示;
(3)因为样本中身高在146~154cm 的频率为0.092+0.050=0.142,以此来估计总体中身高在146~154cm 的概率大约为0.142,从而估计身高在146~154cm 的总人数约为5000.142=71.
考点:1.频率分布直方图;2.频率分布表.
4.己知圆C:(x-x o )2+(y-y 0)2=R 2(R>0)与y 轴相切,圆心C 在直线l :x -3y=0上,且圆C 截直线m :
x -y=0所得的弦长为2,求圆C 方程.
【答案】(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2=9
【解析】
试题分析:利用题中圆的方程,和已知条件,可知|x 0|=R ,又由于圆心在直线x-3y=0上可知
x 0=3y 0,根据圆C 截直线m :x -y=0所得的弦长为2,由勾股定理可知
,三方程联立即可求出结果.
解:圆C:(x-x o )2+(y-y 0)2=R 2(R>0)与y 轴相切,则|x 0|=R (1)
圆心C 在直线l :x -3y=0上,则x 0=3y 0 (2)
圆C 截直线m :x -y=0所得的弦长为2,则
把(1)(2)代入上式消去x 0,y 0得:R=3,则x 0=3,y 0="1" 或x 0=-3,y 0=-1
故所求圆C 的方程为:(x-3)2+(y-1)2=9或(x+3)2+(y+1)2
=9
考点:1.圆的性质;2.直线与圆的位置关系.
5.如图,长方体中,,,点为的中点。
(1)求证:直线∥平面;
(2)求证:平面平面;
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析.
【解析】
试题分析:(1)设AC与BD的交点为O,连接OP,则长方体中O为BD中点,又P为DD
1
的中点,所以三角形BDD
1
中,由中位线定理可知PO ∥,根据线面平行的判定定理即可,
得证;(2)根据四边形ABCD为菱形,故BD AC,由题意可知DD
1
AC,故AC 平面,进而可证明出结论.
解:(1)设AC与BD的交点为O,连接OP,则长方体中O为BD中点,又P为DD
1
的中点,
所以三角形BDD
1
中,PO ∥,而不在平面PAC内,OP在平面PAC内,故∥平面
(2)长方体中,AB=AD,所以ABCD为菱形,故BD AC,
又长方体中,DD
1面ABCD,所以DD
1
AC,从而AC 平面,则平面平面
考点:1.线面平行的判定;2.线面垂直的判定;3.面面垂直的判定.
6.从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛,
①求所选人都是男生的概率;
②求所选人恰有名女生的概率;
③求所选人中至少有名女生的概率。
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
试题分析:(1)首先列出所有的情况,所有的选法共有20 种,其中,所选3人都是男生的
选法有4种,由此求得所选3人都是男生的概率.(2)所选3人恰有1名女生的选法有12 种,所有的选法共有,由此可得所选3人恰有1名女生的概率.(3)方法一:用A表示所
选3人均为男生,则表示所选人中至少有名女生,所以根据对立事件的和为1,即可求
出答案; 方法二:用B表示恰有1名女生,用C表示两名女生均当选,则B+C表示所选人中
至少有名女生,由于事件B与C互斥,且P(B)= ,P(C)=
所以P(B+C)=P(B)+P(C)即可求出答案.
解:从4男2女中任选3人,用无序数对(x,y,z)表示如下:其中1,2,3,4为男,5,6
为女
(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,2,6),(1,3,4),(1,3,5),(1,3,6),(1,4,5),
(1,4,6),(1,5,6),(2,3,4),(2,3,5),(2,3,6),(2,4,5),(2,4,6),(2,5,6),(3,4,5),
(3,4,6),(3,5,6),(4,5,6)共20种结果,每种出现的可能性相同,故试验属古典概型。
(1)用A表示所选3人均为男生,则事件A包含的基本事件有4个,则P(A)= ;
(2)用B表示恰有1名女生,则事件B包含的基本事件有12个,则P(B)=;
(3)方法一:用A表示所选3人均为男生,则表示所选人中至少有名女生,
所以P()=1-P(A)=1-=;
方法二:用C表示两名女生均当选,则B+C表示所选人中至少有名女生,
由于事件B与C互斥,且P(B)= ,P(C)=
所以P(B+C)="P(B)+P(C)="
综上可知:(1)所选3人均为男生的概率为;
(2)所选3人中恰有1名女生的概率为
(3)所选人中至少有名女生的概率为
考点:古典概型及其概率计算公式.
7.已知圆C:x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上截距相等,求切线的方程;
(2)若为圆C上任意一点,求的最大值与最小值;
(3)从圆C外一点P(x,y)向圆引切线PM,M为切点,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求当|PM|最小时的点P的坐标。
【答案】(1)或;或,或;(2)最大值为-1,最小值为-7.;(3)当y=即P()时,|PM|最小.
【解析】
试题分析:(1)当截距为0时,设出切线方程为y=kx,同理列出关于k的方程,求出方程
的解即可得到k的值,得到切线的方程;当截距不为零时,根据圆C的切线在x轴和y轴的
截距相等,设出切线方程x+y=b,然后利用点到直线的距离公式求出圆心到切线的距离d,让
d等于圆的半径r,列出关于b的方程,求出方程的解即可得到b的值,得到切线的方程;(2)设,则表示直线MA的斜率;其中A(1,-2)是定点;因为在圆C上,所以圆C与直线MA有公共点,而直线MA方程为:y+2=(x-1),则有:C点到直线MA的距
离不大于圆C的半径,即:,解得:,即可求出的最大值为和
最小值;(3)根据圆切线垂直于过切点的半径,得到三角形CPM为直角三角形,根据勾股
定理表示出点P的轨迹方程,由轨迹方程得到动点P的轨迹为一条直线,所以|PM|的最小值
就是|PO|的最小值,求出原点到P轨迹方程的距离即为|PO|的最小值,然后利用两点间的距离公式表示出P到O的距离,把P代入动点的轨迹方程,两者联立即可此时P的坐标.
解:圆C的方程为:(x+1)2+(y-2)2=2
(1)圆C的切线在x轴和y轴上截距相等时,切线过原点或切线的斜率为;
当切线过原点时,设切线方程为:y=kx,相切则:,得;
当切线的斜率为时,设切线方程为:y=-x+b,由相切得:,
得b=1或b=5;故所求切线方程为:或;或,或
(2)设,则表示直线MA的斜率;其中A(1,-2)是定点;
因为在圆C上,所以圆C与直线MA有公共点,
而直线MA方程为:y+2=(x-1),则有:C点到直线MA的距离不大于圆C的半径
即:,解得:,即的最大值为-1,最小值为-7.
(3)由圆的切线长公式得|PM|2=|PC|2-R2=(x+1)2+(y-2)2-2;
由|PM|=|PO|得:(x+1)2+(y-2)2-2=x2+y2;即2x-4y+3=0,即x=2y-
此时|PM|=|PO|=
所以当y=即P()时,|PM|最小.
考点:1.直线的方程;2.直线与圆的位置关系.
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