2021届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试数学(文)试题Word版含解析

2021届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试

数学（文）试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知i 是虚数单位，则复数=-i 23i A. i B. i 3 C. i - D.i 3-

2、设集合{}421，，=A ，{}

032=+-=mx x x B 。若{}1=B A ，则B = A.{}1,3- B. {}1,3 C.{}1,0 D.{}1,5

3、《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是

A ．10日

B ． 20日

C ．30日

D ．40日

4、设非零向量b a ,，下列四个条件中，使b

b a a =成立的充分条件是 A.b a // B. b a 2= C. b a // 且b a = D. =a -b

5、抛物线()042<=a ax y 的焦点坐标是

A.()0,a

B.()0,a -

C.()a ,0

D.()a -,0

6、如图四棱锥ABCD P -中，⊥PA 平面ABCD ，底面ABCD 是平行四边形，

2,90==∠AB ACB ，1==BC PA ,F 是BC 的中点。则此几何体的左视图

的面积是

A.

41 B.1 C. 23 D. 21 7、已知向量),(y x a = ，若实数x ，y 满足5003x y x y x -+≥??+≥??≤?

，则a 的最大

值是

A.43

B.32

C.522

D.73

8、现输入如下四个函数，执行如下程序框图，则可输出的函数是

A.()x x f 1=

B.()()x x e e x x f --=

C.x x +-11ln

D.()2

sin x x x x f += 9 、某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x ，第二次向上的点数记为y ，在直角坐标系xoy 中，以()y x ,为坐标轴的点落在直线12=-y x 上的概率为 A.121 B.91 C.365 D.6

1 10、学校艺术节对同一类的,,,a b c d 四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：

甲说：“是c 或d 作品获得一等奖”； 乙说：“b 作品获得一等奖”；

丙说：“,a d 两项作品未获得一等奖”； 丁说：“是c 作品获得一等奖”． 若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是

A. d

B.c

C.b

D.a

11、函数()82221--??? ??-=x x x f 的单调递增区间是

A. (4, +∞)

B.(1, +∞)

C. (-∞,-1)

D.(-∞,-2)

12、一直线过双曲线()01422

22>=-a a

y a x 的焦点且垂直于x 轴，与双曲线相交于N M ,两点，以线段MN 为一边、双曲线的虚半轴为另一边作一个四边形，则这个四边形一定是

A.等腰梯形

B.一般梯形

C.菱形

D.平行四边形但非菱形

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、已知函数()n f y =，满足(),10=f 且()()+∈-=N n n nf n f ,1.求()=5f

14、在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，且C A 3=,12=a

()2cos cos 0,a c B b C --=则ABC ?的面积是

15、三棱锥P ABC -中，6===AC BC AB ，1=PC ,ABC PC 平面⊥,则这个三棱锥的外接球表面积为

16、设定义在R 上的偶函数()y f x =满足：对任意x R ∈，都有()(2)f x f x =-，(]0,1x ∈时()x x f x e =，若20152016,35a f b f ????== ? ?????，20177c f ??= ???

，则a b c 、、三者的大小关系是 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17、（本小题12分）已知等差数列{}n a 满足5,221==a a ，

(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；

(Ⅱ)设数列11n n

a a +??????

的前n 项和为S n ，求证：61101<≤n S . 18、（本小题12分）设向量()()R x x x b x x a ∈==,cos ,cos ,cos ,sin ，函数()()

b a a x f -?= (Ⅰ)求函数()f x 的单调增区间；

(Ⅱ)当,44x ππ??∈-????

时，求函数()f x 的值域； 19. （本小题12分）如图所示，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ,,90 =∠BCA AC AP =，点E D 、分别在PC PB 、上，且⊥DE 平面PAC .

（Ⅰ）求证：//BC 平面ADE ;

（Ⅱ）若AD PC ⊥，且三棱锥ABC P -的体积为8，求多面体ABCED 的体积。

20、（本小题12分）已知函数()()R a ax x x x f ∈+-=2ln 2

（1）当2=a 时，求()x f 的图象在1=x 处的切线方程。

（2）若函数()()m ax x f x g +-=在??

????e e ,1上有两个零点，求实数m 的取值范围 21、(本小题12分)已知函数()()()d cx e x g b ax x x f x +=++=,2，若曲线()x f y =和曲线

()x g y =都过点()2,0P ，且在点P 处有相同的切线24+=x y

（1）求d c b a 、、、的值；

（2）若2-≥x 时，恒有()()x kg x f ≤，求k 的取值范围

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 1sin 2x t y t αα=-+???=+??（t 为参数），以坐标原点O 为极点，

以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22244sin cos ρθθ

=

+． （1）写出曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点P 的直角坐标为1(1,)2

-，直线l 与曲线C 相交于不同的两点,A B ，求PB PA ?的取值范围．

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()|||3|f x x a x a =-+-．

（1）若()f x 的最小值为2，求a 的值；

（2）若对x R ?∈，[1,1]a ?∈-，使得不等式2||()0m m f x --<成立，求实数m 的取值范围.

2021届辽宁省六校协作体高三上学期期中考试

数学（文）试题参考答案

一、选择题：A B C B A D D C A C B D

二、填空题：13、120 14、 15、12π 16、c a b <<

三、解答题：

17．【解析】(Ⅰ)．有题可知数列{}n a 是以3为公差的等差数列．

∴()13312-=?-+=n n a n a n ＝2＋(n －1)×3＝3n －1 .........5分 (Ⅱ)因为()()??

