考研线性代数讲义

2011年万学海文线性代数

主讲 铁军教授

铁军教授简介：著名考研数学辅导专家，近几年在全国各大城市声名鹊起，成为与王式安、赵达夫齐名的考研数学辅导“三驾马车”之一。铁军教授从事考研数学辅导工作以来，以其高屋建瓴、大气磅礴、睿智幽默的风格，对考点、重点、难点全面、深刻、透彻的把握，关爱学生、高度负责的态度以及对考题的精准预测，令考生受益无穷。特别是铁军老师的数学全程保过班，更是以无与伦比的连续性、系统性和考生的数学成绩大面积高分而受到广大莘莘学子的爱戴！2011年，考研竞争空前激烈！万学海文邀请铁军教授亲临面授，为您考研成功保驾护航。您的理想将在您我的共同努力下实现。这是我们的信心，也将是您的信心！

线性代数在考研数学中占有重要地位，必须予以高度重视。线性代数试题的特点比较突出，以计算题为主，证明题为辅，主要用证明题的方法技巧来解决计算题。因此，必须掌握证明题的证明技巧，并会在计算题中灵活应用。难点在于线性代数的内容比较抽象，综合性强，特别是关于向量的线性相关性、矩阵的秩与线性方程组的解的结构定理的综合题难度较大，必须突破这一难点。

第一章 行列式

行列式的核心考点是掌握计算行列式的方法，计算行列式的主要方法是降阶法，用按

行、按列展开公式将行列式降阶。但在展开之前往往先用行列式的性质对行列式进行恒等变形，化简之后再展开。另外，用简单的递推公式求行列式的方法也应掌握。

【大纲内容】行列式的概念和基本性质；行列式按行（列）展开定理。

【大纲要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性质。会应用行列式的性质和行列式按行

（列）展开定理计算行列式。

【考点分析】考研试题中关于行列式的题型主要是填空题,纯粹考行列式的题目很少，但行列式是线性代数中必不可少的工具，它在处理以下问题中都有重要应用： 1．判定方阵是否可逆以及应用公式A?1? 2．判定n个n维向量的线性相关性；

1

1?A求逆矩阵； A万学教育·海文考研 2011春季数学基础班—线性代数

3．计算矩阵的秩；

4．讨论系数矩阵为方阵的线性方程组的解的情况并利用克莱姆法则求方程组的解； 5．求方阵的特征值；

6．判定二次型及实对称矩阵的正定性。

同时，上述内容也可与行列式知识相结合构造新的关于行列式的题型。在复习过程中，请大家注意及时归纳总结。

【重要考点】

1．行列式按行、按列展开公式为：

D?ak1Ak1?ak2Ak2???aknAkn?a1kA1k?a2kA2k???ankAnk (k?1,2?n)

2．两个特殊公式：设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则

AOACOACA （1）（2）??AB ；??(?1)mnA?B

CBOBBCBO1x12 3．范德蒙行列式：x1?n?1x11?1x2?xn22??(xi?xj) x2?xn1?j?i?n??n?1n?1x2?xn4．余子式和代数余子式的定义，其中aij的余子式为Mij，aij的代数余子式为

Aij?(?1)i?jMij。

【典型例题】

1. 计算n阶行列式

x00Dn?00an?1x000an?10?1x00?????000x0000?1xa2000

??0?1a1an?2?a3ab0?000ab?002. n阶行列式

00a?00?????000?abb00?0a?_____________________.

2

1x1★ 范德蒙行列式：Dn?x121x22x2???1xn2xn??(xi?xj)，

?x1n?1??1?j?i?nn?1n?1x2?xnn阶范德蒙行列式Dn的结构特点是每列元素1,xi,xi2,?,xin?1 按xi的升幂排列，构

成一个等比数列。

11233. 计算四阶行列式D?49827

4. 计算四阶行列式

3a12a1b13a22a2b22a2b23b33a32a3b32a3b33b33a42a4b42a4b43b4111?4.

1161?64 D?a1b123b1 （其中a1,a2,a3,a4均不为0）

5. 计算四阶行列式

1D?1?si?n1sin?1?s2in?12sin?1?s3in?11?1s?i2n?2si?n2?1s?i2n21?1?4sin2??4sin?4sin23???4sin4sin2?1?s3ins?i2ns?i2n3?s?in32?s3i?n?s3in3?s3in

?????★ 形如 的行列式称为三对角型（三斜线形）行列式。三对角型行列

?????式的特点是沿主对角线方向三列元素不为零，其余元素均为零。对于这类三对角型行列式通常可用递推法。

3

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6. 计算n?1阶行列式

1b10?11?b1b20?11?b2?00?000000000000?00

??001?bn?1bn0?11?bnDn?1

4300014300 7．五阶行列式 D5?01430 的值为_________.

0014300014

8. 五阶行列式

1?a?1 D?000

a1?a?1000a1?a?1000a?1a?1000?__________. ___a?1a??????★ 形如的行列式称为箭形、爪形或扇形行列式，其特点是行列式中主

????对角线上的元素和第一行、第一列上的元素不为零，其余元素均为零。对于箭形、爪形或扇形行列式，可用主对角线上的元素化其为上（下）三角型行列式进行计算。

9.计算n?1阶行列式

a01a10?010a2?0?11?1?1?0?0 (a1a2?an?0) ???an Dn?1

10. 计算n阶行列式

4

01Dn?1?1120001?1000300 0?000n

11. 计算n阶行列式

a1bDn?bba2bbbb?bbb (ai?b,i?1,2,?n)

?????bbb?ana3?

