中考数学图形运动之旋转与平移

图形的运动(1)----图形的旋转

例题1 已知△ABC中，∠C=90°，AB=9，cosA?2 ，把△ABC 绕着点C旋转，使得点A3落在点A’，点B落在点B’. 若点A’在边AB上，则点B、B’的距离为 ． 例题2 矩形ABCD中，AD=4，CD=2，边AD绕A旋转使得点D落在射线CB上的点P处，那么?DPC的度数为多少？ 【当堂检测】 1．已知△ABC中，AB=AC，sin∠B= 1 ，把⊿ABC绕点A旋转，使得边AB与AC3重合，点C落在点D的位置，连接BD，则求cos∠DBC． 2.如图1,△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一定点，延长BP至P/，将△ABP绕点A旋转后与△ACP/重合，那么∠BP/C = _____度．

3、 已知?ABC中，AB?4，AC?3，把?ABC绕点A旋转某个角度后，使得点B落

在点B1处，点C落在点C1处．这时，若BB1?2，则求CC1的长度．

4．如图2，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕顶点A旋转，在旋转过程中，当BE=DF时，∠BAE的大小可以是 ． A

P/ （ 图

P (图2) 1）

B C

5. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，

△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．

（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；

（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a ，CQ=

9a时，P、Q两点间的距离 (用含a的代数式表示)． 2

【课后练习】1.如图3，在Rt?ACB中，?ACB?90?，点O在AB上，且

1CA?CO?6，cos?CAB?，若将?ACB绕点A顺时针旋转得到Rt?AC'B'，

3且C'落在CO的延长线上，联结BB'交CO的延长线于点F，则BF= . B F

C'

O B'CA

图3

2. 在Rt△ABC中，∠C=90o ，BC =4 ，AC=3，将△ABC绕着点B旋转后点A落在直线BC上的点A?，点C落在点C?处，那么tanAAC的值是 .

3.将等腰△ABC绕着底边BC的中点M旋转30°后，如果点B恰好落在原△ABC的边AB上，那么∠A的余切值等于 .

4．已知在△AOB中，∠B =90°，AB=OB，点O的坐标为（0，0），点A的坐标为（0，4），点B在第一象限内，将这个三角形绕原点O逆时针旋转75°后，那么旋转后点B的坐标为 ．

5．在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，将△ABC绕着点B旋转，使点A落在直线BC上，

点C落在点C，则∠BCC= ．

'''

6、如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．

（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G． ①求证：BD⊥CF；②当AB=4，AD=时，求线段BG的长．

图形的运动(2)----图形的平移和翻折

例1 如图，在△ABC中，∠C=90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是多少?

例2 如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=8cm，D是AB的中点．现将△BCD沿BA方向平移1cm，得到△EFG，FG交AC于H，则GH的长等于 cm．

【当堂检测】

1.如图1,矩形纸片ABCD沿EF、GH同时折叠,B、C两点恰好同时落在AD边的P点处, 若∠FPH=90?,PF=8,PH=6, 则图中阴影部分的面积为 . A A’D‘

PC/ A DEGD

B C BHCFD

B 图1 C 图2 图3 2．如图2，在△ABC中，∠C﹦90°，点D为AB的中点，BC﹦3，cosB?A

1，△DBC沿3着CD翻折后，点B落到点E，那么AE的长为 ．

3．如图3，在△ABC中，AD是BC上的中线，BC=4，∠ADC=30°，把△ADC沿AD所在直线翻折后点C落在点C′ 的位置，那么点D到直线BC′ 的距离是 ． 4．在△ABC中，AB＝AC＝5，若将△ABC沿直线BD翻折，使点C落在直线AC上的点C′

处，AC′＝3，则BC＝ ．.

C D5、如图4是一张直角三角形的纸片，直角边AC＝6cm , sinB=

3， 5A现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，那么DE的

长等于 ．

EB图4

6、在平面直角坐标系中，已知线段AB的两个端点分别是A??4，?1?，B?1，1?，将线段

2?，则点B?的坐标为 . . AB平移后得到线段A?B?，若点A?的坐标为??2，

【课后练习】

1、.如图5，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，?A?90?，?C?45?，AB?8，BC?12，将梯形沿直线BE翻折，使点A落在BC边上的F点上，D点落在EC边上的G点上，则

S?GFC:S?BEC? . . ADEGB图5

AMCEFB图6

NC图7

2、如图6，在?ABC中，直线MN将?ABC分割成面积相等的两部分.将?BMNMN∥AC，

沿直线MN翻折，点B恰好落在点E处，联结AE，若AE∥CN，则AE:NC? . 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是△ABC的角平分线，将△BCD沿着直线BD翻折，点C落在C1处，如果AB=5，AC=4，那么sin∠ADC1的值是 ．

4、 将三角形纸片（?ABC）按如图7所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B?，

折痕为EF．已知AB?AC?2，cosC?3，若以点B?、F、C为顶点的三角形与4?ABC相似，那么BF的长度是 __．

5．如图8，已知三角形纸片（△ABC）中，AB＝AC＝5，BC＝6，将三角形按照如图所示的

方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是 ．

ADy

D A

图8

B'BECO C B 图10

E x 图9

6、如图9，在矩形ABCD中，AB=5，BC= 4，E为BC边上一点，将△AEB沿AE翻折得△AEB'，点B'恰好落在CD边上，若AB=5，BC= 4，则cot?BAE?________．

7、如图10，△OAB的顶点B的坐标为（4，0），把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果CB?1,那么OE的长为 ．

【图形运动1】 分析:过点C作CH⊥AB于H，利用解直角三角形的知识，分别求出AH、AC、BC的值，进而利用三线合一的性质得出AA'的值，然后利用旋转的性质可判定△ACA'∽△BCB'，继而利用相似三角形的对应边成比例的性质可得出BB'的值. 解：过点C作CH⊥AB于H， ∵在RT△ABC中，∠C=90°，cosA?∵在RT△ACH中，AC=6,cosA?2,∴AC=ABcosA?6,BC=35, 32, ∴AH=ACcosA?4, 3由旋转的性质得，AC=A′C，BC=B′C， ∵△ACA′是等腰三角形，因此H也是AA′中点， ∴AA′=2AH=8， 又∵△BCB′和△ACA′都为等腰三角形，且顶角∠ACA′和∠BCB′都是旋转角， ∴∠ACA′=∠BCB′，∴△BCB′∽△ACA′，∴ACAA?68??，即， ??BCBB35BB解得：BB?=45. 故答案为45。点评：本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及解直角三角形，图形旋转中对应边构成等腰三角形及正确理解分两种情况讨论是关键. 分析：A旋转使得点D落在射线CB上P处，则P在线段BC上或P在CB的延长线上，应分两种情况进行讨论，根据等腰三角形的性质：等边对等角即可求解. ?AP?AD?4,AB?CD?2,?在RT?ABP中，?APB?30，解：当点P线段CB上时， 0?AB//BC??DAP??APB?300,?AP?AD,??APD??ADP?75,??DPC?750,当P′在CB的延长线上时，同理，?DP?C?15. 故∠DPC的度数为：75°或15° 点评：本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及解直角三角形，图形旋转中对应边构成等腰三角形及正确理解分两种情况讨论是关键． 00 当堂检测 1.31; 2.90; 3.; 4.15°或165°; 5.考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形

23的判定与性质；等腰直角三角形；旋转的性质。

解答：（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC， ∵AP=AQ ∴BP=CQ， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE，∴△BPE≌△CQE（SAS）； （2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，

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