线性代数试卷2009答案

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线性代数期末考试试卷

浙江师范大学《线性代数》考试卷参考答案和评分标准

(2008~2009学年第二学期)

一、选择题(每小题3分,共24分)

1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.D 7.D 8.B 评分标准:每小题选对得3分,错不给分。 二、填空题(每小题3分,共24分)

1. I 2.

1

3

3. AB·AB-1,KA(k≠0),ATB,A*B* 4. -2 5.19 6. 1 2 154 024

1 或A 7. 4 8. K(4,1,-2)T(K≠0的实数)

2

131 评分标准:每小题对得3分,错不给分。第3题酌情给分。 三、计算题(共52分)

1、解:(1)∵ A+B=AB,∴ A(B-I)=B,∴ A=B(B-I)-1

1 30 0 3(2)∵ B= 0 210

∴ B-I= 200

002 001

0 30 100 200 010

100 0 200 010 0 30 100

1

001 001 00 001

010

1 03 001

01

20 ∴ (B-I)-1

= 1

300 00

1

1 3

10 1

02 120 (3)∴ A= 0

210

100 1= 10 002

03 0

1 3

00

2

评分标准:步骤(1)占6分,(2)占4分,(3)占3分。

2.解:将齐次方程组的系数矩阵化为阶梯形,

1

20 00 0

1

线性代数期末考试试卷

1 3A 0 5

121411231123

1 1

0 3 6 0 1 0

1 11 11 22 21 2 2 2

1 1

0 6 6 0 6 0

1 1001 2001 200

1 6 0 0

取x3,x4,x5为自由未知量,分别为(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)

y1 (1, 2,1,0,0)y2 (1, 2,0,1,0) y3 (5, 6,0,0,1)

全部解:k1y1 k2y2 k3y3(k1,k2,k3为任意常数) 评分标准:(1)求系数矩阵得2分; (2)把矩阵转换成阶梯阵得6分; (3)求基础解系得4分; (4)求通解得1分; (5)矩阵符号错扣4分。

3、解:对方程组的增广矩阵作初等行变换,把它们化为阶梯形矩阵。

103

1 30

[A,b]

217 4214

12 103

1 1 0 3 3

25 011

06 2 02

12 1

0 3 0

01 0

4 2 0

0312 1

1101 0

0000 0

0011 0

0312

1101

0011

0000

r(A,b) r(A) n,所以有无穷多解。

先求AX=b的一个特解,令x3为自由未知量,并令x3=0代入UX=b得X0=(1,1,0,1)T,再求UX=0的通解,令x3=1代入UX=0得基础解系X1=(-3,-1,1,0)。

所以方程组的解为X=(1,1,0,1)T+K(-3,-1,1,0)T (K为任意常数) 评分标准:(1)增广矩阵化为阶梯矩阵得7分; (2)求出特解占2分; (3)求出基础解系占2分; (4)最后结果占2分。

4.解:(1)求A的特征值和特征向量

1

I A 3

6

3 3 10 3 10 3

5

6 3 3

4 6

3

2 3 ( 2) 3

2 4 61 3

1 4

10

( 2) 3

3

1 3

1 3 ( 2) ( 2)( 1)2 9

3 0

线性代数期末考试试卷

( 2)2( 4) 0 ∴

1 2( 重根) 2 4

33 3 1 11 对于二重特征值 1 2,特征矩阵( 2I A) 33 3 000得 66 6 000

( 2I A)X 0的基础解系为X1 (1,1,0)T,X2 1,0,1 ,对应的特征向量为

T

K1X1 K2X2(K1,K2不同时为零的任意常数),对于 2 4,特征矩阵

33 3 1 1 1 11 1

012 6 02 1 得(4I A)X 0的基础

(4I A) 39 3

660 012 6 000

解系为X3 (1,1,2)T,对应的特征向量为KX3(K 0的任意常数)。

1 11 200

,则P 1AP 。

20(2)令矩阵P (X1,X2,X3) 101, 0

04 012 0

评分标准:步骤(1)占10分,其中求特征值占5分,特征向量占5分。若特征向量求

错酌情扣分,未体现必要的步骤酌情扣分;步骤(2)占3分。

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/dibe.html

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