★ 计算含子块的四分块的分块矩阵的行列式：掌握简化行列式运算的两个重要公式：

设A是m阶方阵，B是n阶方阵，则

AOACOACA （1）（2）??AB；??(?1)mnA?B.

CBOBBCBO

120304050 578101000 12． 计算 07116?181

0013. 计算五阶行列式 D?10000250010?3376859246 78

?A3A*??， 14．设A,B均是n阶矩阵，A?a,B?b,C??1?1?O??(B)??2? 则C?_________.

5

114．已知??(1,2,3)，??(1,,)，设A??T?，则An? 23

115．设n维行向量??(,0,?,0,)，矩阵A?E??T?,B??E?2?T?，其中E为n阶单

22位矩阵，则AB等于（ ）

（A）O

（B）?E

（C）E

（D）E???

T?2?13???6．设A??a1b?，若存在秩大于1的三阶矩阵B，使得AB?O，则An?

?4c6???

?10??0?17．设A??00??00?00?000??000?010?，求A10。

?001?000??

★ 逆矩阵与伴随矩阵：

1. 求逆矩阵方法：用初等变换（不能行、列变换混用）

行变换 (AE)?只?用????(EA?1)，

只用列变换? ???E???????A?1??

?A????E???2. 矩阵A可逆的充要条件：

（1）存在n阶方阵B，使AB?BA?E （2）A?0

（3）秩A?n（A为n阶方阵） （4）A与同阶单位矩阵E等价

（5）A可以表示成若干个初等矩阵的乘积 （6）齐次线性方程组AX?0只有零解

（7）对任意n维列向量b，非齐次线性方程组AX?b有唯一解。 （8）A的行（列）向量组线性无关。 （9）A的特征值均不为O(?A??1?2??n)

11

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3. 逆矩阵常用公式： （1）A?1???1?A

（2）AT????A??1?1T

（3）?AB??1?B?1A?1 （5）(kA)?1?1?1A(k?0) k（4）A?1?1 A4. 思维定势：（1）题设条件与A?有关，则立即联想到用公式AA??A?A?AE （2）若涉及到A、B是否可交换，即AB?BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析 （3）若题设n阶方阵A满足f(A)?0，要证aA?bE可逆，则先分解出因子aA?bE再说。

5.伴随矩阵的主要定理和公式

（1）AA??A?A?AE （2）A?1? （3）A?1?A(当A?0时) A???1?1A(当A?0时) A? （4）(kA)?kn?1A?（k为常数，A为n阶矩阵，n?2）

n?1 （5）A??A （6）A?（A为n阶矩阵，n?2） A（A为任n阶矩阵，n?2）

?????An?2 （7）A?????A? （8）?AB?TT??B?A?

?n,若秩A?n??（9）设A是n阶矩阵(n?2)，则 秩A??1,若秩A?n?1

?0,若秩A?n?1?

8．设A为n阶非零矩阵，证明当A??AT时，A可逆。

9．设n维向量???a, o, ?, o, a?T, a?o；E为n阶单位矩阵，矩阵A?E???T，

1B?E???T，其中A的逆矩阵为B，则a?_____。

a

10．设n阶可逆矩阵A中每行元素之和均为常数a。证明：（1）常数a?0 （2）A?1的每行元素之和均为a?1。

11． 设A、B均为n阶方阵，且AB?A?B。

12

证明：（1）(A?E)?1?E?B；（2）AB?BA.

12．已知E?AB可逆，试证E?BA也可逆，并求(E?BA)?1 .

13．设A是n阶方阵，且A3?0，则（ ） （A）A不可逆，且E?A不可逆； （B）A可逆，但E+A不可逆；

（C）A2?A?E及A2?A?E均可逆； （D）A不可逆，且必有A?0.

14．已知A、B为3阶矩阵，且满足2A?1B?B?4E，其中E是3阶单位矩阵。（1）证明：

?1?20???矩阵A-2E可逆；（2）若B??120?，求矩阵A .

?002???2

?100???15．设矩阵A、B满足A?BA?2BA?8E，其中A??0?20?，E为单位矩阵，A?为A的伴

?001???随矩阵，则B=__________。

16．已知三阶矩阵A的逆矩阵A?1?111?????121?，试求(A?)?1。 ?113???

1?1??1??17． 设矩阵A???111?，矩阵X满足A?X?A?1?2X，求矩阵X。

?1?11???

18. 设矩阵A=(aij)3?3 满足A?A，其中A是A的伴随矩阵，A为A的转置矩阵. 若

*T*T13

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a11,a12,a13为三个相等的正数，则a11为( )

(A)

13. (B) 3. (C) . (D)

333.

★ 1. 只要把子块或子矩阵当做通常的矩阵元素，分块矩阵的加、减、乘法、数乘与转

置等运算就与通常矩阵的相应运算基本相同。 2. 设A、B均为可逆方阵，则

?AO?①??OB?????AC?③??OB?????1?1?A?1???O??OA?O?? ②??BO??B?1?????1?1?O???A?1?B?1?? O??O?? 。

?1?B??A?1???O??AO??A?1CB?1?? ④?????1?CBB????1?A????B?1CA?1?

19． 设A为n阶非奇异矩阵，?为n维列向量，b为常数，记分块矩阵

I?P?????TA??O??A?, Q????TA??????，其中A?是矩阵A的伴随矩阵，I为n阶单位矩阵。 ?b?（1）计算并化简PQ（2）证明：矩阵Q可逆??TA?1??b.

