三年高考(2015 - 2017)高考数学试题分项版解析专题18双曲线理

专题18 双曲线

x2y21.【2017课标II，理9】若双曲线C:2?2?1（a?0，b?0）的一条渐近线被圆

ab?x?2?2?y2?4所截得的弦长为2，则C的离心率为（）

A．2 B．3 C．【答案】A 【解析】

2 D．23 3

即：

4?c2?a2?c2?3，整理可得：c2?4a2,

c2?4?2。故选A。 双曲线的离心率e?a2【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a，c，代入公式e?c； a2

2

2

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b＝c－a转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。

2

x2y252.【2017课标3，理5】已知双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为y?x,

ab2x2y2??1有公共焦点，则C的方程为 且与椭圆

123x2y2?1 A．?810x2y2?1 B．?45x2y2?1 C．?54x2y2?1 D．?43 1

【答案】B 【解析】

x2y2b试题分析：双曲线C：2?2?1 (a＞0,b＞0)的渐近线方程为y??x，

aab椭圆中：a2?12,b2?3,?c2?a2?b2?9,c?3，椭圆，即双曲线的焦点为??3,0?，

?b5??a2??222据此可得双曲线中的方程组：?c?a?b，解得：a2?4,b2?5，

?c?3???x?y2??1 . 则双曲线C的方程为

45故选B.

x2y23.【2017天津，理5】已知双曲线2?2?1(a?0,b?0)的左焦点为F，离心率为2.若

ab经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

x2y2x2y2x2y2x2y2??1（B）??1（C）??1（D）??1（A）

44884884

【答案】B

4x2y2??1?c?4,a?b?22???1，选B. 【解析】由题意得a?b,?c88【考点】双曲线的标准方程

【名师点睛】利用待定系数法求圆锥曲线方程是高考常见题型，求双曲线方程最基础的方法就是依据题目的条件列出关于a,b,c的方程，解方程组求出a,b，另外求双曲线方程要注意巧设

x2y2双曲线（1）双曲线过两点可设为mx?ny?1(mn?0)，（2）与2?2?1共渐近线的双曲

ab22 2

x2y2线可设为2?2??(??0)，（3）等轴双曲线可设为x2?y2??(??0)等，均为待定系数

ab法求标准方程.

x2y2?2?1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的4.【2016高考新课标1卷】已知方程2m?n3m?n距离为4,则n的取值范围是( )

（A）??1,3?（B）?1,3（C）?0,3?（D）0,3 【答案】A 【解析】

x2y2试题分析：2?2?1表示双曲线,则m2?n3m2?n?0

m?n3m?n????????∴?m2?n?3m2,由双曲线性质知：c2?m2?n?3m2?n?4m2,其中是半焦距 ∴焦距2c?2?2m?4,解得m?1,∴?1?n?3,故选A． 考点：双曲线的性质

????x2y25.【2016高考新课标2理数】已知F1,F2是双曲线E:2?2?1的左，右焦点，点M在E上，

ab1MF1与轴垂直，sin?MF2F1?,则E的离心率为（ ）

3（A）2（B）

3（C）3（D）2 2【答案】A 【解析】

1b2b2,MF2?2a?，因为sin?MF2F1?，试题分析：因为MF1垂直于x轴，所以MF1?3aaMF1?MF2b2ab1，化简得b?a，故双曲线离心率e?1??2.选A.

a3即

b22a?a?考点：双曲线的性质.离心率.

【名师点睛】区分双曲线中a，b，c的关系与椭圆中a，b，c的关系，在椭圆中a＝b＋c，而在双曲线中c＝a＋b.双曲线的离心率e∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e∈(0，1)．

2

2

2

2

2

2

3

6.【2015高考新课标2，理11】已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，?ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（） A．5 B． C．3 D．2 【答案】D

【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，正确表示点M的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．

y2?1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的7.【2015高考四川，理5】过双曲线x?32两条渐近线于A，B两点，则AB?（） (A)

43 (B)23 (C)6 （D）43 3【答案】D 【解析】

y2?0，将双曲线的右焦点为F(2,0)，过F与x轴垂直的直线为x?2，渐近线方程为x?32y2x?2代入x??0得：y2?12,y??23,?|AB|?43.选dreamsummit.

