上海中考压轴题分类讨论题解题分析

上海中考压轴题分类讨论题解题分析

一、等腰三角形分类讨论

等腰三角形分类讨论的解题思路粗分有两种：（1）用含有字母的代数式分别表示等腰三角形的三条边，后用三条线段依次相等建立方程后求解；（2）分别作出三种等腰三角形条件下的图形，利用等腰三角形的有关性质和题目中的条件进行合理的转化后建立方程求解。

例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=∠EDA=∠B，AE∥BC

(1) 找出图中的相似三角形，并加以证明 (2) 设CD=x，AE=y，求y关于x的函数解析式， 并写出函数的定义域

(3) 当△ADE为等腰三角形时，求AE的长

，AC=4，D是BC的延长线上的一个动点，

思路分析：(2)用含有x或y的代数式来表示等腰三角形的三条边长AD，DE，AE三条线段依次相等建立方程后求解，显然AE和DE边都不方便用含有x或y的代数式表示

（3）分别作出三种等腰三角形条件下图形，利用第（1）题中证明的△ABD∽△EDA将等腰的条件转化到△ABD中进行求解，最后代入定义域检验

点评：将等腰三角形的条件进行适当转化，计算过程大大简化，既节约时间又提高正确率

例2 如图，已知直线的解析式，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，直线经过B，C两

点，点C的坐标为（8，0），又知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线上从点C向点B

移动，点P，Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t(s)(0

(1) 求直线的解析式

(2) 当t为何值时，△PCQ是等腰三角形

思路分析：在直角坐标系中对等腰三角形进行讨论，依然遵循两大基本思路，此题中PC，QC两条边长都方

便用含有t的代数式表示，而PQ不易表示，将等腰三角形分为PQ=QC和PC=PQ两种情况，通过添加底边

上的高转化为直角三角形，再用锐角三角比和相似三角形的方法进行求解则交易球的结果。 点评：在直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论，依然要通过策略进行化解，将等腰三角形问题通过添加底边上的高转化为直角三角形，再寻找熟悉的“基本型”列出比例式后求解

例3 如图，已知二次函数且OB=OC=3，顶点为M （1）求二次函数的解析式

的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，

（2）探索：线段BM上是否存在点N，使△NMC为等腰三角形；如果存在，求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由

思路分析：根据直线MB的解析式为，设N点的坐标为（x，-2x+6），因为C（0，3）和M（1，4）

为已知点，所以△NMC的三条边长NM，MC，NC均可表示出来，根据三边依次相等建立方程后求解，最后代入定义域检验

点评：直角坐标系中进行等腰三角形的分类讨论，如果三角形三个顶点的坐标易求得，则三条边长也能表示出来，三边依次相等建立方程后求解

例4 如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AD⊥DB，AD=DC=CB，AB=4.以AB所在直线为x轴，过D且垂直于AB的直线为y轴建立平面直角坐标系 （1）求∠DAB的度数及A，D，C三点的坐标

（2） 求过A，D，C三点的抛物线的解析式及其对称轴L

（3） 若P是抛物线的对称轴L上的点，当△PDB为等腰三角形时，求点P的坐标

思路分析：本题可采用几何法求解，当BD为等腰三角形的腰时，分别以B，D为圆心BD的长为半径画弧与对称轴的交点就是所求的P点，再用勾股定理求出对应的线段长度就可求出点P的坐标了，当BD为等腰三角形的底边时P点在BD的中垂线和对称轴的交点上

本题也可采用代数法，设P点坐标为（1，y），利用两点之间的距离公式列出关于y的方程，不过需要注意，在解方程时必须采用开平方法，否则很难求出正确结果 二、 直角三角形的分类讨论

此类题目常出现在图形运动类题目中，做此类题目时，首先考虑三角形的哪个角有可能成为直角，根据这个直角的条件结合题目条件进行再说理计算。

例1如图，在△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8，点P为BC边上一动点（不与点B，C重合），过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM=∠B （1）求证：△ABP∽△PCM

（2）BP=x，CM=y，求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域 （3）当△PCM为直角三角形时，求点P，B之间的距离

思路分析：第（1）（2）题都是用常规的三等角型相似的方法。对△APM进行等腰三角形的分类讨论时，

可将条件转化成与△ABP∽△PCM相关的结论

点评：本题也属于三等角型相似题型，若根据题意在△PCM中用cosC求解，则相对计算复杂，若将△PCM中的条件转化至△ABP中，则计算程序大大简化 三、 点在线段、射线、直线上分类讨论