20．设A、B为n阶矩阵，A?,B?分别为A、B对应的伴随矩阵，分块矩阵C???OB??，则

??C的伴随矩阵C??（ ）。

?AA?（A）??O??AB?（C）??O?O?? ??BB?O?? ??BA??BB?（B）??O??BA?（D）??O?O?? ??AA?O?? ??AB??AO?★ 初等矩阵与初等变换：

1. 单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 2. 对应于三种初等变换的三种初等矩阵为：

（1）E(i, j)：交换E的两行或两列得到

（2）E?i(k)?：非零常数k乘E的i行或i列得到； （3）E?i,j(k)?：E的j行（列）的k倍加到i行（列）. 3.初等矩阵的逆矩阵： （1）E(i, j)?1?E(i, j) 1（2）E(i(k))?1?E(i()) (k?0)

k 14

（3）E(i, j(k))?1?E(i, j(?k))

4.（1）初等矩阵P左乘A所得PA就是A作了一次与P同样的初等行变换。 （2）初等矩阵P右乘A所得AP就是A作了一次与P同样的初等列变换。

?010???21．计算?100??001???2003?123??001??????456??010??789??100?????2004.

22．设A是n阶可逆矩阵，将A的第i行与第j行对调后得到的矩阵记为B，证明B可逆，

并求AB?1。

?a11??a23．设A??21a?31?a?41?0??0P1??0??1?a12a22a32a42a13a23a33a43a14??a14??a24??a24，B??aa34???34??a4a44??a13a23a33a43a12a22a32a42a11??a21? a31??a41??001??10??100??00，P?2?01010?????00000??00??10??1B，其中A可逆，则等于（ ）

00??01??（A）A?1P1P2 （B）P1A?1P2 （C）P1P2A?1（D）P2A?1P1

**24．设A为n（n?2）阶可逆矩阵，交换A的第1行与第2行得矩阵B, A,B分别为

A,B的伴随矩阵，则（ ）

(A) 交换A的第1列与第2列得B. (B) 交换A的第1行与第2行得B. (C) 交换A的第1列与第2列得?B. (D) 交换A的第1行与第2行得?B.

********第三章 向量

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本章是考研复习的重点，也是难点。一定要吃透线性相关、线性无关的概念、性质和

判别法，并能灵活运用。熟记一些常见结论，并能将线性相关、线性无关的概念与矩阵的秩、线性方程组的解的结构定理进行转换、连接，开阔思路，提高综合能力。

【大纲内容】向量的概念;向量的线性组合和线性表示；向量组的线性相关与线性无关；向量组的极大线性无关组；等价向量组；向量组的秩；向量组的秩与矩阵的秩之间的关系。数学一还要求掌握：向量空间以及相关概念；n维向量空间的基变换和坐标变换；过渡矩阵；向量的内积；线性无关向量组的正交规范化方法；规范正交基；正交矩阵及其性质。

【大纲要求】理解n维向量的概念、向量的线性组合与线性表示；理解向量组线性相关与线性无关的概念；了解并会用向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法，会求向量组的极大线性无关组和向量组的秩；了解向量组的秩与矩阵的秩之间的关系，会用矩阵的秩解决有关问题。数学一还要求：了解n维向量空间、基、维数、坐标等概念，会求基变换的过渡矩阵，并通过过渡矩阵求向量在新、旧基下的坐标；了解内积的概念，掌握向量组正交规范化的施密特（Schmidt）方法，以及正交矩阵的概念与性质。 【考点分析】判别向量组线性相关、线性无关的方法： 1．定义法：（1）若存在不全为0的数k1,k2,?,km，使

k1?1?k2?2???km?m?0，则?1,?2,?,?m线性相关；

（2）令k1?1?k2?2???km?m?0而k1?k2???km?0，则

?1,?2,?,?m线性无关。定义法的关键是恒等变形。

2．思维定势：（1）若要证明向量组?1,?2,?,?s线性无关，先考虑用定义 再说；

（2）若已知条件涉及线性相关的话，先用定义处理一下再说。 3．利用向量组的秩：

（1）当秩（?1,?2,?,?m）?m时，向量组?1,?2,?,?m线性相关； （2）当秩（?1,?2,?,?m）?m时，向量组?1,?2,?,?m线性无关。

4．利用矩阵的秩：

设向量组?1,?2,?,?s线性无关，向量组?1,?2,?,?t可用?1,?2,?,?s线性表示。且

有矩阵A，使得(?1,?2,?,?t)?(?1,?2,?,?s)A 则（1）秩(?1,?2,?,?t)=秩A

（2）向量组?1,?2,?,?t线性无关?秩A?t。 5．利用行列式：

设A?(?1,?2,?,?n)为n阶方阵。当A?0时，n维向量组

?1,?2,?,?n 线性相关；当A?0时，n维向量组?1,?2,?,0线性无关。

6．利用线性表示：

（1） 向量组?1,?2,?,?m线性相关?至少存在一个向量可以用其余向量线性表示； （2） 若向量组?1,?2,?,?m线性无关，而向量组?，?1,?2,?,?m线性相关，则?能由?1,?2,?,?m线性表示，且表示式是唯一的。