32

4

x2y2?=1（b>0）8.【2016高考天津理数】已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为4b2半径长

的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形的ABCD的面积为2b，则双曲线的

方程为（）

x23y2x24y2x2y2x2y2?=1（B）?=1（C）?2=1（D）?=1（A）44434b412

【答案】D 【解析】

4?x??x?y?4?b2?4??试题分析：根据对称性，不妨设A在第一象限，A(x,y)，∴?， ??b4b?y?x?y???2?b2?42?22x2y216bb2???b?12，故双曲线的方程为??1，故选D. ∴xy?2b?422412考点：双曲线渐近线

【名师点睛】求双曲线的标准方程关注点：

(1)确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．

(2)利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论． ①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax＋By＝1(AB＜0)． ②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为mx－ny＝λ(λ≠0)．

22

22

2

2

x2?y2?1上的一点，F1,F2是9.【2015高考新课标1，理5】已知M（x0,y0）是双曲线C：2??????????C上的两个焦点，若MF1?MF2?0，则y0的取值范围是( )

（A）（-33，） 33（B）（-33，） 66（C）（?【答案】A

22222323，）（D）（?，） 33332??????????x02?y0?1，所以MF1?MF2= 【解析】由题知F1(?3,0),F2(3,0)，2222(?3?x0,?y0)?(3?x0,?y0) =x0?y0?3?3y0?1?0，解得?33，故选A. ?y0?33 5

x2y210.【2015高考重庆，理10】设双曲线2?2?1（a>0,b>0）的右焦点为1，过F作AF的垂

ab线与双曲线交于B,C两点，过B,C分别作AC，AB的垂线交于点D.若D到直线BC的距离小于

a?a2?b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是 （ ）

A、(?1,0)?(0,1) B、(??,?1)?(1,??) C、(?2,0)?(0,2) D、(??,?2)?(2,??) 【答案】A

b2b2【解析】由题意A(a,0),B(c,),C(c,?)，由双曲线的对称性知D在轴上，设D(x,0)，由

aaBD?AC得

b2b2?0a?a??1c?xa?c，解得

b4c?x?2a(c?a)，所以

b4b2b4b22222c?x?2?a?a?b?a?c，所以2?c?a?b?2?1?0??1，因

aaaa(c?a)此渐近线的斜率取值范围是(?1,0)?(0,1)，选A. 【考点定位】双曲线的性质.

【名师点晴】求双曲线的渐近线的斜率取舍范围的基本思想是建立关于a,b,c的不等式，根据已知条件和双曲线中a,b,c的关系，要据题中提供的条件列出所求双曲线中关于a,b的不等关系，解不等式可得所求范围．解题中要注意椭圆与双曲线中a,b,c关系的不同．

11.【2015高考安徽，理4】下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y??2x的是（）

y2x2y2x2222?1（B）?y?1（C）?x?1（D）y??1 （A）x?44442【答案】C

6

12.【2015高考湖北，理8】将离心率为的双曲线C1的实半轴长和虚半轴长b(a?b)同时增加m(m?0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则（）

A．对任意的a,b，e1?e2 B．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2

C．对任意的a,b，e1?e2 D．当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2 【答案】D

(a?m)2?(b?m)2b?m2a2?b2b2?1?()，【解析】依题意，e1? ?1?()，e2?a?ma?maabb?mab?bm?ab?amm(b?a)??因为?，由于m?0，a?0，b?0，

aa?ma(a?m)a(a?m)b?mbb?mb2b?m2b?1，?)，所以e1?e2； ，()?(?1，0?a?maa?maa?mabb?mb2b?m2bb?m)，所以e1?e2. 当a?b时，?1，，所以()?(?1，而?aa?maa?maa?m所以当a?b时，0?所以当a?b时，e1?e2；当a?b时，e1?e2. 【考点定位】双曲线的性质，离心率.

【名师点睛】分类讨论思想是一种重要的数学思想方法．分类讨论的时应做到：分类不重不漏；标准要统一，层次要分明；能不分类的要尽量避免或尽量推迟，决不无原则地讨论．

x2y2??1 的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双13.【2015高考福建，理3】若双曲线E:916曲线E上，且PF1?3，则PF2 等于（ ）

A．11 B．9 C．5 D．3 【答案】B

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x2y214.【2017课标1，理】已知双曲线C：2?2?1（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，bab为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为________.

【答案】23 3【解析】试题分析：

如图所示，作AP?MN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线y?bx上的点，且A(a,0)，AM?AN?b a?而AP?MN，所以?PAN?30，

点A(a,0)到直线y?bx的距离AP?aPA NA|b|1?ba22 在Rt?PAN中，cosPAN?22代入计算得a?3b，即a?3b

222由c?a?b得c?2b

所以e?c2b23.??a33b

【考点】双曲线的简单性质.

