2008高考重庆数学文科试卷含答案(全word版)
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2008高考重庆数学文科试卷含答案(全word版)
2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题卷(文史类)
数学试题卷(文史类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项:
1.答题前,务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效。 5.考试结束后,将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式:
如果事件A、B互斥,那么 P(A+B)=P(A)+P(B).
如果事件A、B相互独立,那么P(A·B)=P(A)·P(B).
如果事件A在一次试验中发生的概率是P,那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(K)=kmPk(1-P)n-k
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个备选项中,只
有一项是符合题目要求的.
(1)已知{an}为等差数列,a2+a8=12,则a5等于 (A)4 (B)5
(C)6
(D)7
(2)设x是实数,则“x>0”是“|x|>0”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
x cos 1.
(3)曲线C: ( 为参数)的普通方程为
y sin 1
(A)(x-1)+(y+1)=1 (C) (x-1)2+(y-1)2=1
22
(B) (x+1)+(y+1)=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=1
22
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(4)若点P分有向线段AB所成的比为-(A)-32
13
,则点B分有向线段PA所成的比是
(C)
12
(B)-
12
(D)3
(5)某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是
(A)简单随机抽样法 (C)随机数表法 (6)函数y=10
x2-1
(B)抽签法
(D)分层抽样法
(0<x≤1=的反函数是
110)
(A)y x>
(C) y x 1
1
(B)y x>
110
)
10
<x≤1
(D) y
110
<x≤1
(7)函数f(x
)=的最大值为
(A)
25
2
2
(B)
12
2
(D)1
(8)若双曲线
x
3
16yp
2
1的左焦点在抛物线y=2px的准线上,则p的值为
2
(A)2
(B)3 (C)4
(9)从编号为1,2, ,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的最大号码是6的概率为
(A)
184
12x
(B)
121
(C)
25
(D)
35
(10)若(x+(A)6
)n的展开式中前三项的系数成等差数,则展开式中x4项的系数为
(B)7
(C)8
(D)9
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(11)如题(11)图,模块①-⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①-⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中,能够完成任务的为
(A)模块①,②,⑤ (C)模块②,④,⑥ (12)函数f(x
11,] 441122
(B)模块①,③,⑤ (D)模块③,④,⑤
(0≤x≤2 )的值域是
11332233
(A)[-
(B)[-,] ]
(C)[-,] (D)[-,
二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填写在答题卡相应位置上.
(C5 ,则A (13)已知集合 = 1,2,3,4,5 ,A= 2,3,4 ,B= 4,
U
B)=
.
14
32
14
12
(14)若x 0,则(2x+3)(2x-3)-4x
2
2
-
12
= .
(15)已知圆C: x y 2x ay 3 0(a为实数)上任意一点关于直线l:x-y+2=0 的对称点都在圆C上,则a= .
(16)某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如题(16)图所示的6个点
A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡,要求同一条线段两端的灯泡不同色,则不同的安装方法共有 种(用数字作答)
.
三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17)(本小题满13分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问8分.)
设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.
已知b c a
2
2
2
,求:
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(Ⅰ)A的大小;
(Ⅱ)2sinBcosC sin(B C)的值.
(18)(本小题满分13分,(Ⅰ)小问8分,(Ⅱ)小问5分.)
在每道单项选择题给出的4个备选答案中,只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案,求这4道题中:
(Ⅰ)恰有两道题答对的概率;
(Ⅱ)至少答对一道题的概率.
(19)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)
设函数f(x) x3 ax2 9x 1(a 0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行,求:
(Ⅰ)a的值;
(Ⅱ)函数f(x)的单调区间.
(20)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问6分.)
如图(20)图, 和 为平面, l,A ,B ,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′,B′,AA′=3,BB′=2.若二面角 l 的大小为 (Ⅰ)点B到平面 的距离;
(Ⅱ)异面直线l与AB所成的角(用反三角函数表示)
.
2 3
,求:
(21)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问5分,(Ⅱ)小问7分.)
如题(21)图,M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:
PM PN 2.
(Ⅰ)求点P的轨迹方程;
(Ⅱ)设d为点P到直线l: x
12
PMd
的距离,若PM 2PN,求
2
的值.
(22)(本小题满分12分,(Ⅰ)小问6分.(Ⅱ)小问6分)
3
设各项均为正数的数列{an}满足a1 2,an an2 1an 2(n N*).
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(Ⅰ)若a2
14
,求a3,a4,并猜想a2008的值(不需证明);
(Ⅱ)若 a1a2 an 4对n≥2恒成立,求a2的值.
绝密★启用前
2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)
数学试题(文史类)答案
一、选择题:每小题5分,满分60分.
(1)C (2)A (3)C (4)A (5)D (6)D (7)B (8)C (9)B (10)B (11)A (12)C 二、填空题:每小题4分,满分16分.
(13) |2 , 3| (14) -23 (15) -2 (16) 12 三、解答题:满分74分.
(17)(本小题13分)
解:(Ⅰ)由余弦定理,a2 b2 c2 2bccosA,
b c a
2bc.
2
2
2
故cosA
2bc
2
所以A
6
(Ⅱ) 2sinBcosC sin(B C)
2sinBcosC (sinBcosC cosBsinC) sinBcosC cosBsinC
sin(B C)
sin( A) sinA
12.
