两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式

考点5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式

1. （15盐城市盐都区时杨中学届高三上学期1月调考） 若cos(??)?的值是______.

【考点】二倍角的余弦，三角函数的化简求值. 【答案】?π31n(is，则23?)?π67 9π31， 3【分析】∵cos(??)?∴sin(2??)?cos(π6ππ2ππ?2??)?cos(2??)?2cos2(??)?1 263317?2?()?1??.

3922. （15泰州一模）在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4）．

（1）求sin（α+

π）的值； 4????????（2）若P关于x轴的对称点为Q，求OP?OQ的值．

【考点】 平面向量数量积的运算；两角和的正弦函数． 【解】（1）∵角α的终边经过点P（3，4），∴sin??43，cos??…（4分） 55∴sin??π?ππ42327????sin?cos?cos?sin?????2．…（7分） 4?44525210?（2）∵P（3，4）关于x轴的对称点为Q，

（3，?4）∴Q．…（9分）

????????∴OP?(3,4),OQ?(3,?4)，

????????∴OP?OQ?3?3?4?(?4)??7． …（14分）

3．(2015高考冲刺压轴卷(江苏)试卷一)函数f(x)?sinxcosx的最小正周期为________.

【考点】二倍角公式及三角函数的周期. 【答案】π

【分析】f(x)?sinxcosx?12πsin2x?T??π. 222015届高三上学期10月调考数学试卷)函数

4．(江苏省淮安市淮阴区南陈集中学

y=4sin2xcos2x的最小正周期是________.

【考点】二倍角公式及三角函数的周期.

【答案】

π 22π2ππ??. w42【分析】y=4sin2xcos2x=2sin4x，∴T?

5．（徐州市2014届高考信息卷）已知正三棱柱ABC?A1B1C1的底面边长与侧棱长相等．蚂

蚁甲从A点沿表面经过棱BB1，CC1爬到点A1，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱CC1爬到点

A1．如图，设?PAB??，?QBC??，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则

???? ．

【考点】正三棱柱的侧面展开图；两角和的正切公式.

第5题图 Zl062

? 4【分析】通过其侧面展开图可知

【答案】

第5题图

Zl063 tan??tan?11π?1，故????. tan??，tan??，所以tan(???)?1?tan?tan?324

6．（2015苏州市高三上调考）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，C均在单位圆

上，已知点A在第一象限且横坐标是

3，点B在第二象限，点C（1，0）． 5（1）设∠COA=?，求sin2?的值；

（2）若△AOB为正三角形，求点B的坐标．

JSY37 第6题图

【考点】二倍角的正弦；任意角的三角函数的定义．

【解】（1）由题意，cos??∴sin2??2sin?cos??34，sin??， 5524. 25（2）∵△AOB为正三角形， ∴cos（??60?）?3?434?33，sin（??60?， ）?1010∴B（

3?434?33，）． 1010π64π，则sin(2?＋)5127．（2015江苏省南京市高三考前综合）设α是锐角，且cos(?＋)＝的值为 ．

【考点】考查同角三角函数，倍角三角函数，和角三角函数； 【答案】

172 50ππ2ππ4＜?＋＜(＋＝)，所以，因为cos?66365【分析】因为α是锐角，所以

sin?(＋π3＝)． 65πππ24sin2(?＋)＝2sin(?＋)cos(?＋)＝，

66625ππ7cos2(?＋)＝1－2sin2(?＋)＝．

6625πππππππsin(2?＋)＝sin[2(?＋)－]＝sin2(?＋)cos－cos2(?＋)sin

12646464?24272172????． 252252508．（2015江苏省南京市高三考前综合）三角形ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，

b，c，面积为S．

→→（1）若AB·AC≤23S，求A的取值范围； （2）若tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，且c＝1，求b．

【考点】考查数量积?三角形面积公式?两角和正切公式及简单的三角不等式.

????????1【解】（1）由题意知，AB?AC＝bccosA，S＝bcsinA，

2所以bccosA≤3bcsinA，即cosA≤3sinA，

（或也可根据cosA的正负，转化为关于tanA的不等式）．

π)≥0． 6ππ5ππ5ππ因为A为三角形内角，则A－∈(－，)，所以0≤A－＜，从而A∈[，

666666即3sinA－cosA≥0，2sin(A－π)．

（2）设tanA＝m，tanB＝2m，tanC＝3m，由题意知，m＞0． 因为tanC＝－tan(A＋B)＝－

tanA?tanB3m，则3m＝－，

1?tanA?tanB1?2m2解得m＝1，则tanB＝2，tanC＝3，从而sinB＝25310，sinC＝， 510所以

ACsinB2222，则AC＝． ??ABsinC339．（15

tan??1．则cos?的值江苏模拟（三））设?，????，??，且sin(???)?5,2213为 ． 【答案】?16

65【分析】cos??cos(?????)?cos(???)cos??sin(???)sin?,由

sin??2可得sin??4，由tan??1知??（0，π）所以cos??3，由

22?5251?tan222tan?π???)sin(???)?5, 所以sin?＞sin( 所以故????(,π)，得cos(???)??12,13132cos?=?16. 6510．（15南通市直调考）已知在△ABC中，sin（A+B）=2sin（A－B）．

（1）若B=

π，求A； 6（2）若tanA=2，求tanB的值． 【考点】两角和与差的正弦函数．

【解】（1）由条件sin（A+B）=2sin（A－B），B=得 sin（A+

π， 6ππ）=2sin（A－）． 66∴

3131sinA?cosA?2(sinA?cosA)． 2222化简，得 sinA=3cosA． ∴tanA=3．又A∈（0，π），∴A=

π． 3（2）∵sin（A+B）=2sin（A－B）．

∴sinAcosB+cosAsinB=2（sinAcosB－cosAsinB）． 化简，得 3cosAsinB=sinAcosB． 又 cosAcosB≠0，

∴tanA=3tanB．又tanA=2，∴tanB=

2． 3π3）=－，则cos2α= ． 4411. （15连云港赣榆海头9月调研）已知α为锐角，tan（α－

【考点】两角和与差的正切函数；二倍角的余弦．

【答案】【分析】

24 25∵tan（α－

πtan??13）==－， 41?tan?4解得：tanα=

1； 72221cos??sin?1?tan?49=24． ∴cos2α===

cos2??sin2?1?tan2?1?125491?12. （15连云港赣榆海头9月调研）如图，以Ox为始边分别作角α与?（0＜α＜?＜π），

它们的终边分别与单位圆相交于点P、Q，已知点P的坐标为（（1）求sin2α的值； （2）若???=

34，）． 55π，求cos（α+?）的值． 2

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