2008高考重庆数学文科试卷含答案(全word版)

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2008年普通高等学校招生全国统一考试(重庆卷)

数学试题卷（文史类）

数学试题卷(文史类)共5页。满分150分。考试时间120分钟。 注意事项：

1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 5.考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回。 参考公式：

如果事件A、B互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B).

如果事件A、B相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B).

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率 Pn(K)=kmPk(1-P)n-k

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个备选项中，只

有一项是符合题目要求的.

(1)已知｛an｝为等差数列，a2+a8=12,则a5等于 (A)4 (B)5

(C)6

(D)7

(2)设x是实数，则“x＞0”是“|x|＞0”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

x cos 1.

(3)曲线C: ( 为参数)的普通方程为

y sin 1

(A)(x-1)+(y+1)=1 (C) (x-1)2+(y-1)2=1

22

(B) (x+1)+(y+1)=1 (D) (x-1)2+(y-1)2=1

22

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(4)若点P分有向线段AB所成的比为-(A)-32

13

，则点B分有向线段PA所成的比是

(C)

12

(B)-

12

(D)3

(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是

(A)简单随机抽样法 (C)随机数表法 (6)函数y=10

x2-1

(B)抽签法

(D)分层抽样法

(0＜x≤1＝的反函数是

110)

(A)y x＞

(C) y x 1

1

(B)y x＞

110

)

10

＜x≤1

(D) y

110

＜x≤1

(7)函数f(x

)=的最大值为

(A)

25

2

2

(B)

12

2

(D)1

(8)若双曲线

x

3

16yp

2

1的左焦点在抛物线y=2px的准线上，则p的值为

2

(A)2

(B)3 (C)4

(9)从编号为1,2, ,10的10个大小相同的球中任取4个，则所取4个球的最大号码是6的概率为

(A)

184

12x

(B)

121

(C)

25

(D)

35

(10)若(x+(A)6

)n的展开式中前三项的系数成等差数，则展开式中x4项的系数为

(B)7

(C)8

(D)9

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(11)如题（11）图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体.则下列选择方案中，能够完成任务的为

(A)模块①，②，⑤ (C)模块②，④，⑥ （12）函数f(x

11,] 441122

(B)模块①，③，⑤ (D)模块③，④，⑤

(0≤x≤2 )的值域是

11332233

(A)[-

(B)[-,] ]

(C)[-,] (D)[-,

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡相应位置上.

（C5 ，则A （13）已知集合 ＝ 1，2，3，4，5 ，A= 2，3，4 ，B= 4，

U

B）＝

.

14

32

14

12

（14）若x 0,则（2x+3）(2x-3)-4x

2

2

-

12

＝ .

（15）已知圆C： x y 2x ay 3 0（a为实数）上任意一点关于直线l：x-y+2=0 的对称点都在圆C上，则a= .

（16）某人有3种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如题（16）图所示的6个点

A、B、C、A1、B1、C1上各安装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色，则不同的安装方法共有 种（用数字作答）

.

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满13分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问8分.）

设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c.

已知b c a

2

2

2

，求：

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（Ⅰ）A的大小;

（Ⅱ）2sinBcosC sin(B C)的值.

（18）（本小题满分13分，（Ⅰ）小问8分，（Ⅱ）小问5分.）

在每道单项选择题给出的4个备选答案中，只有一个是正确的.若对4道选择题中的每一道都任意选定一个答案，求这4道题中：

（Ⅰ）恰有两道题答对的概率;

（Ⅱ）至少答对一道题的概率.

（19）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）

设函数f(x) x3 ax2 9x 1(a 0).若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求：

（Ⅰ）a的值;

（Ⅱ）函数f(x)的单调区间.

（20）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分，（Ⅱ）小问6分.）

如图（20）图， 和 为平面， l,A ,B ,AB=5,A,B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二面角 l 的大小为 （Ⅰ）点B到平面 的距离;

（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）

.

2 3

，求：

（21）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.）

如题（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：

PM PN 2.

（Ⅰ）求点P的轨迹方程;

（Ⅱ）设d为点P到直线l： x

12

PMd

的距离，若PM 2PN,求

2

的值.

（22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问6分.（Ⅱ）小问6分）

3

设各项均为正数的数列{an}满足a1 2,an an2 1an 2(n N*).

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（Ⅰ）若a2

14

,求a3,a4,并猜想a2008的值（不需证明）;

（Ⅱ）若 a1a2 an 4对n≥2恒成立，求a2的值.

绝密★启用前

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数学试题（文史类）答案

一、选择题：每小题5分，满分60分.

(1)C (2)A (3)C (4)A (5)D (6)D (7)B (8)C (9)B (10)B (11)A (12)C 二、填空题：每小题4分，满分16分.

(13) |2 , 3| (14) -23 (15) -2 (16) 12 三、解答题：满分74分.

(17)（本小题13分）

解：(Ⅰ)由余弦定理，a2 b2 c2 2bccosA,

b c a

2bc.

2

2

2

故cosA

2bc

2

所以A

6

(Ⅱ) 2sinBcosC sin(B C)

2sinBcosC (sinBcosC cosBsinC) sinBcosC cosBsinC

sin(B C)

sin( A) sinA

12.

(18)（本小题13分）

解：视“选择每道题的答案”为一次试验，则这是4次独立重复试验，且每次试验中

“选择正确”这一事件发生的概率为

14

.