（3）若?1,?2,?,?t可由?1,?2,?,?s线性表示且t?s，则?1,?2,?,?t线性相关。 简记为：多数向量能用少数向量表示，则线性相关。

（4）逆否命题：若?1,?2,?,?t可由?1,?2,?,?s线性表示，且?1,?2,?,?t线性无关，

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则必有t?s。

7．利用定理：

（1）任n?1个n维向量必线性相关；

（2）若向量组?1,?2,?,?s的一个部分组线性相关，则向量组?1,?2,?,?s亦线性相关；

反之，若?1,?2,?,?s线性无关，则它的任一部分组都线性无关。 此定理简记为：部分组线性相关，则整体组线性相关；整体组线性无关，则其任

一部分组也线性无关。

（3）设?1,?2,?,?s是m维向量，?1,?2,?,?s是n维向量，令

??s???1???2??????1??,??,?,??s???2???????，其中?1,?2,??s是m?n维向量。通常称

?1??2??s??1,?2,??s是向量组?1,?2,?,?s的延伸组；?1,?2,?,?s称为?1,?2,??s的缩短

组。

若缩短组线性无关，则延伸组也线性无关；若延伸组相关，则缩短组也线性相关。

（4）相同结论：对线性无关向量组中每个向量在相同位置上任意添加分量，所得向量

组仍线性无关；对线性相关向量组中每个向量去掉相同位置上的分量，则所得向量组仍线性相关。

8．用反证法； 9．用观察法； 10．向量组?1,?2,?,?m线性无关?对任意一组不全为0的数

k1,?,km，都有k1?1?k2?2???km?m?0。

【典型例题】

1．设向量组?1,?2,?3线性无关，则（ ）

（A）?1??2，?2??3，?3??1线性无关；

（B）?1??2，?2??3，?1?2?2??3线性无关； （C）?1?2?2，2?2?3?3，3?3??1，线性无关；

（D）?1??2??3，2?1?3?2??3，4?1??2?3?3线性无关。

2. 设向量组I：?1,?2,?,?r可由向量组Ⅱ：?1,?2,?,?s线性表示，则（ ）。 （A）当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关；

（B）当r?s时，向量组Ⅱ必线性相关； （C）当r?s时，向量组I必线性相关； （D）r?s时，向量组I必线性相关。

3. 对任意实数a, b, c，线性无关的向量组是（ ）。

（A）(a, 1, 2)，(2, b, 3)，(0, 0, 0)；

（B）(b, 1, 1)，(1, a, 3)，(2, 3, c)，(1, 0, c)； （C）(1, a, 1, 1)，(1, b, 1, 0)，(1, c, 0, 0)； （D）(1, 1, 1, a)，(2, 2, 2, b)，(0, 0, 0, c).

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4．设A是n阶矩阵，?1,?2,?3是n维列向量，且?1?0，A?1??1, A?2??1??2, A?3??2??3。证明：?1,?2,?3线性无关。

5. 设向量组?1?(1, 1, 2, 1), ?2?(1, 0, 0, 2),

?3?(?1, -4, ?8, k)线性相关，则参数k? 。

?12?2???TA?2126.设三阶矩阵??,三维向量??(a, 1, 1)。已知A?与? 线性相关，则

?304???a? 。

7. 设向量组?1, ?2, ?3线性无关，若向量组

k1?1??2, ?2??3, k2?3??1也线性无关，则参数k1,k2满足的条件是 。 8． 设在向量组?1,?2,?,?m中，且每一个?i(i?1, 2, ?, m)都不能由?1,?2,?,?i?1??0，线性表示。证明：此向量组线性无关。

9． 设向量组?1,?2,?3线性相关，向量组?2,?3,?4线性无关。问：

（1）?1能否由?2,?3线性表出？证明你的结论； （2）?4能不由?1,?2,?3线性表出？证明你的结论。

10． 若向量组?, ?, ?线性无关，?, ?, ?线性相关，则（ ）。

（A）?必可由 ?, ?, ?线性表示。 （B）?必不可由?, ?, ?线性表示。 （C）?必可由?, ?, ?线性表示。

（D）?必不可由?, ?, ?线性表示。

11. 设向量?可由向量组?1,?2,?,?r线性表示，但不能由?1,?2,?,?r?1线性表示。

证明：（1）?r不能由?1,?2,?,?r?1线性表示。 （2）?1能由?1,?2,?,?r?1,?线性表示。

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?1,?2,?,?m?1线12. 设向量?可由向量组?1,?2,?,?m线性表示，但不能由向量组（I）：

性表示，记向量组（Ⅱ）：?1,?2,?,?m?1，则（ ）

（A）?m不能由（I）线性表示，也不能由（Ⅱ）线性表示。 （B）?m不能由（I）线性表示，但可由（Ⅱ）线性表示。 （C）?m可由（I）线性表示，也可由（Ⅱ）线性表示。 （D）?m可由（I）线性表示，但不可由（Ⅱ）线性表示。

★ 1．判别“?是否可以由?1,?2,?,?s线性表示？表示法是否唯一？”，这就是问：

向量方程x1?1?x2?2???xs?s??，是否有解？解是否唯一？

这个向量方程用分量写出来就是以(?1,?2,?,?s?)为增广矩阵的线性方程组。具体解法是：作初等变换，由计算系数矩阵(?1,?2,?,?s)的秩与增广矩阵当秩(?1,?2,?,?s)=秩(?1,?2,?,?s?)时，(?1,?2,?,?s?)的秩是否相等来判定。

即秩相等时，?可由?1,?2,?,?s线性表示。

2． n维向量?可由?1,?2,?,?s线性表示

?秩(?1,?2,?,?s)=秩(?1,?2,?,?s,?)；

n维向量?不可由?1,?2,?,?s线性表示

?秩(?1,?2,?,?s,?)=秩(?1,?2,?,?s)?1。 3．n维列向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价的充要条件为

A 秩（A）=秩（B）=秩（ ，

其中 A?(?1,?2,?,?s),B???1,?2,?,?t?

