高一下学期数学期末复习教案必修4第2章

第 课时：高一数学期末复习——必修4第2章 平面向量

上课时间：第 周 月 日 星期 第 节 共 课时的第 课时

课前读 读复习学案 明确目标

知识与技能 ： 1、掌握向量的加减、数乘以及数量积的几何运算和坐标运算的运算方法。

2、掌握运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。

过程与方法 ：将本章知识进行归纳，在每一类知识点之后附上几道典型题，在复习理论的同时了解理论的用 法 ，更进一步加深对知识的理解，提高学生对知识的运用能力。

情态与价值 观：向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，向量具有代数形式和几 何形式的“双重身份”，能融数形于一体，是代数世界羽几何世界沟通的重要工具。 学习重点： 运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。 学习难点：计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系。

学习过程

一．向量的基本概念：

1．（P75）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别

2．（P75）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； 3．（P75）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量

4．（P76）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；

5．（P76）平行向量（也叫共线向量）： 的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a∥b． 规定零向量和任何向量平行

6．（P85）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是?a

7．（P94）两个向量的夹角：对于非零向量a、b，作OA?a，OB?b，?AOB??(0????)称为向量a，b的夹角．特别地：当?＝0时， ；当?＝?时，a∥b且反向；当??【例1】下列命题中正确的是： （1）若

?2时， ．

a?b，则a?b

（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同 （4）若AB?DC，则ABCD是平行四边形 （6）若ABCD是平行四边形，则AB?DC

（3）若a//b,b//c，则a//c （5）若a?b,b?c，则a?c 二．向量的表示方法：

1．（P75）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； 2．（P75）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

3．（P95）坐标表示法：在平面内直角坐标系中，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j为基底，则平面

??

内的任一向量a可表示为a?xi?yj??x,y?，称?x,y?为向量a的坐标，a＝?x,y?叫做向量a的坐标表示．

三．平面向量的基本定理： （P94）如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数?1、?2，使a【例2】若a?(1,??1e1??2e2

2)，则c? （用a，b表示）

1)，a?(1,?1)，c?(?1,【例3】下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是（ ） A. e1 C. e1?(0,0),e2?(1,?2) ?(3,5),e2?(6,10)

B. e1D. e1?(?1,2),e2?(5,7)

13?(2,?3),e2?(,?)

24四．向量的运算

1．向量的线性运算（a?(x1，y1)，b?(x2，y2) ） 运算 向量的加法a　?b 向量的减法a　?b （P87）向量的数乘?a大小：?a??a； ??a?b????R? B?a法则 ?bB?a方向：○1??0，?a?0； （P85） ○2??0，?a与a同向； ○3??0，?a与a反向； A??a?bC（P81）A?bCAB?BC?AC 坐标运算 a?b?___________________ AB?AC?CB ??a?b?___________________ ???a=___________________ ?【例4】化简：①AB?BC?CD? ； ②AB?AD?DC? ； ③(AB?CD)?(AC?BD)?

【例5】若正方形ABCD的边长为1，AB?a,BC?b,AC?c，则|a?b?c|＝

【例6】已知a?(2，3)，b?(5，4)，则a?b? ，a?b? ，3a?2b?

【展示点拨】

【课后记】

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知识与技能 ： 1、掌握向量的加减、数乘以及数量积的几何运算和坐标运算的运算方法。

2、掌握运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。

过程与方法 ：将本章知识进行归纳，在每一类知识点之后附上几道典型题，在复习理论的同时了解理论的用 法 ，更进一步加深对知识的理解，提高学生对知识的运用能力。

情态与价值 观：向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，向量具有代数形式和几 何形式的“双重身份”，能融数形于一体，是代数世界羽几何世界沟通的重要工具。 学习重点： 运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。 学习难点：计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系。

学习过程

2．坐标的几何意义

（教材p95）如果向量的起点在原点，那么向量的坐标就是向量的终点坐标．即：A(x，y)?OA?(x，y) （教材p97）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标．即：

A(x1，y1)，B(x2，y2)?AB?(x2，y2)?(x1，y1)?(x2?x1，y2?y1)

【例7】已知平行四边形ABCD，其中

3．向量的数量积（?为向量a、b的夹角） （1）定义：a　?　b?abcos?；

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量 【例8】|a|?3，|b|?2，向量a，b的夹角为150°，则a【例9】|a|?5，|b|?2，aA(?2，1)，B(?1，3)，C(3，4)，试求顶点D的坐标

?b?