(18)(本小题13分)
解:视“选择每道题的答案”为一次试验,则这是4次独立重复试验,且每次试验中
“选择正确”这一事件发生的概率为
14
.
由独立重复试验的概率计算公式得: (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2) C2()()
4
4
4
1
2
3
2
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27128
.
(Ⅱ)解法一:至少有一道题答对的概率为
04
1 P4(0) 1 C0()() 4
13
44
1
812563
175256
.
解法二:至少有一道题答对的概率为
222233440 C1()() C4()() C4()() C4()() 4
1131313
44444444
108256175256
.
54256
12256
1256
(19)(本小题12分)
解:(Ⅰ)因f(x) x2 ax2 9x 1 所以f (x) 3x2 2ax 9
a3
a
2
3(x ) 9
2
3
.
即当x
a3
时,f (x)取得最小值 9
a
2
3
.
因斜率最小的切线与12x y 6平行,即该切线的斜率为-12,
a
2
所以 9
3
12,即a 9.
2
解得a 3,由题设a 0,所以a 3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a 3,因此f(x) x 3x 9x 1,
f (x) 3x 6x 9 3(x 3(x 1)令f (x) 0,解得:x1 1,x2 3.
当x ( , 1)时,f (x) 0,故f(x)在( , 1)上为增函数;
2
32
当x ( 1,3)时,f (x) 0,故f(x)在( 1,)3上为减函数;
当x (3,+ )时,f (x) 0,故f(x)在(3, )上为增函数.
由此可见,函数f(x)的单调递增区间为( , 1)和(3, );单调递减区间为( 1,3).
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(20)(本小题12分)
解:(1)如答(20)图,过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′,交CB′的延长线于D.
由已知AA′⊥l,可得DB′⊥l,又已知BB′⊥l,故l⊥平面BB′D,得BD⊥l又因BD⊥CB′,从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.
因B′C⊥l且BB′⊥l,故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意,∠BB′C=
2 3
.因此在Rt△BB′D中,BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=
3
,BD=BB′·sinBB′D
(Ⅱ)连接AC、BC.因B′C∥A′A,B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形,故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角. 在△BB′C中,B′B=2,B′C=3,∠BB′C=BC
2 3
,则由余弦定理,
因BD 平面,且DC CA,由三策划线定理知AC BC.
2
故在△ABC中,∠BCA=,sinBAC
=
BCAB
5
.
因此,异面直线l与AB所成的角为arcsin (21)(本小题12分)
解:(I)由双曲线的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c=2,实半轴a=1,从而虚半轴b
,
2-
所以双曲线的方程为x
y
2
3
=1.
(II)解法一:
由(I)由双曲线的定义,点P的轨迹是以M、N为焦点,实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距e=2,实半轴a=1,从而虚半轴
.
2
R所以双曲线的方程为x-(II)解法一:
y
2
3
=1.
由(I)及答(21)图,易知|PN| 1,因|PM|=2|PN|, ① 知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点,所以|PM|=|PN|+2. ②
2
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将②代入①,得2||PN|-|PN|-2=0,解得
2
4
舍去
4
,所以
4
.
ca
因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=
12
是双曲线的右准线,故
|PN|d
=e=2,
所以d=12
|PN|,因此
|PM|2|PM|4|PN|2
d
|PN|
|PN|
4|PN| 1
解法:
设P(x,y),因|PN| 1知 |PM|=2|PN|2 2|PN|>|PN|,
故P在双曲线右支上,所以x 1. 由双曲线方程有y2=3x2-3. 因此
|PN|
从而由|PM|=2|PN|2
得
2x+1=2(4x2-4x+1),即8x2-10x+1=0. 所以x
=
8(舍去x
8
).
有
|PM|=2x+1=
9
4
d=x-
11
2
=
8
.
故
|PM|d
4
1
(22)(本12分) 解:(I)因a-21=2,a2=2,故
由此有a(-2)01=2, a(-2)22=2(-2)4, a3=2, a4=2(-2)3, 从而猜想an的通项为 a 2)
n 1
n 2
((n N*),
所以a(
2)
2xn
2xn=2
.
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(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。
设Sn表示x2的前n项和,则a1a2 an=2sn,由22≤a1a2 an<4得
23
≤Sn=x1+x2+ +xn<2(n≥2).
23
因上式对n=2成立,可得
2
≤x1+x2,又由a1=2,得x1=1,故x2≥
3212
12
.
由于a1=2,an an3 1an 2(n∈N*),得xn
xn 2 2xn 1 (xn 2
32xn 1)
12xn 1
xn 1 xn 2(n∈N*),即
(xn 1 2xn), 12
因此数列{xn+1+2xn}是首项为x2+2,公比为xn+1+2xn=(x2+2)
12
n 1
的等比数列,故
(n∈N*).
将上式对n求和得 Sn+1-x1+2Sn=(x2+2)(1+
12
+ +
12
n 1
)=(x2+2)(2-
12
n 1
)(n≥2).
因Sn<2,Sn+1<2(n≥2)且x1=1,故
(x2+2)(2-
12
n 1
)<5(n≥2).
因此2x2-1<
12
x2 22
n 1
(n≥2).
12
下证x2≤2n-1<
,若淆,假设x2>
,则由上式知,不等式
x2 22x2 1
12
对n≥2恒成立,但这是不可能的,因此x2≤又x2≥
12
.
,故z2=
12
,所以a2=2
z
2
=2.
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