控制工程第3章习题解答

3.5 使用温度计对水温进行测量，若水温为恒定值，该温度计能在1分钟时指示出实际温度值的98%。假定温度计为一个一阶系统，求该系统的时间常数T。 解：

恒定的水温可以视为一个阶跃输入信号，温度计的测量输出可以视为对该阶跃输入信号的响应。 一阶系统的单位阶跃响应的时间函数为：xo(t)?1?e?t/T(t?0)（P82，3.3.2） 根据题意可知：xo(t)

?1/T?1?e?0.98 t?1?e?1/T?0.02 ?T?1?0.256 (min) ln50

若测量开始后，实际水温从零度起，以10°C/min的速度线性升温，求温度计在1分钟时的示值与实际水温的误差是多大？

11TT2?2??（帮助公式：2?） Ts?1sTs?1ss1根据题意，实际的温度输入信号为：

xi(t)?10?t

其拉氏变换为：Xi(s)?102s测量误差的时间函数为：

e(t)?xi(t)?xo(t)?xi(t)?L?1[Xo(s)]?xi(t)?L?1[Xi(s)?G(s)]

101?xi(t)?L?1[?]2T?s?1s其中：

11TT2?11?11L[?]?10L[?]?10L[??]?10(t?T?T?e?t/T)

s2T?s?1s2Ts?1s2sTs?1?110所以：

e(t)?10t?10(t?T?T?e?t/T)?10T(1?e?t/T)?2.56(1?e?t/0.256)

当t=1时，测量误差为：

e(t)t?1?2.56(1?e?1/0.256)?2.5

3.7已知控制系统的微分方程为2.5y?(t)?y(t)?20x(t)，试用拉氏变换法求该系统的单位脉冲响应w(t)和单位阶跃响应xou(t)，并讨论二者之间的关系

解：由传递函数的定义和系统的微分方程（P34，2.2.2~2.2.3），可得系统的传递函数为

G(s)?系统的单位脉冲响应为（P81）

Y(s)208 ??X(s)2.5s?1s?0.4w(t)?L?1[G(s)X(s)]?L?1[系统的单位阶跃响应为（P82）：

8?1]?8e?0.4t

s?0.4xou(t)?L?1[G(s)X(s)]?L?1[?(t) 比较xou(t)和w(t)，有w(t)=xou818?111?]?L[?]?20(1?e?0.4t)

s?0.4s0.4ss?0.4即系统的单位脉冲响应等于系统的单位阶跃响应的微分。

3.12下图为某数控机床系统的位置随动系统的方框图，

Xi(s) 1 K?9a s(s?1)+

试求：

Xo(s)

- （1）阻尼比?及无阻尼固有频率?n

解：由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：

1G(s)G(s)9s(s?1) GB(s)????211?G(s)H(s)1?G(s)1?9?s?s?9s(s?1)9?对比二阶系统传递函数的标准形式(P83，3.4.1)

2?ns?222??n??n

可得该系统的阻尼比?及无阻尼固有频率?n为：

?n?3,??（2）该系统的Mp，tp，ts，N

1 6tp???????1(P90，3.4.15)

2?d?1??1n31?3611??/1?36e6Mp?e???/1??2?100%??100%?53%(P90，3.4.17)

若令??0.02，ts?4??n3?8(P91，3.4.22)， N?21??2???3.7(P91，3.4.25)

若令??0.05，ts?

??n?6(P91，3.4.23)，N?1.51??2???2.8(P91，3.4.26)

3.15 要使下图所示系统的单位阶跃响应的最大超调量等于25%，峰值时间tp为2秒，试确定K和Kf的值 Xi(s) K +

1?Kfs

解：由图可知，该系统的闭环传递函数为： 1s2- Xo(s)

1K?2G(s)Ks GB(s)???211?G(s)H(s)1?K?2?(1?Kfs)s?K?Kfs?Ks对比二阶系统传递函数的标准形式

2?n222??n??ns?

可得该系统的阻尼比?及无阻尼固有频率?n为：

?n?K,??由题意， 令：Mp?e???/1??2Kf2K

?25%，即

??1??2?ln4 解得：??0.4

令：tp???????2 解得：K?2.93

2?d?1??2K1??0.4?nK2?Kf2.932=??0.4 解得：Kf?0.467

再由：

Kf

3.16如图所示系统，试求 （1）Kh为多少时，??0.5；

（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；

（3）比较加入(1?Khs)与不加入(1?Khs)时系统的性能；

解：

Xi(s) + - 1?Khs 10 s(s?2)Xo(s)

（1）Kh为多少时，??0.5；

由图可知，该系统为一个单位反馈系统，其系统的闭环传递函数为：

1010Khs?10G(s)G(s)s(s?2) GB(s)????2101?G(s)H(s)1?G(s)s?(2?10Kh)s?101?(1?Khs)?s(s?2)(1?Khs)?其无阻尼自由频率为：?n?10 又因为2??n?2?10Kh，即Kh?210???2

10210?0.5?2?0.116

10由题意，要求??0.5，解得所需的Kh为：Kh?（2）单位阶跃响应的超调量和调整时间；

10Khs?10将该系统的闭环传递函数GB(s)?2

s?(2?10Kh)s?10对比二阶系统传递函数的标准形式：可知该系统不是一个标准的二阶系统

其Mp,ts无法利用P90页公式3.4.17以及P91页公式3.4.22~2.4.23直接求得 需要利用Mp,ts的定义求得。

令输入信号为单位阶跃信号，即xi(t)?u(t)，其拉氏变换为：Xi(s)?输出信号的拉氏变换为：

2?ns?222??n??n

1 s10Khs?10111.16s?10Xo(s)?Xs(s)?GB(s)??2??2ss?(2?10Kh)s?10ss?3.16s?10?1??1?1010?0.116s??2??????ss?3.16s?10??ss2?3.16s?10?

?????n1?2?11令：z(t)?L???L???， ?222ss?s?3.16s?10???s?2?1?n1s???n1????1?110可以求得：

3.16?0.5,?d1?101?0.52?2.74

2?10由P86页公式(3.4.8~3.4.9)，可得：

?n1?10?3.16,?1?z(t)?1?e??1?n1t(cos?d1t??21??1sin?d1t)?1?e?0.5?3.16t(cos2.74t?0.51?0.52sin2.74t)则，

?1?e?1.58t(cos2.74t?0.58sin2.74t)??1??1??1010???xo(t)?L?1[Xo(s)]?L?1?0.116s?????s2??s2???s?3.16s?10??s?3.16s?10???dz(t)?0.116?z(t)dt?0.1161.58e?1.58t(cos2.74t?0.58sin2.74t)?e?1.58t(0.58?2.74cos2.74t?2.74sin2.74t)

?1.58t???1?e(cos2.74t?0.58sin2.74t)???1?e?1.58t(cos2.74t?0.155sin2.74t)

由上式可知，xo(?)?limxo(t)?1

t??由峰值时间tp的定义，令：

?1.58tpdxo(t)?0

dtt?tpe(2.89sin2.74tp?1.15cos2.74tp)?0

即：sin(2.74tp?arctan解得：tp?1.01s

1.15)?0 ?2.74tp?0.3787?3.14 2.89将tp?1.01s代入xo(t)，求得响应的第一个峰值为：

xo(tp)?1?e?1.58?1.01(cos2.74?1.01?0.155sin2.74?1.01)?1.177

由超调量的定义，得

Mp?xo(tp)?xo(?)xo(?)?100%?1.177?1?100%?17.7% 1由调整时间的定义：

xo(t)?xo(?)???xo(?)(t?ts)

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