4．设A?(?1,?2,?,?n)为m?n矩阵，则n元齐次线性方程组Ax?0有 有非零解 秩A?n A的列向量组?1,??n线性相关 Ax?0 5．设A??1, ?, ?为元非齐次A?(A??),，则mn为m?n??n线性无关A的列向量组 只有零解 矩阵，?秩A?维非零列向量，令n 1n线性方程组Ax??有：

无解 秩A?秩A ?不能由A的列向量组线性表出 Ax?? 有唯一解 秩A?秩A?n ?可由A的列向量组唯一表出 ?可由A的列向量组线性表出，但表示法不唯一 有无穷多解 秩A=秩A?n 19 万学教育·海文考研 2011春季数学基础班—线性代数

13．确定常数a,使向量组?1?(1,1,a)T,?2?(1,a,1)T,?3?(a,1,1)T 可由向量组

但向量组?1,?2,?3不?1?(1,1,a)T,?2?(?2,a,4)T,?3?(?2,a,a)T线性表示，能由向量组?1,?2,?3线性表示.

14. 已知向量组?1?(1, 2, ?1, 3)T,?2?(2, 5, a, 8)T,

?3?(?1, 0, 3, 1)T及向量组?1?(1, a, a2, ?5, 7)T, ?2?(3, 3?a, 3, 11)T,?3?(0, 1, 6, 2)T.若?1可由

?1,?2,?3线性表示，判断这两个向量组是否等价？并说明理由。

15．已知两个向量组?1?(1, 2, 3),?2?(1, 0, 1)与

?1?(?1, 2, t)，?2?(4, 1, 5),问t取何值时，两个向量组等价？并写出等

价时的线性表示式。

★ 1. 最大线性无关组：

设有向量组A，如果在A中能选出r个向量a1,a2,?,ar，满足 （1）a1,a2,?,ar线性无关，

（2）向量组A中任意r+1个向量（如果A中有r+1个向量）都线性相关，则称

向量组a1,a2,?,ar是向量组A的一个最大线性无关组，简称最大无关组。

一般来说，向量组的最大线性无关组不是惟一的，但这些最大线性无关组是等价的，从而每个最大线性无关组中所含向量的个数都是r，即个数r是由原向量组惟一确定的。 2． 向量组的秩：

向量组的最大线性无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩。 只含零向量的向量组没有最大线性无关组，规定它的秩为0。 若向量组B能由向量组A线性表出，则向量组B的秩不大于向量组A的秩。因此，等价的向量组有相同的秩。

3． 向量组的秩与矩阵的秩的关系：

矩阵A的行向量组的秩=矩阵A的列向量组的秩=矩阵A的秩。因此，求向量组的

20

最大线性无关组和向量组的秩时，可把此向量组的向量作为列（行）向量构成矩阵，再由矩阵的初等行（列）变换化成行（列）阶梯形或行（列）最简形矩阵的方法解之。

16. 设向量组?1?[1,1,1,3]T,?2?[?1,?3,5,1]T,

?3?[3,2,?1,p?2]T?4?[?2,?6,10,p]T,问：

p为何值时,该向量组线性无关?并在此时将向量??[4,1,6,10]T 用?1,?2,?,?4线性表出；p为何值时，该向量组线性相关？并在此时求出它的秩和一个最大线性无关组。

?0??a??b??1??3???????????17. 已知向量组?1??1?，?2??2?，?3??1?与向量组?1??2?，?2??0?，

??1??0??1??1???3????????????9????3??6?具有相同的秩，且?3可由?1,?2,?3线性表示，

??7???求a,b的值。

18．设向量组?1,?2,?3,?4线性无关，已知?1?2?1??3??4，?2?2?1??2??3，

?3??2??4,?4??3??4,?5??2??3。 （1）试求秩（?1,?2,?3,?4,?5）

（2）试求向量组?1,?2,?3,?4,?5的一个极大无关组。

★ 1．秩A?r?A中至少存在一个r阶非零子式，且A中所有r?1阶子式全为0。 2．设A为m?n矩阵，则0?秩A?min?m,n?。 3．秩A=秩AT

4．设A、B均为m?n矩阵，则

秩A?秩B?秩(A?B)?秩A?秩B

5．秩???A0??0???秩A?秩B?秩??B0B???A?? 0??6．若A可逆，则秩（AB）=秩B；若B可逆，则秩（AB）=秩A。

7．设A为m?n矩阵，秩A?r，则存在m阶可逆阵P及n阶可逆阵Q，使

?ErpAQ???0?0??，称为A的等价标准形。 0??8．设A为m?n矩阵，B为n?p矩阵，若AB?0，则秩A?秩B?n。

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9．设A为m?n矩阵，B为n?p矩阵，则

秩A?秩B-n?秩(AB)?min?秩A,秩B?。

19. 若矩阵A?E和B?E的秩分别为p和q，则矩阵AB?E的秩不大于p?q，其中

E是单位阵。

?x1?2x2?2x3?0?20. 设线性方程组?2x1?x2??x3?0的系数矩阵为A，3阶矩阵B?0，且AB?0，试

?3x?2x?x?023?1求?的值。

?123???21. 已知Q??24t?，p为3阶非零矩阵，且满足是PQ?0，则（ ）

?369???（A）t?6时，P的秩必为1； （B）t?6时，P的秩必为2； （C）t?6时，P的秩必为1； （D）t?6时，P的秩必为2。

?12?2???3?，B为3阶非零矩阵，且AB?0，则t? ___________。 22.设A??4t?3?11???