由独立重复试验的概率计算公式得： (Ⅰ)恰有两道题答对的概率为 P4(2) C2()()

4

4

4

1

2

3

2

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27128

.

(Ⅱ)解法一：至少有一道题答对的概率为

04

1 P4(0) 1 C0()() 4

13

44

1

812563

175256

.

解法二：至少有一道题答对的概率为

222233440 C1()() C4()() C4()() C4()() 4

1131313

44444444

108256175256

.

54256

12256

1256

(19)(本小题12分)

解：(Ⅰ)因f(x) x2 ax2 9x 1 所以f (x) 3x2 2ax 9

a3

a

2

3(x ) 9

2

3

.

即当x

a3

时，f (x)取得最小值 9

a

2

3

.

因斜率最小的切线与12x y 6平行，即该切线的斜率为-12，

a

2

所以 9

3

12,即a 9.

2

解得a 3,由题设a 0,所以a 3. (Ⅱ)由(Ⅰ)知a 3,因此f(x) x 3x 9x 1,

f (x) 3x 6x 9 3(x 3(x 1)令f (x) 0,解得：x1 1,x2 3.

当x ( , 1)时，f (x) 0,故f(x)在( ， 1）上为增函数；

2

32

当x ( 1,3)时，f (x) 0,故f(x)在（ 1，）3上为减函数；

当x (3,+ )时，f (x) 0,故f(x)在（3， ）上为增函数.

由此可见，函数f(x)的单调递增区间为( , 1）和（3， ）；单调递减区间为（ 1，3）.

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（20）（本小题12分）

解：（1）如答（20）图，过点B′C∥A′A且使B′C=A′A.过点B作BD⊥CB′，交CB′的延长线于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，从而BD⊥平面α,BD之长即为点B到平面α的距离.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C为二面角α-l-β的平面角.由题意，∠BB′C=

2 3

.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=

3

,BD=BB′·sinBB′D

（Ⅱ）连接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A,AA′⊥l,知A′ACB′为矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其补角为异面直线l与AB所成的角. 在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=BC

2 3

，则由余弦定理，

因BD 平面，且DC CA，由三策划线定理知AC BC.

2

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC

=

BCAB

5

.

因此，异面直线l与AB所成的角为arcsin （21）（本小题12分）

解：（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距c=2，实半轴a=1，从而虚半轴b

,

2-

所以双曲线的方程为x

y

2

3

=1.

(II)解法一：

由（I）由双曲线的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，实轴长2a=2的双曲线. 因此半焦距e=2，实半轴a=1，从而虚半轴

.

2

R所以双曲线的方程为x-(II)解法一：

y

2

3

=1.

由（I）及答（21）图，易知|PN| 1,因|PM|=2|PN|, ① 知|PM|>|PN|,故P为双曲线右支上的点，所以|PM|=|PN|+2. ②

2

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将②代入①，得2||PN|-|PN|-2=0，解得

2

4

舍去

4

,所以

4

.

ca

因为双曲线的离心率e==2,直线l:x=

12

是双曲线的右准线，故

|PN|d

=e=2,

所以d=12

|PN|,因此

|PM|2|PM|4|PN|2

d

|PN|

|PN|

4|PN| 1

解法：

设P（x,y），因|PN| 1知 |PM|=2|PN|2 2|PN|>|PN|,

故P在双曲线右支上，所以x 1. 由双曲线方程有y2=3x2-3. 因此

|PN|

从而由|PM|=2|PN|2

得

2x+1=2(4x2-4x+1)，即8x2-10x+1=0. 所以x

=

8(舍去x

8

).

有

|PM|=2x+1=

9

4

d=x-

11

2

=

8

.

故

|PM|d

4

1

（22）（本12分） 解：（I）因a-21=2,a2=2,故

由此有a(-2)01=2, a(-2)22=2(-2)4, a3=2, a4=2(-2)3, 从而猜想an的通项为 a 2)

n 1

n 2

((n N*),

所以a(

2)

2xn

2xn=2

.

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(Ⅱ)令xn=log2an.则a2=2x2,故只需求x2的值。

设Sn表示x2的前n项和，则a1a2 an=2sn,由22≤a1a2 an＜4得

23

≤Sn＝x1+x2+ +xn＜2(n≥2).

23

因上式对n=2成立，可得

2

≤x1+x2，又由a1=2,得x1＝1,故x2≥

3212

12

.

由于a1=2，an an3 1an 2(n∈N*),得xn

xn 2 2xn 1 (xn 2

32xn 1)

12xn 1

xn 1 xn 2(n∈N*),即

(xn 1 2xn)， 12

因此数列｛xn+1+2xn｝是首项为x2+2,公比为xn+1+2xn=(x2+2)

12

n 1

的等比数列，故

(n∈N*).

将上式对n求和得 Sn+1－x1+2Sn=(x2+2)(1+

12

+ +

12

n 1

)=(x2+2)(2－

12

n 1

)（n≥2）.

因Sn＜2，Sn+1＜2（n≥2）且x1=1,故

(x2+2)(2－

12

n 1

)＜5（n≥2）.

因此2x2－1＜

12

x2 22

n 1

（n≥2）.

12

下证x2≤2n－1＜

，若淆，假设x2＞

，则由上式知，不等式

x2 22x2 1

12

对n≥2恒成立，但这是不可能的，因此x2≤又x2≥

12

.

，故z2=

12

，所以a2=2

z

2

=2.

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