8

x2y215.【2017山东，理14】在平面直角坐标系xOy中，双曲线2?2?1?a?0,b?0?的右支与焦

ab点为F的抛物线x2?2px?p?0?交于A,B两点，若AF?BF?4OF，则该双曲线的渐近线方程为. 【答案】y??2x 2ppp?yB??4??yA?yB?p， 222【解析】试题分析：|AF|?|BF|=yA??x2y22pb2?2?2?122222因为?a?ay?2pby?ab?0?，所以yA?yB?2?p?a?2b?ba?x2?2py?渐近线方程为y??2x. 2【考点】1.双曲线的几何性质.2.抛物线的定义及其几何性质.

【名师点睛】1.在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.

求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.

22因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为Ax?By?1的形式，当A?0，B?0，A?B时

为椭圆，当AB?0时为双曲线.

2.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．

y216.【2017北京，理9】若双曲线x??1的离心率为3，则实数m=_________.

m2【答案】2

9

x217.【2015高考北京，理10】已知双曲线2?y2?1?a?0?的一条渐近线为3x?y?0，则a?a

．

【答案】

3 31x2【解析】双曲线2?y2?1?a?0?的渐近线方程为y??x，

aa3x?y?0?y??3x， ?a?0,则?1a??3,a?3 3【考点定位】本题考点为双曲线的几何性质，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，利用已给渐近线方程求参数.

【名师点睛】本题考查双曲线的几何性质，重点考查双曲线的渐近线方程，本题属于基础题，正确利用双曲线的标准方程，求出渐近线方程，求渐近线方程的简单方法就是把标准方程中的“1”改“0”，利用已知渐近线方程，求出参数a的值.

x2y218.【2016高考山东理数】已知双曲线E：2?2?1（a＞0，b＞0），若矩形ABCD的四个顶

ab点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______. 【答案】2 【解析】

b2b22b2B(c,?)，试题分析：假设点A在第一象限，点B在第二象限，则A(c,)，所以|AB|?，aaa1|BC|?2c，由2AB?3BC，c2?a2?b2得离心率e?2或e??（舍去），所以E的离心

2率为2.

考点：双曲线的几何性质

【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的

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讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.

19.【2015江苏高考，12】在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2?y2?1右支上的一个动点。若点P

到直线x?y?1?0的距离大于c恒成立，则是实数c的最大值为. 【答案】2 2

【考点定位】双曲线渐近线，恒成立转化

【名师点晴】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结

x2y2合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：(1)与双曲线2?2?1共渐近线的可设为

abbx2y2x2y2?2??(??0)； (2)若渐近线方程为y??x，则可设为2?2??(??0)；(3) 双曲线2aababx2y2的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；(4)2?2?1(a?0.b?0)的一条渐近线的斜率为

abbc2?a2??e2?1.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大2aa小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.

x2y220.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy中，双曲线C1:2?2?1?a?0,b?0?的

ab渐近线与抛物线C2:x?2py?p?0?交于点O,A,B，若?OAB的垂心为C2的焦点，则C1的

2离心率为. 【答案】

3 2bbx ,则OB所在的直线方程为y??x, aa【解析】设OA所在的直线方程为y?2pb?bx????2pb2pb2??a?y?x解方程组?得：?，所以点A的坐标为?,2? , a2a??a?y?2pb?x2?2py??a2?抛物线的焦点F的坐标为:?0,??p?? .因为F是?ABC的垂心，所以kOB?kAF??1 , 2?11

?2pb2p???b?a2b252所以，?????1?2? .

2pba?a4???a??c2b293所以，e?2?1?2??e? .

aa422

x2y221.【2016高考江苏卷】在平面直角坐标系xOy中，双曲线??1的焦距是

73________________. 【答案】210 【解析】

试题分析：故答案应填：?a?7,b?3,?c?a?b?7?3?10,?c?10,?2c?210．22222210，焦距为2c

考点：双曲线性质

【名师点睛】本题重点考查双曲线基本性质，而双曲线性质是与双曲线标准方程息息相关，明

x2y2确双曲线标准方程中量所对应关系是解题关键：2?2?1(a?0,b?0)揭示焦点在x轴，实轴

abca2?b2b长为2a，虚轴长为2b，焦距为2c?2a?b，渐近线方程为y??x，离心率为? aaa22x2?y2?1的焦距是，渐近线方程是． 22.【2015高考浙江，理9】双曲线2【答案】23，y??2x. 2【解析】由题意得：a?渐近线方程为y??2，b?1，c?a2?b2?2?1?3，∴焦距为2c?23，

b2x??x. a2 12

x2y223.【2015湖南理13】设F是双曲线C：2?2?1的一个焦点，若C上存在点P，使线段

abPF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为.

【答案】5. 【解析】

试题分析：根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(?c,2b)在双曲线上，

c24b2c∴2?2?1?e??5. aba【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件中

的信息进行

222等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用c?a?b，焦点坐标，渐近

线方程等性质，

也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.

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