秩C?P。23. 设A、B、C分别是m?n，且秩A?n，证明：当ABC?0n?p和p?s矩阵，

时，必有B?0。

24. 设A、B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A和B的秩（ ）。 （A）必有一个等于零 （B）都小于n。 （C）一个小于n，一个等于n （D）都等于n.

?n . 25. 设A、B是n阶矩阵，且ABA?B?1。证明： 秩(E?AB)?秩(E-A)B

22

26. 已知n阶方阵A的秩为n?1(n?2)，则秩??

?abb???27. 设三阶矩阵A??bab?，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有（ ）。

?bba????0??AA???_____。 0??（A）a?b或a?2b?0； （B）a?b或a?2b?0；

（C）a?b且a?2b?0； （D）a?b且a?2b?0.

28. 设A是n阶实矩阵，证明：

（1）齐次线性方程组ATAx?0与Ax?0同解； （2）秩ATA?秩AAT?秩A.

29. 设A为n阶实矩阵，AT是A的转置矩阵，则对于线性方程组（I）：

：ATAx?0，必有（ ） Ax?0和（Ⅱ）

（A）（Ⅱ）的解是（I）的解，（I）的解也是（Ⅱ）的解； （B）（Ⅱ）的解是（I）的解，但（I）的解不是（Ⅱ）的解； （C）（I）的解不是（Ⅱ）的解，（Ⅱ）的解也不是（I）的解； （D）（I）的解是（Ⅱ）的解，但（Ⅱ）的解不是（I）的解。

★ 向量空间：

1．n维向量的全体所构成的集合Rn称为n维向量空间。 2．设V是n维向量的非空集合，若 （1）??,??V，必有????V。

（2）???V及任一实数k必有k??V，则称V是n维向量空间的子空间，简称向量

空间。

3．设V是向量空间，若V中r个向量?1,?2,?,?r满足： （1）?1,?2,?,?r线性无关

（2）???V，均有??x1?1?x2?2???xr?r，即?可由?1,?2,?,?r 线性表出，则

称?1,?2,?,?r是V的一个基，称r为V的维数，向量?的表示系数x1,x2,?,xr称为?在?1,?2,?,?r下的坐标。 4．设V是n元齐次线性方程组Ax?0的解向量的集合，根据齐次线性方程的性质，若

?,?是Ax?0的解向量，则???,k?是Ax?0的解向量，所以V是n维向量空间的子空间，常称为Ax?0的解空间，而基础解系就是解空间V的一个基，所以解空间的维数是

（n—秩A）。

5．设?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?r是r维向量空间V的两个基，且

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??1?C11?1?C12?2???Cr1?r???2?C12?1?C22?2???Cr2?r ???C??C????C?1r12r2rrr?r?C11?C?则(?1,?2,?,?r)?(?1,?2,?,?r)C其中?C21?C?r1C12C22Cr2?C1r???C2r?，称C为由基?Crr???1,?2,?,?r到基?1,?2,?,?r的过渡矩阵，且该矩阵C为可逆矩阵。

6．由向量组?1,?2,?,?m生成的向量空间为

V??x?x1?1?x2?2???xm?mx1?xm?R?，且V的维数等于?1,?2,?,?m的秩。

7．设r维向量空间V有两组基?1,?2,?,?r及?1,?2,?,?r，且

??x1?1?x2?2???xr?r?y1?1?y2?2???yr?r，则坐标变换公式为

?x1??y1?????x?2??y2??C??????，其中C为由基?1,?2,?,?r到基?1,?2,?,?r的过渡矩阵。 ?????x??y??r??r? 8．若n维向量?1,?2,?,?r非零且两两正交，则?1,?2,?,?r线性无关。

9．若e1,e2,?,en是规范正交基，设(?1,?2,?,?n)?(e1,e2,?,en)C，则?1,?2,?,?n是标准正交基?C为正交矩阵。

10．施密特正交化方法（线性无关向量组的正交规范化）

设?1,?2,?,?r是一组线性无关的向量，则可用下述方法把?1,?2,?,?r规范正交

化。

令?1??1, ?2??2??3??3??r??r?(?2,?1)?1,

(?1,?1)(?3,?1)(?,?)?1?31?2,

(?1,?1)(?2,?2)(?r,?1)(?,?)(?r,?r?1)?1?r2?2,???r?1

(?1,?1)(?2,?2)(?r?1,?r?1)则?1,?2,?,?r两两正交且与?1,?2,?,?r等价。 再把?1,?2,?,?r单位化：令?1?

30. 已知向量组?1?(1, 1, 1, 1)，?2?(2, 3, 4, 4)，?3?(3, 2, 1, k) 所生成的向量

空间的维数是2，k?_____。

31. 设R3中的向量?在基?1?(1, ?2, 1),?2?(0, 1, 1),

TT?1??,?2?2,?,?r?r. ?1?2?r 24

?3?(3, 2, 1)T下的坐标为(x1, x2, x3)T,而?在基?1,?2,?3 下的坐标为

(y1, y2, y3)T,且y1?x1? x2? x3,y2??x1?x2,

y3?x1? 2x3,则由基?1,?2,?3到基?1,?2,?3的过渡矩阵P?__________。

?1212???32. 设A??01aa?，且方程组Ax?0的解空间的维数为2，则a? _________。

?1a01???33．求齐次线性方程组?