?b?5，则向量a，b的夹角为

【例10】△ABC中，|AB|?3，|AC|?4，|BC|?5，则AB?BC? （2）（P103）bco?s叫做b在a上的投影；

??a在b上的投影为（投影是一实数，可正可负可为零）

??【例11】已知|a|?4，|b|?5，向量a，b的夹角为150°则向量a在向量b上的投影为

（3）（P104）a?b的几何意义：数量积a?b等于a的模|a|与b在a上的投影的积

（4）（P104）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为?，则： ○1a?b?a?b?0；○2当a，b同向时，a?b＝ab?b＝－ab；当?为锐角时，a，特别地，a2?a?a?a,a?a22；

当a与b反向时，a?b＞0，且a、 b不同向，a?b?0是?为锐角的必

要非充分条件；当?为钝角时，a?b＜0，且a、 b不反向，a?b?0是?为钝角的必要非充分条件；○3非零

向量a，b夹角?的计算公式：cos??a?bab；○4|a?b|?|a||b|

【例12】已知|a|?5，|b|?2，a?b??3，则|a?b|?

，向量a，b的夹角为

【例13】已知a，b均为单位向量，|a?3b|?9，则a【例14】已知a，b是两个非零向量，且

?b?

a?b?a?b，则a与a?b的夹角为

?（5）（P106）坐标表示：若a?(x1，y1)，b?(x2，y2)，则a?b??x1x2?y1y2

【例15】已知三角形ABC中A(1，2)，B(2，3)，C(?2，5)，试判断△ABC的形状并给出证明

???5．向量的模：若a?(x,??2?222y)，则a?x?y，?a??a?x2?y2

【例16】若a?(2，?1)，b?(?6，4)，则

【课后记】

a?b?

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2、掌握运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。

过程与方法 ：将本章知识进行归纳，在每一类知识点之后附上几道典型题，在复习理论的同时了解理论的用 法 ，更进一步加深对知识的理解，提高学生对知识的运用能力。

情态与价值 观：向量知识，向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，向量具有代数形式和几 何形式的“双重身份”，能融数形于一体，是代数世界羽几何世界沟通的重要工具。 学习重点： 运用向量的各种运算，计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系等。 学习难点：计算向量的模，两向量的夹角以及判断两向量的位置关系。

学习过程

6．向量的夹角cos??a?bab?x1x2?y1y2x?y2121x?y2222

【例17】若a?(5，?7)，b?(?6，?4)，则a?b? ；向量a，b的夹角??

五．向量平行(共线)的充要条件：a//b?a??b【例18】若向量a?x1y2?y1x2＝0

?(x,1),b?(4,x)，当x＝ 时a与b共线且方向相反

【例19】已知两点M(3,2)，N(?5,?5)，MP?1MN，则点P的坐标是 2【例20】已知A(?1，?1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A、B、C三点之间的位置关系

六．向量垂直的充要条件：a?b?a?b?0?|a?b|?|a?b| ?x1x2?y1y2?0

【例21】已知OA?(?1,2),OB?(3,m)，若OA?OB，则m? 【例22】以原点O和A(4，2)为两个顶点作等腰Rt△OAB，?B?90?，试求点B的坐标

【例23】已知a?(1，0)，b?(2，1)．

（1）求a?3b；

（2）求向量a?b与向量a?b的夹角的余弦值

????（4）当k为何实数时，?ka?b?⊥?a?3b?．

七．向量中一些常用的结论

（3）当k为何实数时，ka?b∥a?3b平行，平行时它们是同向还是反向．

1．一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用； 2．||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|，特别地，

b同向或有0当a、 b反向或有0当a、?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|； ?|a?b|?|a|?|b|?||a|?|b||?|a?b|；

b不共线?||a|?|b||?|a?b|?|a|?|b|(这些和实数比较类似). 当a、3．在?ABC中，若

?x1?x2?x3y1?y2?y3?,则其重心的坐标为G? A?x1,y1?,B?x2,y2?,C?x3,y3?，?。

33??【例24】若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为

【课后记】

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