由哈密顿原理推导拉格朗日方程

由哈密顿原理推导拉格朗日方程

一、问题重述

已知哈密顿原理δ 求证拉格朗日方程

d

t2

Ldtt1?L

α

=0

?L

α

??q=0

dt?q二、问题分析及证明

已知L是q,q??,t 的函数，由哈密顿原理可知，并记住δt=0,即为

t2?Ls α=1 ti?qα

δqa+

?L?qα

δqα dt=0……(1)

?????????? ??????

其中

s??=1

??????

???????? ??

???? ??= s??=1

??

???? ??=

????=1

??

???????? ??

?????? ? s??=1

??

???????? ??

s

(

????

)??????……(2)

（2）代入（1）式得：

???????????????? ??????+ ?????? ? ()?????? ????=0

??q???????? ???????? ??????????

??=1

??=1

??=1

??2

= sα=1

?L?qα

s δqα|t2 t1+ α=1ti

t2?L?qα

?

d

dt?qα

(

?L

) δqαdt=0……(3)

2

因两端点相同，故??????|????1=0 （?=1,2，….s）

故(3)中的第一项为零，而（3）式简化为

t2ti

s

α=1

?Ld?L

?() δqαdt=0 ?qαdt?qα

因??????（?=1,2，….s）在积分范围内是任意的，故得

d

?L

?L

??q=0 （?=1,2,……s） dt?qα

α

即证得拉格朗日方程。

三、参考资料

分析力学，哈密顿原理

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/dib7.html