? ??+--=+-=+231131312313111n n n n a a n n ..........7分 所以3

1231-21312311318151512131+-=+n n a a n n ， 则()()10

1231311211=+-==≥a a S S n ...............11分 综上可知：6

1101<≤n S ................12分 18、解：（1）(sin cos ,0)a b x x -=- ()(sin ,cos )(sin cos ,0)a a b x x x x -=- ……2分 2sin sin cos x x x =- 1cos 21sin 222

x x -=- .......…4分

1)24

x π=+ ........…6分 ??

????++ππππk k 85,8 .....…7分 （2）当,44x ππ??∈-????时，32444x πππ-≤+≤ ......…8分

1)42

x π≤+≤ ………10分

1)124x π≤-+≤()1f x ≤≤ .........12分 19、解析：（Ⅰ）证明：因为⊥PA 底面ABC ，ABC BC 平面?， 所以BC PA ⊥...........2分

因为 90=∠BCA ，所以BC AC ⊥ ...........3分

又因为A AC PA = ，⊥BC 平面PAC ............4分

因为⊥DE 平面PAC ，所以DE BC // 又因为?DE 平面 ADE ，

?BC 平面ADE 所以//BC 平面ADE ..........6分

（Ⅱ）由题意知，⊥DE 平面PAC ，PAC PC 平面?，PC DE ⊥，又AD PC ⊥，⊥∴=PC D DE AD , 平面ADE ，所以PC AE ⊥，......9分 又因为的中点是PC E AC AP ∴=,.

由（1）知DE BC //，的中位线，是PAB DE ? 所以

14==??--PED PBC ADE P PBC P S S V V 三棱锥三棱锥，284141=?==--ABC P ADE P V V 三棱锥三棱锥 所以628=-=-=--ADE P ABC P ABCED V V V 三棱锥三棱锥多面体.................12分

20、答案：（1）当2=a 时,()()222,2ln 22+-='+-=x x

x f x x x x f 所以切点坐标为()11，

，切线的斜率()21/==f k 所以所求切线方程为()121-=-x y 即12-=x y ...............5分

（2）因为()()m x x m ax x f x g +-=+-=2ln 2，

所以()()()x x x x x x g 11222-+-=-=' 因为??

????∈e e x ,1，所以由()0≥'x g ，得11≤≤x e 所以()x g 在??????e e ,1上的单调递增区间为??

????1,1e ，单调减区间为(]e ，1 所以()x g 在1=x 处取得极大值()11-=m g ...........7分

又(),2,12122e m e g e m e g -+=--=??? ??所以()014122<+-=??? ??-e e e g e g

所以()??? ??

????e e ,1上的最小值是()e g ..........9分 因为()x g 在??????e e ,1上有两个零点，所以()?????--=??

? ??-=212111e m e g m g 解得2121e m +≤< 所以实数m 的取值范围是??? ?

?+212,1e ..........12分 21.答案：（1）2,4====d c b a .........4分

(2) 解法1：（分类讨论）由（1）知()()()1x 2,242+=++=x e x g x x x f . 设()()()()24122---+=-=x x x ke x f x kxg x F x ，则()()()212+-='x ke x F x .由题设可得()00≥F ，所以1≥k .令()0='x F ，得2,ln 21-=-=x k x .........6分

①若21e k <≤，则02-1≤'单调递增。所以()x F 在[)∞+，2-上的最小值为()()0224221112111≥+-=---+=x x x x x x F 所以当2-≥x 时()0≥x F ， 即()()x kg x f ≤恒成立............8分

②若2e k =，则()()

()02122≥+-='+x e x F x 在[)∞+，

2-上恒成立，所以()x F 在[)∞+，2-上单调递增，所以()[]()02min =-=F x F 。所以当2-≥x 时，()()x kg x f ≤恒成立。...........10分 ③若2e k >则()()022-22-222<--=+=--e k e ke F 。从而当[)∞+∈，

2-x 时，()()x kg x f ≤不可能恒成立。

综上可得：k 的取值范围是[]21e ，.............12分

解法2：（参变量分离）由（1）知()()()1x 2,242+=++=x e x g x x x f 若1-=x ，则()()01,11≤--≤-即kg f 恒成立。 ...........6分 若,12--<≤x 则()()()()()

x g x f k x kg x f x g ≤?≤<,0 记()()()()

()1212242-<≤-+++==x x e x x x g x f x h x ，则()[]min x h k ≤ 求导得()()()01222

≥++-='x e x x x h x ，当且仅当2-=x 时，等号成立。 所以()x h 在[)1-2-，上单调递增()[]()2min 2x h e h =-=.所以2e k ≤。........8分

若,1->x 则()()()()()

()()1,0->=≥?≤>x x h x g x f k x kg x f x g ，所以()[]max x h k ≥有最大值.当01-<'单调递增；当0>x 时()()x h x h ,0<'单调递减.所以当0=x 时()x h 有最大值()10=h ，所以1≥k .......................10分

综上可得，k 的取值范围是[]

21e ， ...........................12 22解：（Ⅰ）14444cos sin 422

2

22222=+?=+?=+y x x y θρθρ； （Ⅱ）因为点P 在椭圆C 的内部，故l 与C 恒有两个交点，即R ∈α，将直线l 的参数方程与椭圆C 的直角

坐标方程联立，得4)sin 2

1(4)cos 1(22=+++-ααt t ，整理得 02)cos 2sin 4()sin 31(22=--++t t ααα，则]2,21[sin 312||||2∈+=?α

PB PA . 23.解：（Ⅰ）|||3||()(3)||2|x a x a x a x a a -+----=≥，当且仅当x 取介于a 和a 3之间的数时，等号成立，故)(x f 的最小值为||2a ，1±=∴a ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为||2a ，故]1,1[-∈?a ，使||2||2a m m <-成立，即2||2<-m m ，0)2|)(|1|(|<-+∴m m ，22<<-∴m .

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dime.html