?x1?x3?x4?0解空间的规范正交基。

x?x?04?2第四章 线性方程组

线性方程组的理论及其解法是线性代数的重要内容之一。线性方程组有三种等价形式：

线性方程组形式，矩阵方程形式，向量的线性组合方程形式，在讨论相关问题时可以相互

转换。本章的题型均围绕线性方程组的解的结构和性质进行命题，历年的真题灵活多变，题目众多，是复习中最好的资料。

【大纲内容】线性方程组的克莱姆（Cramer）法则；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件；非齐次线性方程组有解的充分必要条件；线性方程组解的性质和解的结构；齐次线性方程组的基础解系和通解；非齐次线性方程组的通解。

【大纲要求】理解齐次线性方程组有非零解和非齐次线性方程组有解的充分必要条件；理解齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间的概念；掌握非齐次线性方程组的解集的结构；掌握用初等行变换求齐次和非齐次线性方程组的通解的方法。 【考点分析】

1．根据克莱姆法则可知：

（1）若线性方程组Ax=b无解或有无穷多组解，则该方程组的系数行列式必为零，

即|A|=0；

（2）当b=0，即为齐次线性方程组Ax=0时，它有非零解的充分必要条件是A的行

列式|A|=0。

2．齐次线性方程组Ax=0（其中A是m?n矩阵）解的性质：

（1）若?1,?2是齐次线性方程组的解，则?1??2也是该齐次方程组的解； （2）若?是齐次线性方程组的解，k为任意实数，则k?也是该齐次方程组的解。 （3）齐次线性方程组Ax=0必有解，至少x=0是它的解，称为零解。其仅有零解的

充分必要条件是r(A)?n。Ax=0有非零解的充

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分必要条件是r(A)?n.特别地，若m?n，则Ax=0必有非零解。 3. 向量组?1,?2,??t称为Ax?0的基础解系，如果： （1）?1,?2,??t是Ax?0的解 （2）?1,?2,??t线性无关

（3）Ax?0的任一解都可由?1,?2,??t线性表出。 Ax?0的基础解系中向量个数为n-秩A。

4．判定向量组?1,?2,??t是Ax?0的基础解系的条件为： （1）?1,?2,??t是Ax?0的解

（2）?1,?2,??t线性无关 （3）t?n?秩A

5．非齐次线性方程组Ax?b有解?秩A?秩A 【典型例题】

?a11??x1??1???????1. 设方程组?1a1??x2???1?有无穷多解，则a?__________。

?11a??x???2????3???

2. 已知4阶方阵A?(?1,?2,?3,?4)，?1,?2,?3,?4均为4维列向量，其中?2,?3,?4线性无关，?1?2?2??3。如果???1??2??3??4，求线性方程组Ax??的通解。

3. 证明：对任意n阶实矩阵A，ATAx?ATb一定有解，其中x?(x1,x2,?,xn)T，

b?(b1,b2,?bn)T。

4. 设A是m?n矩阵，Ax?b为一非齐次线性方程组，则必有（ ）。 （A）如果m?n，则Ax?b有非零解 （B）如果秩A?m，则Ax?0有非零解

（C）如果A有n阶子式不为0，则Ax?b有唯一解 （D）如果A有n阶子式不为0，则Ax?0只有零解。

?A??5. 设A是n阶矩阵，?是n维列向量，若秩?。 ??T0???秩A，则线性方程组（ ）

??（A）Ax??必有无穷多解

（B）Ax??必有唯一解

?A???x?（C）???T0????y???0仅有零解

???? 26

（D）???A??T???x????y???0必有非零解 0????

6．设向量组?1,?2,?,?t是齐次线性方程组Ax?0的一个基础解系，向量?不是方程组Ax?0的解，即A??0。试证明：向量组?,???1,???2,?,???t线性无关。

7．设四元非齐次线性方程组Ax?b的系数矩阵A的秩为3，且它的三个解?1,?2,?3满足

?1??2?(2, 0, ?2, 4)T，?1??3?(3, 1, 0, 5)T，则Ax?b的通解为__________。

8．已知?1?(?9, 1, 2, 11)T，?2?(1, ?5, 13, 0)T，

?a1x1?a2x2?a3x3?a4x4?d1??3?(?7, ?9, 24, 11)T是方程组?3x1?b2x2?2x3?b4x4?d2的三个解，求此方程

?9x?4x?x?cx?d23443?1组的通解。

?x1?x2?x3?0?9．已知线性方程组 ?ax1?bx2?cx3?0

222?ax?bx?cx?0123?（1）a,b,c满足何种关系时，方程组仅有零解？

（2）a,b,c满足何种关系时，方程组有无穷多组解，并用基础解系表示全部解。

?,r,r?;n是n维实向量，且?1,?2,?,?r线性无10．设?i?(ai1,ai2,?,ain)T (i?1,2关，已知??(b1,b2,?,bn)T是线性方程组

?a11x1?a12x2???a1nxn?0??a21x1?a22x2???a2nxn?0 ?ax?ax???ax?0r22rnn?r11的非零解向量，试判断向量组?1,?2,?,?r,?的线性相关性。