以动点在线段和射线上的题型最为常见，射线可看成线段和线段的延长线两部分组成，需要考虑到情况较为复杂。当动点运动到线段上时的图形往往和动点在线段的延长线上的图像有很大差别，但是记住“图形改变，方法不变”。两个图形虽然不同，但边与边，角与角之间的关系，原有的相似三角形或比例线段依然成立，改变的往往是线段之间的和、差关系

例1 如图，已知在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿射线DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E，假设点P移动的时间为x（s），△BPE的面积为

y(cm)

(1) 求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域 (2) 如果CE=CP，求x的值

思路分析：点P在射线BC上运动，需分成点P在线段BC上运动和点P在线段BC的延长线上运动两种情况考虑，P，Q两点在运动过程中线段CE不变，仅是线段CP的代数式发生了变化

点评：几乎所有的动点在射线上都可使用“图形改变，方法不变”的口诀解决问题，本题中线段CP可看作是线段BP和BC的差，点P在不同的位置代数式不同而已

例2 如图，已知△ABC是等边三角形，AB=4，D是AC边上一动点（不与A，C重合），EF垂直平分BD，分别交AB，BC于点E，F，设CD=x，AE=y (1) 求∠EDF的度数

(2) 求y关于x的函数解析式，并写出x的定义域

(3) 过点D作DH⊥AB，垂足为点H，当EH=1时，求线段CD的长

思路分析：第（2）题具有明显的三等角型相似的特征，但是四条线段成比例不能求出解析式，而利用相似比

等于周长比便能方便求得解析式。第（3）题含两种情况较为隐蔽，在EH=1时，一是点H在线段AE上，二是点H在线段AE的延长线上，注意不要漏解 四、直线与圆、圆与圆的位置关系分类讨论

此类型的题是上海压轴题中的“常客”。直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于半径（d=r）。

圆与圆相切含有两种情况：圆与圆外切（d=R+r）；圆与圆内切(d=)。其中d表示两圆的圆心距，

R和r分别表示两圆的半径。此类问题的求解方法规律性强，第一步：列出二或三条件（d，R，r），

第二步，根据题意列出方程并求解（d=r，d=R+r，d=骤不必画圆，按部就班便能顺利求解

），第三步，检验解是否存在。掌握以上步

例1 如图，已知：在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D为BC边上一动点（不与B点重合），过点D作射线DE交AB边于点E，使∠BDE=∠A，以D为圆心，DC长为半径作⊙D （1）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系，并写出定义域 （2）当⊙D与AB边相切时，求BD的长

（3）如果⊙E是以E为圆心，AE长为半径的圆，那么当BD为多少时，⊙D与⊙E相切？

（4）思路分析：第（2）题是直线与圆相切，根据题意列出D到AB的距离d，r=CD为已知，若⊙D与AB边相切，则d=r建立方程，求解检验便可。第（3）题根据题意列出D，E两点的距离d，r=CD，

R=AE，若⊙D与⊙E相切，依据d=R+r或d=建立方程，求解检验便可

例2 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=不重合），设BO=x，△AOC的面积为y，

，⊙A的半径为1，若点O在BC上运动（与点B，C

(1) 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域

(2) 以点O为圆心，BO长为半径作⊙O，求当⊙O与⊙A相切时，△AOC的面积

思路分析：本题只需讨论⊙O与⊙A内切或者外切两种情况，两个圆的半径都方便表示，圆心距AO可看作直角三角形的斜边用勾股定理表示

例3 如图1，⊙O的半径OA=1，点M是线段OA延长线上的任意一点，⊙O与⊙M内切与点B，过点A 作CD⊥OA交⊙M于点C，D，联结CM，OC，OC交⊙O于E，设OM=x，△MOC的面积为y （1） 求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域

（2）将⊙O沿弦CD翻折得到⊙N，如图2，当OM=4时，试判断⊙N与直线CM的位置关系 （3） 将⊙O绕着点E旋转180°得到⊙P，如图3，如果⊙P与⊙M内切，求OM的长

思路分析：第（2）题判断直线与圆的位置关系，只需算出N到CM的距离和⊙O的半径1作比较，可以通过三角形相似计算出这段距离。第（3）题利用圆与圆相切的位置关系，表示出ME，利用直角三角形MOE勾股定理建立方程

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