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?x1?x2?x4?0?11．已知齐次线性方程组（I）?ax1?a2x3?0的解都满足方程x1?x2?x3?0，求a和方

?ax?a2x?04?2程组（I）的通解。

12．已知?1?(0, 0, 1, 0)T，?2?(?1, 1, 0, 1)T是齐次线性方程组（I）的基础解系，

?1?(0, 1, 1, 0)T，?2?(?1, 2, 2, 1)T是齐次线性方程组（Ⅱ）的基础解系，求齐次线性方程组（I），（Ⅱ）的公共解。

?(a1?b)x1?a2x2?a3x3???anxn?ax?(a?b)x?ax???ax?2233nn13． 已知齐次线性方程组?11?a1x1?a2x2?(a3?b)x3???anxn??a1x1?a2x2?a3x3???(an?b)xna1,a2,?,an和b满足何种关系时

?0n?0，其中?ai?0，试讨论?0i?1?0（1）方程组仅有零解

（2）方程组有非零解。在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

?x1?2x2?2x3?0?14．设齐次线性方程组?2x1?x2??x3?0的系数矩阵为A，且3阶非零矩阵B满足AB?0，

?3x?x?x?023?1试求?及B的值。

?123???15．已知3阶矩阵A的第一行是(a,b,c),a,b,c不全为零，矩阵B?246（k为常????36k??数），且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解.

?a1x?b1y?c1?0??2?(b1,b2,b3)T，?3?(c1,c2,c3)T。16．设?1?(a1,a2,a3)T，则3条直线?a2x?b2y?c2?0?ax?by?c?033?3（其中ai2?bi2?0，i?1, 2, 3）交于一点的充要条件是（ ）

28

（A）a1,a2,a3线性相关； （B）a1,a2,a3线性无关； （C）秩?a1,a2,a3??秩?a1,a2?；

（D）a1,a2,a3线性相关，a1,a2线性无关。

第五章 特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量问题是线性代数的主要研究对象之一，它不仅在理论上有重要意义，而且在工程技术的实际应用中也起着重要的作用。本章主要包括特征值与特征向量的计算及证明与相似矩阵及矩阵对角化。本章是数学一、二、三均包括的重点内容，应予以高度重视。

【大纲内容】矩阵的特征值和特征向量的概念、性质及求法；相似变换、相似矩阵的概念及性质；矩阵可对角化的充分必要条件及相似对角矩阵；实对称矩阵的特征值和特征向量及相似对角矩阵。

【大纲要求】理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质，会求矩阵的特征值和特征向量；了解相似变换、相似矩阵的概念及性质，掌握矩阵可相似对角化的充分必要条件及其方法；了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质，掌握用正交相似变换化实对称矩阵为对角矩阵的方法。

【考点分析】1．设A为n阶方阵，若存在数?与非零的n维列向量?，使A????，则称?是方阵A的特征值，?称为A的对应于特征值?的特征向量。 2．A??E及?E?A均称为方阵A的特征多项式，而方程?E?A?0及A??E?0均称为A的特征方程。

3．性质定理：设?1,?2,?,?n是n阶方阵A的特征值，则

（1）?1??2????n?a11?a22???ann

（2）?1,?2,?,?n?A

（3）若?1??2，则?1与?2对应的特征向量?1与?2线性无关。

（4）设?i是矩阵A的k重特征值，则矩阵A属于?i的线性无关的特征向量的

个数不超过k个。

4．设?是A的特征值，f(x)是x的多项式，则f(?)是f(A)的特征值。

5．设A和B为n阶方阵，若存在可逆矩阵P，使B?P?1AP，则称A与B相似。 6．相似矩阵性质：若n阶方阵A与B相似，则有：

①A?B；②秩A=秩B；③A?1与B?1相似； ④A与B有相同的特征值；⑤A与B相似。

7．n阶方阵A与对角矩阵相似?A有n个线性无关的特征向量

?A的每个特征值中线性无关的特征向量的个数，恰好等于该特征值的重根数。

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?对于特征方程?E?A?0的每个ki重根?i，秩??iE?A??n?ki。

8．若n阶方阵A有n个不同的特征值，则A与对角矩阵相似。 9．设A为n阶实对称矩阵，则有： （1）实对称矩阵必可对角化

（2）A的特征值全是实数，特征向量都是实向量。 （3）属于不同特征值的特征向量必正交（也线性无关）。

（4）k重特征值必有k个线性无关的特征向量，即秩??E?A??n?k。

??1??T?1（5）存在正交矩阵P，使PAP?PAP??????2????。 ???n??

【典型例题】

1．已知n阶矩阵A的特征值?1,?2,?,?n，且A可逆。

（1）证明：A?1的特征值为

1?1?2,1,?,1?n。

（2）求A??2E的特征值。

2．设A，B均是n阶矩阵，且秩A+秩B?n。

证明：A，B有公共的特征向量。

?1??a?12?????3．已知???1?是矩阵A??5b3?的特征向量，求a,b的值，并证明A的任一特

??1???10?2?????征向量均能由?线性表出。

4．下列条件中，不是“?1是A的特征值”的充分条件的是（ ）

（A）A2?E

（B）秩(A?E)?n

（C）A中每行元素之和为?1。 （D）AT??A，且1是A的特征值。

?322??010?????5． 设矩阵A??232?，P??101?，B?P?1A?P，求B?2E的特征值与特征向量，

?223??001?????其中A?为A的伴随矩阵，E为3阶单位矩阵。

30

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